2018版高中數(shù)學(xué) 第二章 概率 2.5.1 離散型隨機(jī)變量的均值學(xué)案 蘇教版選修2-3.doc
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2.5.1 離散型隨機(jī)變量的均值 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.通過實(shí)例理解離散型隨機(jī)變量均值的概念,能計(jì)算簡(jiǎn)單離散型隨機(jī)變量的均值.2.理解離散型隨機(jī)變量的均值的性質(zhì).3.掌握兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布的均值.4.會(huì)利用離散型隨機(jī)變量的均值,反映離散型隨機(jī)變量的取值水平,解決一些相關(guān)的實(shí)際問題. 知識(shí)點(diǎn)一 離散型隨機(jī)變量的均值或數(shù)學(xué)期望 設(shè)有12個(gè)西瓜,其中4個(gè)重5 kg,3個(gè)重6 kg,5個(gè)重7 kg. 思考1 任取1個(gè)西瓜,用X表示這個(gè)西瓜的重量,試問X可以取哪些值? 思考2 當(dāng)X取上述值時(shí),對(duì)應(yīng)的概率分別是多少? 思考3 如何求每個(gè)西瓜的平均重量? 梳理 離散型隨機(jī)變量的均值或數(shù)學(xué)期望 一般地,若離散型隨機(jī)變量X的概率分布如下表: X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn (1)數(shù)學(xué)期望:E(X)=μ=________________________________________________________________________. (2)性質(zhì) ①pi≥0,i=1,2,…,n;②p1+p2+…+pn=1. (3)數(shù)學(xué)期望的含義:它反映了離散型隨機(jī)變量取值的____________. 知識(shí)點(diǎn)二 兩點(diǎn)分布、超幾何分布、二項(xiàng)分布的均值 1.兩點(diǎn)分布:若X~0-1分布,則E(X)=________. 2.超幾何分布:若X~H(n,M,N),則E(X)=________. 3.二項(xiàng)分布:若X~B(n,p),則E(X)=________. 類型一 離散型隨機(jī)變量的均值 例1 某同學(xué)參加科普知識(shí)競(jìng)賽,需回答三個(gè)問題,競(jìng)賽規(guī)則規(guī)定:每題回答正確得100分,回答不正確得-100分,假設(shè)這名同學(xué)回答正確的概率均為0.8,且各題回答正確與否相互之間沒有影響. (1)求這名同學(xué)回答這三個(gè)問題的總得分X的概率分布和均值; (2)求這名同學(xué)總得分不為負(fù)分(即X≥0)的概率. 反思與感悟 求隨機(jī)變量X的均值的方法和步驟 (1)理解隨機(jī)變量X的意義,寫出X所有可能的取值. (2)求出X取每個(gè)值的概率P(X=k). (3)寫出X的分布列. (4)利用均值的定義求E(X). 跟蹤訓(xùn)練1 在有獎(jiǎng)摸彩中,一期(發(fā)行10 000張彩票為一期)有200個(gè)獎(jiǎng)品是5元,20個(gè)獎(jiǎng)品是25元,5個(gè)獎(jiǎng)品是100元.在不考慮獲利的前提下,一張彩票的合理價(jià)格是多少元? 引申探究 在重復(fù)5次投籃時(shí),命中次數(shù)為Y,隨機(jī)變量η=5Y+2.求E(η).例2 某運(yùn)動(dòng)員投籃命中率為p=0.6. (1)求投籃1次命中次數(shù)X的均值; (2)求重復(fù)5次投籃,命中次數(shù)Y的均值. 反思與感悟 (1)常見的兩種分布的均值 設(shè)p為一次試驗(yàn)中成功的概率,則 ①兩點(diǎn)分布E(X)=p; ②二項(xiàng)分布E(X)=np. 熟練應(yīng)用上述兩公式可大大減少運(yùn)算量,提高解題速度. (2)兩點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布辨析 ①相同點(diǎn):一次試驗(yàn)中要么發(fā)生要么不發(fā)生. ②不同點(diǎn): a.隨機(jī)變量的取值不同,兩點(diǎn)分布隨機(jī)變量的取值為0,1,二項(xiàng)分布中隨機(jī)變量的取值X=0,1,2,…,n. b.試驗(yàn)次數(shù)不同,兩點(diǎn)分布一般只有一次試驗(yàn);二項(xiàng)分布則進(jìn)行n次試驗(yàn). 跟蹤訓(xùn)練2 根據(jù)以往統(tǒng)計(jì)資料,某地車主購(gòu)買甲種保險(xiǎn)的概率為0.5,購(gòu)買乙種保險(xiǎn)但不購(gòu)買甲種保險(xiǎn)的概率為0.3,設(shè)各車主購(gòu)買保險(xiǎn)相互獨(dú)立. (1)求該地1位車主至少購(gòu)買甲、乙兩種保險(xiǎn)中的1種的概率; (2)X表示該地的100位車主中,甲、乙兩種保險(xiǎn)都不購(gòu)買的車主數(shù),求X的均值. 例3 一個(gè)口袋內(nèi)有n(n>3)個(gè)大小相同的球,其中有3個(gè)紅球和(n-3)個(gè)白球.已知從口袋中隨機(jī)取出一個(gè)球是紅球的概率是.不放回地從口袋中隨機(jī)取出3個(gè)球,求取到白球的個(gè)數(shù)ξ的均值E(ξ). 反思與感悟 (1)超幾何分布模型 一般地,在含有M件次品的N件產(chǎn)品中,任取n件,其中含有X件次品,則P(X=k)=,k=0,1,2,…,m,其中m=min{M,n},且n≤N,M≤N,n,M,N∈N*. (2)超幾何分布均值的計(jì)算公式 若一個(gè)隨機(jī)變量X的分布列服從超幾何分布,則E(X)=. 跟蹤訓(xùn)練3 設(shè)在15個(gè)同類型的零件中有2個(gè)次品,每次任取1個(gè),共取3次,并且每次取出后不再放回,若以X表示取出次品的個(gè)數(shù),求均值E(X). 類型二 均值的應(yīng)用 例4 甲、乙、丙三人進(jìn)行羽毛球練習(xí)賽,其中兩人比賽,另一人當(dāng)裁判,每局比賽結(jié)束時(shí),負(fù)的一方在下一局當(dāng)裁判.設(shè)各局中雙方獲勝的概率均為,各局比賽的結(jié)果相互獨(dú)立,第1局甲當(dāng)裁判. (1)求第4局甲當(dāng)裁判的概率; (2)X表示前4局中乙當(dāng)裁判的次數(shù),求X的均值. 反思與感悟 解答此類題目,應(yīng)首先把實(shí)際問題概率模型化,然后利用有關(guān)概率的知識(shí)去分析相應(yīng)各事件可能性的大小,并列出概率分布表,最后利用有關(guān)的公式求出相應(yīng)的概率及均值. 跟蹤訓(xùn)練4 某商場(chǎng)舉行有獎(jiǎng)促銷活動(dòng),顧客購(gòu)買一定金額的商品后即可抽獎(jiǎng),每次抽獎(jiǎng)都是從裝有4個(gè)紅球、6個(gè)白球的甲箱和裝有5個(gè)紅球、5個(gè)白球的乙箱中,各隨機(jī)摸出1個(gè)球,在摸出的2個(gè)球中,若都是紅球,則獲一等獎(jiǎng);若只有1個(gè)紅球,則獲二等獎(jiǎng);若沒有紅球,則不獲獎(jiǎng). (1)求顧客抽獎(jiǎng)1次能獲獎(jiǎng)的概率; (2)若某顧客有3次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì),記該顧客在3次抽獎(jiǎng)中獲一等獎(jiǎng)的次數(shù)為X,求X的概率分布和均值. 1.現(xiàn)有一個(gè)項(xiàng)目,對(duì)該項(xiàng)目每投資10萬元,一年后利潤(rùn)是1.2萬元,1.18萬元,1.17萬元的概率分別為,,.隨機(jī)變量X表示對(duì)此項(xiàng)目投資10萬元一年后的利潤(rùn),則X的均值為________. 2.若p為非負(fù)實(shí)數(shù),隨機(jī)變量ξ的概率分布如下表: ξ 0 1 2 P -p p 則E(ξ)的最大值為________. 3.設(shè)隨機(jī)變量X~B(40,p),且E(X)=16,則p=________. 4.袋中有20個(gè)大小相同的球,其中記上0號(hào)的有10個(gè),記上n號(hào)的有n個(gè)(n=1,2,3,4).現(xiàn)從袋中任取一球,ξ表示所取球的標(biāo)號(hào). (1)求ξ的概率分布、均值; (2)若η=aξ+4,E(η)=1,求a的值. 1.求離散型隨機(jī)變量的均值的步驟 (1)確定離散型隨機(jī)變量X的取值. (2)寫出分布列,并檢查分布列的正確與否. (3)根據(jù)公式寫出均值. 2.若X、Y是兩個(gè)隨機(jī)變量,且Y=aX+b,則E(Y)=aE(X)+b;如果一個(gè)隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布或二項(xiàng)分布,可直接利用公式計(jì)算均值. 答案精析 問題導(dǎo)學(xué) 知識(shí)點(diǎn)一 思考1 X=5,6,7. 思考2 P(X=5)==, P(X=6)==,P(X=7)=. 思考3 =5+6+7=. 梳理 (1)x1p1+x2p2+…+xnpn (3)平均水平 知識(shí)點(diǎn)二 1.p 2. 3.np 題型探究 例1 解 (1)X的可能取值為-300, -100,100,300. P(X=-300)=0.23=0.008, P(X=-100)=C0.80.22=0.096, P(X=100)=C0.820.21=0.384, P(X=300)=0.83=0.512, 所以X的概率分布如下表: X -300 -100 100 300 P 0.008 0.096 0.384 0.512 所以E(X)=(-300)0.008+(-100)0.096+1000.384+3000.512=180(分). (2)這名同學(xué)總得分不為負(fù)分的概率為P(X≥0)=P(X=100)+P(X=300) =0.384+0.512=0.896. 跟蹤訓(xùn)練1 解 設(shè)一張彩票的中獎(jiǎng)?lì)~為隨機(jī)變量X,顯然X的所有可能取值為0,5,25,100.依題意X的概率分布如下表: X 0 5 25 100 P 所以E(X)=0+5+25+100 =0.2,所以一張彩票的合理價(jià)格是0.2元. 例2 解 (1)投籃1次,命中次數(shù)X的概率分布如下表: X 0 1 P 0.4 0.6 則E(X)=0.6. (2)由題意知,重復(fù)5次投籃,命中次數(shù)Y服從二項(xiàng)分布,即Y~B(5,0.6), E(Y)=np=50.6=3. 引申探究 解 E(η)=E(5Y+2)=5E(Y)+2 =53+2=17. 跟蹤訓(xùn)練2 解 設(shè)該車主購(gòu)買乙種保險(xiǎn)的概率為p,由題意知p(1-0.5)=0.3,解得p=0.6. (1)設(shè)所求概率為P1,則 P1=1-(1-0.5)(1-0.6)=0.8. 故該地1位車主至少購(gòu)買甲、乙兩種保險(xiǎn)中的1種的概率為0.8. (2)每位車主甲、乙兩種保險(xiǎn)都不購(gòu)買的概率為 (1-0.5)(1-0.6)=0.2. ∴X~B(100,0.2), ∴E(X)=1000.2=20. ∴X的均值是20. 例3 解 ∵p=,∴=,∴n=5, ∴5個(gè)球中有2個(gè)白球. 方法一 白球的個(gè)數(shù)ξ可取0,1,2. 則P(ξ=0)==, P(ξ=1)==, P(ξ=2)==. ∴E(ξ)=0+1+2=. 方法二 取到白球的個(gè)數(shù)ξ服從參數(shù)為N=5,M=2,n=3的超幾何分布, 則E(ξ)===. 跟蹤訓(xùn)練3 解 方法一 P(X=0)==, P(X=1)==, P(X=2)==, 則E(X)=0+1+2 =. 方法二 由題意可知,X服從N=15,M=2,n=3的超幾何分布, ∴E(X)===. 例4 解 (1)記A1表示事件“第2局結(jié)果為甲勝”,A2表示事件“第3局甲參加比賽,結(jié)果為甲負(fù)”, A表示事件“第4局甲當(dāng)裁判”. 則A=A1A2. P(A)=P(A1A2)=P(A1)P(A2)=. (2)X的可能取值為0,1,2. 記A3表示事件“第3局乙和丙比賽時(shí),結(jié)果為乙勝丙”,B1表示事件“第1局結(jié)果為乙勝丙”,B2表示事件“第2局乙和甲比賽時(shí),結(jié)果為乙勝甲”,B3表示事件“第3局乙參加比賽時(shí),結(jié)果為乙負(fù)”. 則P(X=0)=P(B1B2A3) =P(B1)P(B2)P(A3)=, P(X=2)=P(1B3)=P(1)P(B3) =, P(X=1)=1-P(X=0)-P(X=2) =1--=, E(X)=0P(X=0)+1P(X=1)+2P(X=2)=. 跟蹤訓(xùn)練4 解 (1)記事件A1={從甲箱中摸出的1個(gè)球是紅球}, A2={從乙箱中摸出的1個(gè)球是紅球}, B1={顧客抽獎(jiǎng)1次獲一等獎(jiǎng)},B2={顧客抽獎(jiǎng)1次獲二等獎(jiǎng)},C={顧客抽獎(jiǎng)1次能獲獎(jiǎng)}. 由題意,A1與A2相互獨(dú)立,A12與1A2互斥,B1與B2互斥,且B1=A1A2,B2=A12+1A2,C=B1+B2. 因?yàn)镻(A1)==,P(A2)==, 所以P(B1)=P(A1A2)=P(A1)P(A2)==, P(B2)=P(A12+1A2)=P(A12)+P(1A2) =P(A1)P(2)+P(1)P(A2) =P(A1)[1-P(A2)]+[1-P(A1)]P(A2) =+ =. 故所求概率為 P(C)=P(B1+B2)=P(B1)+P(B2) =+=. (2)顧客抽獎(jiǎng)3次可視為3次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn),由(1)知,顧客抽獎(jiǎng)1次獲一等獎(jiǎng)的概率為,所以X~B. 于是P(X=0)=C03 =, P(X=1)=C12=, P(X=2)=C21=, P(X=3)=C30=. 故X的概率分布如下表: X 0 1 2 3 P 故X的均值為E(X)=3=. 當(dāng)堂訓(xùn)練 1.1.18 2. 3.0.4 4.解 (1)ξ的概率分布如下表: ξ 0 1 2 3 4 P ξ的均值為E(ξ)=0+1+2+3+4=. (2)E(η)=aE(ξ)+4=1,又E(ξ)=, 則a+4=1,∴a=-2.- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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