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2019-2020年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期第一次月考試題 (III) （總分100分，時(shí)間：120分鐘） （注意：請將所有題目的解答都寫到“答題卷”上） 錐體體積公式： ，其中為底面面積，為高 球的表面積、體積公式： ， 其中為球的半徑 參考公式： 柱體體積公式： 其中為底面面積，為高 臺(tái)體的體積公式： ，其中S′、S 表示臺(tái)體的上、下底面積，h 表示臺(tái)體的高 一、選擇題(本題12小題，每小題3分，共36分。每小題只有一個(gè)選項(xiàng)符合題意，請將正確答案填入答題卷中。) 1．如果直線ax＋2y＋2＝0與直線3x－y－2＝0平行，則系數(shù)a為 (　　) A．－3 B．－6 C．－ D. 2．PA垂直于以AB為直徑的圓所在平面，C為圓上異于A，B的 任一點(diǎn)，則下列關(guān)系不正確的是 (　　) A．PA⊥BC B．BC⊥平面PAC C．AC⊥PB D．PC⊥BC 3．圓的一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)是(2,0)，(2，－2)，則此圓的方程是 (　　) A．(x－2)2＋(y－1)2＝1 B．(x－2)2＋(y＋1)2＝1 C．(x＋2)2＋(y－1)2＝1 D．(x＋2)2＋(y＋1)2＝1 4．直線mx＋ny－1＝0同時(shí)過第一、三、四象限的條件是 (　　) A．mn>0 B．mn<0 C．m>0，n<0 D．m<0，n<0 5．給定下列四個(gè)命題： ①若一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線與另一個(gè)平面都平行，那么這兩個(gè)平面相互平行； ②若一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的垂線，那么這兩個(gè)平面相互垂直； ③垂直于同一直線的兩條直線相互平行； ④若兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)與它們的交線不垂直的直線與另一個(gè)平面也不垂直． 其中，為真命題的是 (　　) A．①和② B．②和③ C．③和④ D．②和④ 6．若點(diǎn)P(1,1)為圓(x－3)2＋y2＝9的弦MN的中點(diǎn)，則弦MN所在直線方程為(　　) A．2x＋y－3＝0 B．x－2y＋1＝0 C．x＋2y－3＝0 D．2x－y－1＝0 7．某幾何體的三視圖如圖所示，則這個(gè)幾何體的體積等于 (　　) A．4 B．6 C．8 D．12 8．設(shè)α、β是兩個(gè)不同的平面，l是一條直線，以下命題 正確的是(　　) A．若l⊥α，α⊥β，則l?β B．若l∥α，α∥β，則l?β C．若l⊥α，α∥β，則l⊥β D．若l∥α，α⊥β，則l⊥β （第7題圖） A B C D A1 B1 C1 D1 9．已知兩點(diǎn)(-3，4)，(3，2)，過點(diǎn)(2，-1)的直線與線段AB有公共點(diǎn)，則直線的斜率的取值范圍 (　　) A．k≤-3或k≥1 B．k≤－1或k≥3 C.-3≤k≤1 D．－1≤k≤3 10. 如圖長方體中，AB=AD=2，CC1=，則二面角 C1—BD—C的大小為（ ） A、300 B、450 C、600 D、900 （第10題圖） 11．過點(diǎn)P(0,1)且與兩點(diǎn)A(3,3)，B(5，－1)距離相等的直線的方程是 (　　) A．y＝1 B．2x＋y－1＝0 C．y＝1或2x＋y－1＝0 D．2x＋y－1＝0或2x＋y＋1＝0 12．已知三棱錐S－ABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，△ABC是邊長為1的正三角形，SC為球O的直徑，且SC＝2，則此棱錐的體積為 (　　) A. B. C. D. 二、填空題(本題4小題，每小題3分,共12分) 13. 甲船在某港口的東50 km，北30 km處，乙船在同一港口的東14 km，南18 km處，那么甲、乙兩船的距離是________． 14．如果圓的方程為x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，那么當(dāng)圓面積最大時(shí)，圓心坐標(biāo)為________． 15．設(shè)α∥β，A∈α，C∈α，B∈β，D∈β，直線AB與CD交于O，若AO＝8，BO＝9，CD＝34，則CO＝________． 16．一個(gè)水平放置的圓柱形儲(chǔ)油桶(如圖所示)，桶內(nèi)有油部分所在圓弧占底面圓周長的，則油桶直立時(shí)，油的高度與桶的高度的比值是________． （結(jié)果保留） 三、解答題（共6題，52分），解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟． 17.(本題滿分8分) 如圖所示，在四邊形ABCD中，∠DAB＝90，∠ADC＝135， AB＝5，CD＝2，AD＝2，求四邊形ABCD繞AD旋轉(zhuǎn)一周 所成幾何體的表面積及體積．（結(jié)果保留） 18.（本題滿分8分) 已知點(diǎn)M是直線l：x－y＋3＝0與x軸的交點(diǎn)，將直線l繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)30，求所得到的 直線l′的方程． 19.(本題滿分8分) 如圖所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，AC＝BC＝CC1，M，N分別是A1B， B1C1的中點(diǎn)． (1)求證：MN⊥平面A1BC； (2)求直線BC1和平面A1BC所成的角的大?。? 20.(本題滿分8分) 求經(jīng)過兩直線2x＋y－8＝0與x－2y＋1＝0的交點(diǎn)，且在y軸上的截距為在x軸上截距 的兩倍的直線l的方程． 21.(本題滿分10分) 如圖，在四棱錐P－ABCD中，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，側(cè)棱PA⊥PD，底面ABCD是直 角梯形，其中BC∥AD，∠BAD＝90，AD＝3BC，O是AD上一點(diǎn)． (1)若CD∥平面PBO，試指出點(diǎn)O的位置； (2)求證：平面PAB⊥平面PCD． 22. (本題滿分10分) 等腰直角三角形ABC的直角頂點(diǎn)C和頂點(diǎn)B都在直線2x＋3y－6＝0上，頂點(diǎn)A的坐標(biāo) 是(1，－2)．求邊AB、AC所在直線方程． 草 稿 紙 考位號(hào) 總分 一、選擇題(共 12 小題，36 分，請將答案填入下表中。) 題號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 二、填空題（共4小題，每題3分，共12分） 13. , 14. ， 15. ， 16. 。 三、解答題（共6題，52分）解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟． 17.（本題滿分8分） 18.（本題滿分8分） 19.（本題滿分8分） 20.（本題滿分8分） 21.（本題滿分10分） 22.（本題滿分10分） 一、選擇題(共 12 小題，每題3分，共36分) 題號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B C B C D D A C B A C A 二、填空題（共4小題，每題3分，共12分） 13. 60 km ； 14. (0，－1) ； 15. 16或272 ； 16. － 。 18、(8分) 解　在x－y＋3＝0中，令y＝0，得x＝－，即M(－，0)．……（1分） ∵直線l的斜率k＝，∴其傾斜角θ＝60. ……（2分） 若直線l繞點(diǎn)M逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)30，則直線l′的傾斜角為60＋30＝90，此時(shí)斜率不存在，故其方程為x＝－.……（5分） 若直線l繞點(diǎn)M順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)30，則直線l′的傾斜角為60－30＝30，此時(shí)斜率為tan 30＝，故其方程為y＝(x＋)，即x－y＋＝0. 綜上所述，所求直線方程為x＋＝0或x－y＋＝0. ……（8分） 19、(8分) (1)證明：如圖所示，由已知BC⊥AC，BC⊥CC1， 得BC⊥平面ACC1A1．連接AC1，則BC⊥AC1． 由已知，可知側(cè)面ACC1A1是正方形，所以A1C⊥AC1． 又BC∩A1C＝C，所以AC1⊥平面A1BC． ……（2分） 因?yàn)閭?cè)面ABB1A1是正方形，M是A1B的中點(diǎn)，連接AB1， 則點(diǎn)M是AB1的中點(diǎn)．又點(diǎn)N是B1C1的中點(diǎn)， 則MN是△AB1C1的中位線，所以MN∥AC1． 故MN⊥平面A1BC． ……（4分） (2)解：如圖所示，因?yàn)锳C1⊥平面A1BC，設(shè)AC1與A1C相交于點(diǎn)D， 連接BD，則∠C1BD為直線BC1和平面A1BC所成的角． ……（5分） 設(shè)AC＝BC＝CC1＝a，則C1D＝a，BC1＝a．在Rt△BDC1中，sin ∠C1BD＝＝ ，所以∠C1BD＝30，故直線BC1和平面A1BC所成的角為30．…（8分） 20. (8分) 解　(1)2x＋y－8＝0在x軸、y軸上的截距分別是4和8，符合題意．…（2分） (2)當(dāng)l的方程不是2x＋y－8＝0時(shí)，設(shè)l：(x－2y＋1)＋λ(2x＋y－8)＝0， 即(1＋2λ)x＋(λ－2)y＋(1－8λ)＝0. ……（3分） 據(jù)題意，1＋2λ≠0，λ－2≠0.令x＝0，得y＝－； 令y＝0，得x＝－. ……（5分） ∴－＝2，解之得λ＝，此時(shí)y＝x.即2x－3y＝0. ∴所求直線方程為2x＋y－8＝0或2x－3y＝0. ……（8分） 21.（10分）(1)解　∵CD∥平面PBO，CD?平面ABCD，且平面ABCD∩平面PBO＝BO， ∴BO∥CD．……（2分） 又BC∥AD，∴四邊形BCDO為平行四邊形．則BC＝DO，……（4分） 而AD＝3BC，∴AD＝3OD，即點(diǎn)O是靠近點(diǎn)D的線段AD的一個(gè)三等分點(diǎn)．…（5分） (2)證明：∵側(cè)面PAD⊥底面ABCD，面PAD∩面ABCD＝AD，AB?底面ABCD，且AB⊥AD， ∴AB⊥平面PAD．……（7分） 又PD?平面PAD，∴AB⊥PD． 又PA⊥PD，且AB∩PA＝A，∴PD⊥平面PAB．……（9分） 又PD?平面PCD，∴平面PAB⊥平面PCD．……（10分） 22. （10分) 解：已知BC的斜率為－，因?yàn)锽C⊥AC，所以直線AC的斜率為， 從而直線AC的方程為y＋2＝(x－1)，即3x－2y－7＝0，……（2分） 又點(diǎn)A(1，－2)到直線BC：2x＋3y－6＝0的距離為|AC|＝，且|AC|＝|BC|＝.…（3分） 由于點(diǎn)B在直線2x＋3y－6＝0上，可設(shè)B(a,2－a)，且點(diǎn)B到直線AC的距離為＝，……（5分） |a－11|＝10. 所以a－11＝10或a－11＝－10，所以a＝或， 所以B或B ……（7分） 所以直線AB的方程為y＋2＝(x－1)或y＋2＝(x－1)． 即x－5y－11＝0或5x＋y－3＝0，……（9分） 所以AC所在的直線方程為3x－2y－7＝0， AB所在的直線方程為x－5y－11＝0或5x＋y－3＝0.……（10分）