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第四章線性方程組 4 1線性方程組的基本概念 下面將討論一般線性方程組 在第一章中 討論了方程的個數(shù)與未知量的個數(shù)相等的 而實際問題中 方程組的方程個數(shù)與未知量的個數(shù) 不一定相等 一 線性方程組的幾種表示形式 方程組 需要探討的問題 是第i個方程第j個未知量xj的系數(shù) 1 線性方程組的一般形式 為常數(shù)項 否則稱為齊次線性方程組 或者導(dǎo)出組 一 線性方程組的幾種表示形式 1 線性方程組的一般形式 一 線性方程組的幾種表示形式 2 線性方程組的矩陣形式 簡記為 1 線性方程組的一般形式 一 線性方程組的幾種表示形式 2 線性方程組的矩陣形式 3 線性方程組的向量形式 令 對于線性方程組 則得到向量形式為 即 將右端項表示成系數(shù)陣的列向量的線性組合 1 線性方程組解的存在性 二 線性方程組解的存在性與惟一性 若AX b有解 則b可由線性表示 故向量組與等價 充分性 1 線性方程組解的存在性 二 線性方程組解的存在性與惟一性 線性方程組AX b有解的充要條件是 定理 證明 故b可由的線性表示 則的極大線性無關(guān)組也是 即得AX b有解 的極大線性無關(guān)組 1 線性方程組解的存在性 二 線性方程組解的存在性與惟一性 2 線性方程組解的惟一性 即AX b的解是惟一的 即存在 使得 1 若 則線性無關(guān) 故b只能由的惟一地線性表示 1 線性方程組解的存在性 二 線性方程組解的存在性與惟一性 2 線性方程組解的惟一性 證明 故AX b的解不惟一 2 若 線性相關(guān) 即存在不全為零的 使得 可見也是AX b的解 則 1 線性方程組解的存在性 二 線性方程組解的存在性與惟一性 2 線性方程組解的惟一性 對于線性方程組AX b 有 2 當時 方程組有唯一解 1 當時 方程組有無窮多解 3 當時 方程組有無解 有非零解 有非零解 二 線性方程組解的存在性與惟一性 3 關(guān)于齊次線性方程組的一些結(jié)論 3 若m n 即A為方陣 則 1 一定有 零 解 則必有非零解 2 只有零解 只有零解 特別 若m n 即方程的個數(shù)小于未知量的個數(shù) 對于齊次線性方程組有如下結(jié)論 三 等價的線性方程組 若存在可逆矩陣P 使PA B 則線性方程組 定理 證明 AX b與BX Pb等價 同解 由 由 故線性方程組AX b與BX Pb等價 三 等價的線性方程組 定理的重要意義 則線性方程組AX b與BX Pb同解 即解不變 稱此為線性方程組同解變形 它是后面 高斯 消元法的基礎(chǔ)