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第四章 微分法 積分法 互逆運(yùn)算 不定積分 1 二 基本積分表 三 不定積分的性質(zhì) 一 原函數(shù)與不定積分的概念 第一節(jié) 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 不定積分的概念與性質(zhì) 2 一 原函數(shù)與不定積分的概念 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 3 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 問(wèn)題 1 在什么條件下 一個(gè)函數(shù)的原函數(shù)存在 2 若原函數(shù)存在 它如何表示 4 定理 存在原函數(shù) 初等函數(shù)在定義區(qū)間上連續(xù) 初等函數(shù)在定義區(qū)間上有原函數(shù) 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 5 定理 原函數(shù)都在函數(shù)族 C為任意常數(shù) 內(nèi) 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 6 不定積分的幾何意義 的原函數(shù)的圖形稱(chēng)為 的圖形 的所有積分曲線(xiàn)組成 的平行曲線(xiàn)族 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 的積分曲線(xiàn) 7 例1 設(shè)曲線(xiàn)通過(guò)點(diǎn) 1 2 且其上任一點(diǎn)處的切線(xiàn) 斜率等于該點(diǎn)橫坐標(biāo)的兩倍 求此曲線(xiàn)的方程 解 所求曲線(xiàn)過(guò)點(diǎn) 1 2 故有 因此所求曲線(xiàn)為 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 8 第二節(jié) 不定積分的概念與性質(zhì) 9 二 基本積分表p170 171 從不定積分定義可知 或 或 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 10 例2 求 例3 求 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 11 三 不定積分的性質(zhì) 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 12 例4 求 解 原式 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 13 例5 求 解 原式 例6 求 解 原式 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 14 例7 求 解 原式 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 15 內(nèi)容小結(jié) 1 不定積分的概念 原函數(shù)與不定積分的定義 不定積分的性質(zhì) 基本積分表 2 直接積分法 利用恒等變形 及基本積分公式進(jìn)行積分 常用恒等變形方法 分項(xiàng)積分 加項(xiàng)減項(xiàng) 利用三角公式 代數(shù)公式 積分性質(zhì) 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 16 思考與練習(xí) 1 若 提示 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 17 2 若 是 的原函數(shù) 則 提示 已知 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 18 3 若 的導(dǎo)函數(shù)為 則 的一個(gè)原函數(shù) 是 提示 已知 求 即 B 或由題意 其原函數(shù)為 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 19 4 求下列積分 提示 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 20 5 求不定積分 解 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 21 6 已知 求A B 解 等式兩邊對(duì)x求導(dǎo) 得 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 22 二 第二類(lèi)換元法 第三節(jié) 一 第一類(lèi)換元法 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 換元積分法 第四章 23 第二類(lèi)換元法 第一類(lèi)換元法 基本思路 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 設(shè) 可導(dǎo) 則有 24 一 第一類(lèi)換元法 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 25 例1 求 解 令 則 故 原式 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 26 例2 求 解 令 則 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 27 例3 求 解 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 28 例4 求 解 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 類(lèi)似 29 例5 求 解 原式 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 30 31 例6 求 解 原式 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 32 例7 求 解 原式 例8 求 解 原式 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 33 例9 求 解法1 解法2 兩法結(jié)果一樣 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 34 例10 求 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 35 例11 求 解 原式 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 36 例12 求 解 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 37 例13 求 解 原式 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 38 例14 求 解 原式 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 分析 39 1 求 提示 法1 法2 法3 作業(yè)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 思考與練習(xí) 40 二 第二類(lèi)換元法 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 第一類(lèi)換元法解決的問(wèn)題 難求 易求 若所求積分 易求 則得第二類(lèi)換元積分法 難求 41 定理2 設(shè) 是單調(diào)可導(dǎo)函數(shù) 且 具有原函數(shù) 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 則有換元公式 42 例16 求 解 令 則 原式 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 43 例17 求 解 令 則 原式 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 44 例18 求 解 令 則 原式 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 45 令 于是 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 46 原式 例19 求 解 令 則 原式 當(dāng)x 0時(shí) 類(lèi)似可得同樣結(jié)果 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 47 解 原式 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 例20 求 48 例21 求 解 原式 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 49 例22 求 解 令 得 原式 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 50 思考與練習(xí) 下列積分應(yīng)如何換元才使積分簡(jiǎn)便 令 令 令 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 51 第三節(jié) 由導(dǎo)數(shù)公式 積分得 分部積分公式 或 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 分部積分法 第四章 52 例1 求 解 令 則 原式 思考 如何求 提示 令 則 原式 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 53 例2 求 解 令 則 原式 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 54 例3 求 解 令 則 原式 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 55 例4 求 解 令 則 原式 再令 則 故原式 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 56 解題技巧 把被積函數(shù)視為兩個(gè)函數(shù)之積 按 反對(duì)冪指三 的 順序 前者為后者為 例5 求 解 令 則 原式 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 反 反三角函數(shù)對(duì) 對(duì)數(shù)函數(shù)冪 冪函數(shù)指 指數(shù)函數(shù)三 三角函數(shù) 57 例6 求 解 令 則 原式 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 令 58 例7 已知 的一個(gè)原函數(shù)是 求 解 說(shuō)明 此題若先求出 再求積分反而復(fù)雜 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 59 60 思考與練習(xí) 下述運(yùn)算錯(cuò)在哪里 應(yīng)如何改正 得0 1 答 不定積分是原函數(shù)族 相減不應(yīng)為0 求此積分的正確作法是用換元法 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 61 第四節(jié) 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 有理函數(shù)的積分 第四章 62 一 有理函數(shù)的積分 有理函數(shù) 時(shí) 為假分式 時(shí) 為真分式 有理函數(shù) 多項(xiàng)式 真分式 分解 其中部分分式的形式為 若干部分分式之和 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 63 例1 將下列真分式分解為部分分式 解 1 用拼湊法 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 64 2 用賦值法 故 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 65 3 混合法 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 原式 66 四種典型部分分式的積分 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 變分子為 再分項(xiàng)積分 67 例2 求 解 已知 例1 3 目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 68 例3 求 解 原式 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 69 例4 求 解 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 說(shuō)明 將有理函數(shù)分解為部分分式進(jìn)行積分雖可行 但不一定簡(jiǎn)便 因此要注意根據(jù)被積函數(shù)的結(jié)構(gòu)尋求 簡(jiǎn)便的方法 70 例5 求 解 原式 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 71 二 簡(jiǎn)單無(wú)理函數(shù)的積分 被積函數(shù)為簡(jiǎn)單根式的有理式 可通過(guò)根式代換 化為有理函數(shù)的積分 例如 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 72 例6 求 解 令 則 原式 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 73 例7 求 解 為去掉被積函數(shù)分母中的根式 取根指數(shù)2 3的 最小公倍數(shù)6 則有 原式 令 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 74 例8 求 解 令 則 原式 機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 75 作業(yè)P218 4 12 2 4 6 8 9 10 34 4 21 1 2 4 6 7 9 12 15 16 18 45 4 31 3 5 7 9 11 4 41 3 5 7 9 11 4 51 2 3 4 76