2018版高中數(shù)學 第二章 概率 習題課 離散型隨機變量的方差與標準差學案 蘇教版選修2-3.doc
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習題課 離散型隨機變量的方差與標準差 學習目標 1.進一步理解離散型隨機變量的方差的概念.2.熟練應用公式及性質求隨機變量的方差.3.體會均值和方差在決策中的應用. 1.方差、標準差的定義及方差的性質 (1)方差及標準差的定義: 設離散型隨機變量X的概率分布為 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn ①方差V(X)=(x1-μ)2p1+(x2-μ)2p2+…+(xn-μ)2pn.(其中μ=E(X)) ②標準差為________________. (2)方差的性質:V(aX+b)=________. 2.兩個常見分布的方差 (1)兩點分布:若X~0-1分布,則V(X)=_________________________________; (2)二項分布:若X~B(n,p),則V(X)=________________________________. 類型一 二項分布的方差問題 例1 一出租車司機從某飯店到火車站途中有六個交通崗,假設他在各交通崗遇到紅燈這一事件是相互獨立的,并且概率是. (1)求這位司機遇到紅燈數(shù)ξ的均值與方差; (2)若遇上紅燈,則需等待30 s,求司機總共等待時間η的均值與方差. 反思與感悟 解決此類問題的第一步是判斷隨機變量服從什么分布,第二步代入相應的公式求解.若它服從兩點分布,則方差為p(1-p);若它服從二項發(fā)布,則方差為np(1-p). 跟蹤訓練1 在某地舉辦的射擊比賽中,規(guī)定每位射手射擊10次,每次一發(fā).記分的規(guī)則為:擊中目標一次得3分;未擊中目標得0分;并且凡參賽的射手一律另加2分.已知射手小李擊中目標的概率為0.8,求小李在比賽中得分的均值與方差. 類型二 均值、方差在決策中的應用 例2 某投資公司在2017年年初準備將1 000萬元投資到“低碳”項目上,現(xiàn)有兩個項目供選擇: 項目一:新能源汽車.據(jù)市場調研,投資到該項目上,到年底可能獲利30%,也可能虧損15%,且這兩種情況發(fā)生的概率為和; 項目二:通信設備.據(jù)市場調研,投資到該項目上,到年底可能獲利50%,可能虧損30%,也可能不賠不賺,且這三種情況發(fā)生的概率分別為,和. 針對以上兩個投資項目,請你為投資公司選擇一個合理的項目,并說明理由. 反思與感悟 離散型隨機變量的均值反映了離散型隨機變量取值的平均水平,而方差反映了離散型隨機變量取值的穩(wěn)定與波動、集中與離散的程度.因此在實際決策問題中,需先運算均值,看一下誰的平均水平高,然后再計算方差,分析一下誰的水平發(fā)揮相對穩(wěn)定,當然不同的模型要求不同,應視情況而定. 跟蹤訓練2 已知甲、乙兩名射手在每次射擊中擊中的環(huán)數(shù)均大于6,且甲射中10,9,8,7環(huán)的概率分別為0.5,3a,a,0.1,乙射中10,9,8環(huán)的概率分別為0.3,0.3,0.2.記甲射中的環(huán)數(shù)為ξ,乙射中的環(huán)數(shù)為η. (1)求ξ,η的概率分布; (2)求ξ,η的均值與方差,并以此比較甲、乙的射擊技術. 1.設一隨機試驗的結果只有A和,且P(A)=m,令隨機變量ξ=則ξ的方差V(ξ)=________. 2.已知隨機變量X+Y=8,若X~B(10,0.6),則E(Y),V(Y)分別是________. 3.已知隨機變量ξ的概率分布為 ξ 0 1 x P p 若E(ξ)=,則V(ξ)的值為________. 4.有兩臺自動包裝機甲與乙,包裝質量分別為隨機變量X,Y,已知E(X)=E(Y),V(X)>V(Y),則自動包裝機________的質量較好.(填“甲”或“乙”) 1.已知隨機變量X的均值、方差,求X的線性函數(shù)y=aX+b的均值和方差,可直接用X的均值,方差的性質求解,即E(aX+b)=aE(X)+b,V(aX+b)=a2V(X). 2.若能分析出所給隨機變量服從兩點分布或二項分布,則可直接用它們的均值、方差公式計算. 3.作為統(tǒng)計量,均值和方差本身無優(yōu)劣,用均值和方差進行決策,一定要結合實際問題,只有理解了實際問題的本質,才能作出正確的決策. 答案精析 知識梳理 1.(1)②σ= (2)a2V(X) 2.(1)p(1-p) (2)np(1-p) 題型探究 例1 解 (1)易知司機遇上紅燈次數(shù)ξ服從二項分布, 且ξ~B(6,),故E(ξ)=6=2, V(ξ)=6(1-)=. (2)由已知η=30ξ, 故E(η)=30E(ξ)=60,V(η)=900V(ξ) =1 200. 跟蹤訓練1 解 用ξ表示小李擊中目標的次數(shù),η表示他的得分,則由題意知ξ~B(10,0.8),η=3ξ+2. 因為E(ξ)=100.8=8,V(ξ)=100.80.2=1.6, 所以E(η)=E(3ξ+2)=3E(ξ)+2=38+2=26, V(η)=V(3ξ+2)=32V(ξ)=91.6 =14.4. 例2 解 若按項目一投資,設獲利X1萬元, 則X1的概率分布如下表: X1 300 -150 P ∴E(X1)=300+(-150) =200. V(X1)=(300-200)2+(-150-200)2=35 000, 若按項目二投資,設獲利X2萬元, 則X2的概率分布如下表: X2 500 -300 0 P ∴E(X2)=500+(-300)+0=200. V(X2)=(500-200)2+(-300-200)2+(0-200)2=140 000, ∴E(X1)=E(X2),V(X1)<V(X2), 這說明雖然項目一、項目二獲利相等,但項目一更穩(wěn)妥. 綜上所述,建議該投資公司選擇項目一投資. 跟蹤訓練2 解 (1)依據(jù)題意知,0.5+3a+a+0.1=1, 解得a=0.1. ∵乙射中10,9,8環(huán)的概率分別為0.3,0.3,0.2, ∴乙射中7環(huán)的概率為1-(0.3+0.3+0.2)=0.2. ∴ξ,η的概率分布分別為 ξ 10 9 8 7 P 0.5 0.3 0.1 0.1 η 10 9 8 7 P 0.3 0.3 0.2 0.2 (2)結合(1)中ξ,η的概率分布,可得 E(ξ)=100.5+90.3+80.1+70.1=9.2, E(η)=100.3+90.3+80.2+70.2=8.7, V(ξ)=(10-9.2)20.5+(9-9.2)20.3+(8-9.2)20.1+(7-9.2)20.1=0.96, V(η)=(10-8.7)20.3+(9-8.7)20.3+(8-8.7)20.2+(7-8.7)20.2=1.21. ∵E(ξ)>E(η),說明甲平均射中的環(huán)數(shù)比乙高. 又∵V(ξ)- 配套講稿:
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