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層次分析法 AnalyticHierarchyProcessAHP T L saaty 層次分析法建模 一問題的提出日常生活中有許多決策問題 決策是指在面臨多種方案時需要依據(jù)一定的標(biāo)準(zhǔn)選擇某一種方案 例1購物買鋼筆 一般要依據(jù)質(zhì)量 顏色 實(shí)用性 價格 外形等方面的因素選擇某一支鋼筆 買飯 則要依據(jù)色 香 味 價格等方面的因素選擇某種飯菜 例2旅游假期旅游 是去風(fēng)光秀麗的蘇州 還是去迷人的北戴河 或者是去山水甲天下的桂林 一般會依據(jù)景色 費(fèi)用 食宿條件 旅途等因素選擇去哪個地方 例3擇業(yè)面臨畢業(yè) 可能有高校 科研單位 企業(yè)等單位可以去選擇 一般依據(jù)工作環(huán)境 工資待遇 發(fā)展前途 住房條件等因素?fù)駱I(yè) 例4科研課題的選擇由于經(jīng)費(fèi)等因素 有時不能同時開展幾個課題 一般依據(jù)課題的可行性 應(yīng)用價值 理論價值 被培養(yǎng)人才等因素進(jìn)行選題 面臨各種各樣的方案 要進(jìn)行比較 判斷 評價 最后作出決策 這個過程主觀因素占有相當(dāng)?shù)谋戎亟o用數(shù)學(xué)方法解決問題帶來不便 T L saaty等人20世紀(jì)在七十年代提出了一種能有效處理這類問題的實(shí)用方法 層次分析法 AnalyticHierarchyProcess AHP 這是一種定性和定量相結(jié)合的 系統(tǒng)化的 層次化的分析方法 過去研究自然和社會現(xiàn)象主要有機(jī)理分析法和統(tǒng)計(jì)分析法兩種方法 前者用經(jīng)典的數(shù)學(xué)工具分析現(xiàn)象的因果關(guān)系 后者以隨機(jī)數(shù)學(xué)為工具 通過大量的觀察數(shù)據(jù)尋求統(tǒng)計(jì)規(guī)律 近年發(fā)展的系統(tǒng)分析是又一種方法 而層次分析法是系統(tǒng)分析的數(shù)學(xué)工具之一 層次分析法的基本思路 與人們對某一復(fù)雜決策問題的思維 判斷過程大體一致 選擇鋼筆 質(zhì)量 顏色 價格 外形 實(shí)用 鋼筆1 鋼筆2 鋼筆3 鋼筆4 質(zhì)量 顏色 價格 外形 實(shí)用進(jìn)行排序?qū)⒏鱾€鋼筆的質(zhì)量 顏色 價格 外形 實(shí)用進(jìn)行排序經(jīng)綜合分析決定買哪支鋼筆 二層次分析法的基本步驟 1建立層次結(jié)構(gòu)模型一般分為三層 最上面為目標(biāo)層 最下面為方案層 中間是準(zhǔn)則層或指標(biāo)層 例1的層次結(jié)構(gòu)模型 準(zhǔn)則層 方案層 目標(biāo)層 例2層次結(jié)構(gòu)模型 準(zhǔn)則層A 方案層B 目標(biāo)層Z 若上層的每個因素都支配著下一層的所有因素 或被下一層所有因素影響 稱為完全層次結(jié)構(gòu) 否則稱為不完全層次結(jié)構(gòu) 設(shè)某層有個因素 2構(gòu)造成對比較矩陣 要比較它們對上一層某一準(zhǔn)則 或目標(biāo) 的影響程度 確定在該層中相對于某一準(zhǔn)則所占的比重 即把個因素對上層某一目標(biāo)的影響程度排序 用表示第個因素相對于第個因素的比較結(jié)果 則 則稱為成對比較矩陣 上述比較是兩兩因素之間進(jìn)行的比較 比較時取1 9尺度 尺度 第個因素與第個因素的影響相同 第個因素比第個因素的影響稍強(qiáng) 第個因素比第個因素的影響強(qiáng) 第個因素比第個因素的影響明強(qiáng) 第個因素比第個因素的影響絕對地強(qiáng) 含義 比較尺度 1 9尺度的含義 2 4 6 8表示第個因素相對于第個因素的影響介于上述兩個相鄰等級之間 不難定義以上各尺度倒數(shù)的含義 根據(jù) 由上述定義知 成對比較矩陣 則稱為正互反陣 比如 例2的旅游問題中 第二層A的各因素對目標(biāo)層Z的影響兩兩比較結(jié)果如下 滿足一下性質(zhì) 1 1 2 4 3 3 2 1 7 5 5 1 4 1 7 1 1 2 1 3 1 3 1 5 2 1 1 1 3 1 5 3 1 1 分別表示景色 費(fèi)用 居住 飲食 旅途 由上表 可得成對比較矩陣 旅游問題的成對比較矩陣共有6個 一個5階 5個3階 問題 兩兩進(jìn)行比較后 怎樣才能知道 下層各因素對上層某因素的影響程度的排序結(jié)果呢 3層次單排序及一致性檢驗(yàn) 層次單排序 確定下層各因素對上層某因素影響程度的過程 用權(quán)值表示影響程度 先從一個簡單的例子看如何確定權(quán)值 例如一塊石頭重量記為1 打碎分成各小塊 各塊的重量 分別記為 則可得成對比較矩陣 由右面矩陣可以看出 即 但在例2的成對比較矩陣中 在正互反矩陣中 若 則稱為一致陣 一致陣的性質(zhì) 5 的任一列 行 都是對應(yīng)于特征根的特征向量 作業(yè) 若成對比較矩陣是一致陣 則我們自然會取對應(yīng)于最大特征根的歸一化特征向量 且 定理 階互反陣的最大特征根 當(dāng)且僅當(dāng)時 為一致陣 表示下層第個因素對上層某因素影響程度的權(quán)值 若成對比較矩陣不是一致陣 Saaty等人建議用其最大特征根對應(yīng)的歸一化特征向量作為權(quán)向量 則 為什么 這樣確定權(quán)向量的方法稱為特征根法 定義一致性指標(biāo) 其中為的對角線元素之和 也為的特征根之和 則可得一致性指標(biāo) 定義隨機(jī)一致性指標(biāo) 隨機(jī)構(gòu)造500個成對比較矩陣 隨機(jī)一致性指標(biāo)RI的數(shù)值 一致性檢驗(yàn) 利用一致性指標(biāo)和一致性比率 0 1及隨機(jī)一致性指標(biāo)的數(shù)值表 對進(jìn)行檢驗(yàn)的過程 一般 當(dāng)一致性比率 的不一致程度在容許范圍之內(nèi) 可用其歸一化特征向量作為權(quán)向量 否則要重新構(gòu)造成對比較矩陣 對加以調(diào)整 時 認(rèn)為 4層次總排序及其一致性檢驗(yàn)確定某層所有因素對于總目標(biāo)相對重要性的排序權(quán)值過程 稱為層次總排序從最高層到最低層逐層進(jìn)行 設(shè) 對總目標(biāo)Z的排序?yàn)?的層次單排序?yàn)?即層第個因素對總目標(biāo)的權(quán)值為 層的層次總排序?yàn)?A B 層次總排序的一致性檢驗(yàn) 設(shè)層對上層 層 中因素的層次單排序一致性指標(biāo)為 隨機(jī)一致性指為 則層次總排序的一致性比率為 當(dāng)時 認(rèn)為層次總排序通過一致性檢驗(yàn) 到此 根據(jù)最下層 決策層 的層次總排序做出最后決策 1 建立層次結(jié)構(gòu)模型該結(jié)構(gòu)圖包括目標(biāo)層 準(zhǔn)則層 方案層 層次分析法的基本步驟歸納如下 3 計(jì)算單排序權(quán)向量并做一致性檢驗(yàn) 2 構(gòu)造成對比較矩陣 從第二層開始用成對比較矩陣和1 9尺度 對每個成對比較矩陣計(jì)算最大特征值及其對應(yīng)的特征向量 利用一致性指標(biāo) 隨機(jī)一致性指標(biāo)和一致性比率做一致性檢驗(yàn) 若檢驗(yàn)通過 特征向量 歸一化后 即為權(quán)向量 若不通過 需要重新構(gòu)造成對比較矩陣 計(jì)算最下層對最上層總排序的權(quán)向量 4 計(jì)算總排序權(quán)向量并做一致性檢驗(yàn) 進(jìn)行檢驗(yàn) 若通過 則可按照總排序權(quán)向量表示的結(jié)果進(jìn)行決策 否則需要重新考慮模型或重新構(gòu)造那些一致性比率較大的成對比較矩陣 利用總排序一致性比率 三層次分析法建模舉例 旅游問題 1 建模 分別分別表示景色 費(fèi)用 居住 飲食 旅途 分別表示蘇杭 北戴河 桂林 2 構(gòu)造成對比較矩陣 3 計(jì)算層次單排序的權(quán)向量和一致性檢驗(yàn) 成對比較矩陣的最大特征值 表明通過了一致性驗(yàn)證 故 則 該特征值對應(yīng)的歸一化特征向量 對成對比較矩陣可以求層次總排序的權(quán)向量并進(jìn)行一致性檢驗(yàn) 結(jié)果如下 計(jì)算可知通過一致性檢驗(yàn) 對總目標(biāo)的權(quán)值為 4 計(jì)算層次總排序權(quán)值和一致性檢驗(yàn) 又 決策層對總目標(biāo)的權(quán)向量為 同理得 對總目標(biāo)的權(quán)值分別為 故 層次總排序通過一致性檢驗(yàn) 可作為最后的決策依據(jù) 故最后的決策應(yīng)為去桂林 又分別表示蘇杭 北戴河 桂林 即各方案的權(quán)重排序?yàn)?四層次分析法的優(yōu)點(diǎn)和局限性 1系統(tǒng)性層次分析法把研究對象作為一個系統(tǒng) 按照分解 比較判斷 綜合的思維方式進(jìn)行決策 成為繼機(jī)理分析 統(tǒng)計(jì)分析之后發(fā)展起來的系統(tǒng)分析的重要工具 2實(shí)用性層次分析法把定性和定量方法結(jié)合起來 能處理許多用傳統(tǒng)的最優(yōu)化技術(shù)無法著手的實(shí)際問題 應(yīng)用范圍很廣 同時 這種方法使得決策者與決策分析者能夠相互溝通 決策者甚至可以直接應(yīng)用它 這就增加了決策的有效性 3簡潔性具有中等文化程度的人即可以了解層次分析法的基本原理并掌握該法的基本步驟 計(jì)算也非常簡便 并且所得結(jié)果簡單明確 容易被決策者了解和掌握 以上三點(diǎn)體現(xiàn)了層次分析法的優(yōu)點(diǎn) 該法的局限性主要表現(xiàn)在以下幾個方面 第一只能從原有的方案中優(yōu)選一個出來 沒有辦法得出更好的新方案 第二該法中的比較 判斷以及結(jié)果的計(jì)算過程都是粗糙的 不適用于精度較高的問題 第三從建立層次結(jié)構(gòu)模型到給出成對比較矩陣 人主觀因素對整個過程的影響很大 這就使得結(jié)果難以讓所有的決策者接受 當(dāng)然采取專家群體判斷的辦法是克服這個缺點(diǎn)的一種途徑 思考 多名專家的綜合決策問題 五正互反陣最大特征值和特征向量實(shí)用算法 用定義計(jì)算矩陣的特征值和特征向量相當(dāng)困難 特別是階數(shù)較高時 成對比較矩陣是通過定性比較得到的比較粗糙的結(jié)果 對它的精確計(jì)算是沒有必要的 尋找簡便的近似方法 定理 對于正矩陣A A的所有元素為正 1 A的最大特征根為正單根 2 對應(yīng)正特征向量w w的所有分量為正 3 其中 是對應(yīng)的歸一化特征向量 1冪法步驟如下 a 任取n維歸一化初始向量 b 計(jì)算 c 歸一化 即令 d 對于預(yù)先給定的精度 當(dāng)下式成立時 即為所求的特征向量 否則返回b e 計(jì)算最大特征值 這是求特征根對應(yīng)特征向量的迭代方法 其收斂性由定理的3 保證 2和法步驟如下 a 將A的每一列向量歸一化得 b 對 c 歸一化 按行求和得 d 計(jì)算 3根法 步驟與和法基本相同 只是將步驟b改為對 按行求積并開n次方 即 三方法中 和法最為簡便 看下列例子 e 計(jì)算 最大特征值的近似值 列向量歸一化 求和 歸一化 精確計(jì)算 得