2018版高中數(shù)學(xué) 第二章 概率章末復(fù)習(xí)課學(xué)案 蘇教版選修2-3.doc
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第二章 概率 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.進(jìn)一步理解隨機(jī)變量及其概率分布的概念,了解概率分布對(duì)于刻畫隨機(jī)現(xiàn)象的重要性.2.理解超幾何分布及其導(dǎo)出過程,并能夠進(jìn)行簡(jiǎn)單的應(yīng)用.3.了解條件概率和兩個(gè)事件相互獨(dú)立的概念,理解n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)?zāi)P图岸?xiàng)分布,并能解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題.4.理解取有限個(gè)值的離散型隨機(jī)變量的均值、方差的概念,能計(jì)算簡(jiǎn)單的離散型隨機(jī)變量的均值、方差,并能解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題. 1.事件概率的求法 (1)條件概率的求法 ①利用定義分別求出P(B)和P(AB),解得P(A|B)=. ②借助古典概型公式,先求事件B包含的基本事件數(shù)n,再在事件B發(fā)生的條件下求事件A包含的基本事件數(shù)m,得P(A|B)=. (2)相互獨(dú)立事件的概率 若事件A,B相互獨(dú)立,則P(AB)=P(A)P(B). (3)n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn) 在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中,事件A發(fā)生k次的概率為 Pn(k)=Cpkqn-k,k=0,1,2,…,n,q=1-p. 2.隨機(jī)變量的分布列 (1)求離散型隨機(jī)變量的概率分布的步驟 ①明確隨機(jī)變量X取哪些值; ②計(jì)算隨機(jī)變量X取每一個(gè)值時(shí)的概率; ③將結(jié)果用二維表格形式給出.計(jì)算概率時(shí)注意結(jié)合排列與組合知識(shí). (2)兩種常見的分布列 ①超幾何分布 若一個(gè)隨機(jī)變量X的分布列為P(X=r)=,其中r=0,1,2,3,…,l,l=min(n,M),則稱X服從超幾何分布. ②二項(xiàng)分布 若隨機(jī)變量X的分布列為P(X=k)=Cpkqn-k,其中0<p<1,p+q=1,k=0,1,2,…,n,則稱X服從參數(shù)為n,p的二項(xiàng)分布,記作X~B(n,p). 3.離散型隨機(jī)變量的均值與方差 (1)若離散型隨機(jī)變量X的概率分布如下表: X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 則E(X)=x1p1+x2p2+…+xnpn,令μ=E(X), 則V(X)=(x1-μ)2p1+(x2-μ)2p2+…+(xn-μ)2pn. (2)當(dāng)X~H(n,M,N)時(shí), E(X)=,V(X)=. (3)當(dāng)X~B(n,p)時(shí),E(X)=np,V(X)=np(1-p). 類型一 條件概率的求法 例1 口袋中有2個(gè)白球和4個(gè)紅球,現(xiàn)從中隨機(jī)不放回地連續(xù)抽取兩次,每次抽取1個(gè),則: (1)第一次取出的是紅球的概率是多少? (2)第一次和第二次都取出的是紅球的概率是多少? (3)在第一次取出紅球的條件下,第二次取出的是紅球的概率是多少? 反思與感悟 條件概率是學(xué)習(xí)相互獨(dú)立事件的前提和基礎(chǔ),計(jì)算條件概率時(shí),必須搞清要求的條件概率是在什么條件下發(fā)生的概率.一般地,計(jì)算條件概率常有兩種方法 (1)P(B|A)=.(2)P(B|A)=. 在古典概型下,n(AB)指事件A與事件B同時(shí)發(fā)生的基本事件個(gè)數(shù);n(A)是指事件A發(fā)生的基本事件個(gè)數(shù). 跟蹤訓(xùn)練1 擲兩顆均勻的骰子,已知第一顆骰子擲出6點(diǎn),問“擲出點(diǎn)數(shù)之和大于或等于10”的概率. 類型二 互斥、對(duì)立、獨(dú)立事件的概率 例2 某企業(yè)有甲、乙兩個(gè)研發(fā)小組,他們研發(fā)新產(chǎn)品成功的概率分別為和.現(xiàn)安排甲組研發(fā)新產(chǎn)品A,乙組研發(fā)新產(chǎn)品B.設(shè)甲、乙兩組的研發(fā)相互獨(dú)立. (1)求至少有一種新產(chǎn)品研發(fā)成功的概率; (2)若新產(chǎn)品A研發(fā)成功,預(yù)計(jì)企業(yè)可獲利潤(rùn)120萬元;若新產(chǎn)品B研發(fā)成功,預(yù)計(jì)企業(yè)可獲利潤(rùn)100萬元.求該企業(yè)可獲利潤(rùn)的概率分布和均值. 反思與感悟 在求解此類問題中,主要運(yùn)用對(duì)立事件、獨(dú)立事件的概率公式 (1)P(A)=1-P(). (2)若事件A,B相互獨(dú)立,則P(AB)=P(A)P(B). (3)若事件A,B是互斥事件,則P(A+B)=P(A)+P(B). 跟蹤訓(xùn)練2 紅隊(duì)隊(duì)員甲,乙,丙與藍(lán)隊(duì)隊(duì)員A,B,C進(jìn)行圍棋比賽,甲對(duì)A、乙對(duì)B、丙對(duì)C各一盤.已知甲勝A,乙勝B,丙勝C的概率分別為0.6,0.5,0.5.假設(shè)各盤比賽結(jié)果相互獨(dú)立. (1)求紅隊(duì)至少兩名隊(duì)員獲勝的概率; (2)用ξ表示紅隊(duì)隊(duì)員獲勝的總盤數(shù),求P(ξ≤1). 類型三 離散型隨機(jī)變量的概率分布、均值和方差 例3 一次同時(shí)投擲兩枚相同的正方體骰子(骰子質(zhì)地均勻,且各面分別刻有1,2,2,3,3,3六個(gè)數(shù)字), (1)設(shè)隨機(jī)變量η表示一次擲得的點(diǎn)數(shù)和,求η的概率分布; (2)若連續(xù)投擲10次,設(shè)隨機(jī)變量ξ表示一次擲得的點(diǎn)數(shù)和大于5的次數(shù),求E(ξ),V(ξ). 反思與感悟 求離散型隨機(jī)變量的均值與方差的步驟 跟蹤訓(xùn)練3 甲、乙兩支排球隊(duì)進(jìn)行比賽,約定先勝3局者獲得比賽的勝利,比賽隨即結(jié)束,除第五局甲隊(duì)獲勝的概率是外,其余每局比賽甲隊(duì)獲勝的概率都是,假設(shè)各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立. (1)分別求甲隊(duì)以3∶0,3∶1,3∶2勝利的概率; (2)若比賽結(jié)果為3∶0或3∶1,則勝利方得3分,對(duì)方得0分;若比賽結(jié)果為3∶2,則勝利方得2分,對(duì)方得1分,求乙隊(duì)得分X的概率分布及均值. 類型四 概率的實(shí)際應(yīng)用 例4 某電視臺(tái)“挑戰(zhàn)主持人”節(jié)目的挑戰(zhàn)者闖第一關(guān)需要回答三個(gè)問題,其中前兩個(gè)問題回答正確各得10分,回答不正確得0分,第三個(gè)問題回答正確得20分,回答不正確得-10分.如果一個(gè)挑戰(zhàn)者回答前兩個(gè)問題正確的概率都是0.8,回答第三個(gè)問題正確的概率為0.6,且各題回答正確與否相互之間沒有影響. (1)求這位挑戰(zhàn)者回答這三個(gè)問題的總得分ξ的概率分布和均值; (2)求這位挑戰(zhàn)者總得分不為負(fù)分(即ξ≥0)的概率. 反思與感悟 解需要分類討論的問題的實(shí)質(zhì)是:整體問題轉(zhuǎn)化為部分問題來解決.轉(zhuǎn)化成部分問題后增加了題設(shè)條件,易于解題,這也是解決需要分類討論問題的總的指導(dǎo)思想. 跟蹤訓(xùn)練4 某地有A,B,C,D四人先后感染了甲型H1N1流感,其中只有A到過疫區(qū),B肯定是受A感染,對(duì)于C,因?yàn)殡y以斷定他是受A還是受B感染的,于是假定他受A和受B感染的概率都是.同樣也假定D受A、B和C感染的概率都是.在這種假定之下,B、C、D中直接受A感染的人數(shù)X就是一個(gè)隨機(jī)變量.寫出X的概率分布. 1.拋擲一枚骰子,觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù),若已知出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不超過4,則出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)的概率為________. 2.在5道題中有3道理科題和2道文科題.事件A為“取到的2道題中至少有一道理科題”,事件B為“取到的2道題中一題為理科題,另一題為文科題”,則P(B|A)=________. 3.設(shè)隨機(jī)變量ξ的分布列為P(ξ=k)=C()k()n-k,k=0,1,2,…,n,且E(ξ)=24,則V(ξ)的值為________. 4.設(shè)X為隨機(jī)變量,X~B(n,),若X的方差為V(X)=,則P(X=2)=________. 5.盒子中有5個(gè)球,其中3個(gè)白球,2個(gè)黑球,從中任取兩個(gè)球,求取出白球的均值和方差. 1.條件概率的兩個(gè)求解策略 (1)定義法:計(jì)算P(A),P(B),P(AB),利用P(A|B)=求解. (2)縮小樣本空間法:利用P(B|A)=求解. 其中(2)常用于古典概型的概率計(jì)算問題. 2.求相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率需注意的三個(gè)問題 (1)“P(AB)=P(A)P(B)”是判斷事件是否相互獨(dú)立的充要條件,也是解答相互獨(dú)立事件概率問題的唯一工具. (2)涉及“至多”“至少”“恰有”等字眼的概率問題,務(wù)必分清事件間的相互關(guān)系. (3)公式“P(A∪B)=1-P( )”常應(yīng)用于求相互獨(dú)立事件至少有一個(gè)發(fā)生的概率. 3.求解實(shí)際問題的均值與方差的解題思路:先要將實(shí)際問題數(shù)學(xué)化,然后求出隨機(jī)變量的概率分布,同時(shí)要注意運(yùn)用兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布等特殊分布的均值、方差公式以及均值與方差的線性性質(zhì). 答案精析 題型探究 例1 解 記事件A:第一次取出的球是紅球;事件B:第二次取出的球是紅球. (1)從口袋中隨機(jī)不放回地連續(xù)抽取兩次,每次抽取1個(gè),所有基本事件共65個(gè);第一次取出的球是紅球,第二次是其余5個(gè)球中的任一個(gè),符合條件的事件有45個(gè), 所以P(A)==. (2)從口袋中隨機(jī)不放回地連續(xù)抽取兩次,每次抽取1個(gè),所有基本事件共65個(gè);第一次和第二次都取出的球是紅球,相當(dāng)于取兩個(gè)球,都是紅球,符合條件的事件有43個(gè),所以P(AB)==. (3)利用條件概率的計(jì)算公式, 可得P(B|A)===. 跟蹤訓(xùn)練1 解 設(shè)“擲出點(diǎn)數(shù)之和大于或等于10”為事件A,“第一顆骰子擲出6點(diǎn)”為事件B. 方法一 P(A|B)===. 方法二 “第一顆骰子擲出6點(diǎn)”的情況有(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),共6種,∴n(B)=6. “擲出點(diǎn)數(shù)之和大于或等于10”且“第一顆骰子擲出6點(diǎn)”的情況有(6,4),(6,5),(6,6),共3種,即n(AB)=3. ∴P(A|B)===. 例2 解 記E={甲組研發(fā)新產(chǎn)品成功},F(xiàn)={乙組研發(fā)新產(chǎn)品成功}.由題設(shè)知 P(E)=,P()=,P(F)=,P()=,且事件E與F,E與,與F,與都相互獨(dú)立. (1)記H={至少有一種新產(chǎn)品研發(fā)成功},則= , 于是P()=P()P()= =, 故所求的概率為P(H)=1-P()=1-=. (2)設(shè)企業(yè)可獲利潤(rùn)為X萬元,則X的可能取值為0,100,120,220. 因?yàn)镻(X=0)=P( )= =, P(X=100)=P( F)== =, P(X=120)=P(E )==, P(X=220)=P(E F)== =, 故所求的概率分布如下表: X 0 100 120 220 P E(X)=0+100+120+220=140. 跟蹤訓(xùn)練2 解 (1)設(shè)“甲勝A”為事件D,“乙勝B”為事件E,“丙勝C”為事件F,則,,分別表示甲不勝A、乙不勝B、丙不勝C的事件.因?yàn)镻(D)=0.6,P(E)=0.5,P(F)=0.5.由對(duì)立事件的概率公式知,P()=0.4,P()=0.5,P()=0.5. 紅隊(duì)至少兩人獲勝的事件有DE,DF,EF,DEF. 由于以上四個(gè)事件兩兩互斥且各盤比賽的結(jié)果相互獨(dú)立,因此紅隊(duì)至少兩人獲勝的概率為P=P(DE)+P(DF)+P(EF)+P(DEF)=0.60.50.5+0.60.50.5+0.40.50.5+0.60.50.5=0.55. (2)由題意知,ξ的可能取值為0,1,2,3. P(ξ=0)=P( )=0.40.50.5 =0.1, P(ξ=1)=P( F)+P(E)+ P(D )=0.40.50.5+0.40.50.5+0.60.50.5=0.35, 所以P(ξ≤1)=P(ξ=0)+P(ξ=1) =0.45. 例3 解 (1)由已知,隨機(jī)變量η的取值為2,3,4,5,6.設(shè)擲一個(gè)正方體骰子所得點(diǎn)數(shù)為η0, P(η0=1)=,P(η0=2)=, P(η0=3)=, 所以P(η=2)==, P(η=3)=2=, P(η=4)=2+=, P(η=5)=2=, P(η=6)==. 故η的概率分布為 η 2 3 4 5 6 P (2)由已知,滿足條件的一次投擲的點(diǎn)數(shù)和取值為6,設(shè)某次發(fā)生的概率為p,由(1)知,p=. 因?yàn)殡S機(jī)變量ξ~B, 所以E(ξ)=np=10=, V(ξ)=np(1-p)=10=. 跟蹤訓(xùn)練3 解 (1)記“甲隊(duì)以3∶0勝利”為事件A1,“甲隊(duì)以3∶1勝利”為事件A2,“甲隊(duì)以3∶2勝利”為事件A3,由題意知各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立, 故P(A1)=()3=, P(A2)=C()2(1-)=, P(A3)=C()2(1-)2=. 所以,甲隊(duì)以3∶0,3∶1,3∶2勝利的概率分別是,,. (2)設(shè)“乙隊(duì)以3∶2勝利”為事件A4, 由題意知各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立, 所以P(A4)=C(1-)2()2(1-)=. 由題意知,隨機(jī)變量X的所有可能取值為0,1,2,3, 根據(jù)事件的互斥性,得 P(X=0)=P(A1∪A2) =P(A1)+P(A2)=, P(X=1)=P(A3)=, P(X=2)=P(A4)=, P(X=3)=1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=2)=. 故X的概率分布為 X 0 1 2 3 P 所以E(X)=0+1+2+3=. 例4 解 (1)三個(gè)問題均答錯(cuò),得0+0+(-10)=-10(分). 三個(gè)問題均答對(duì),得10+10+20=40(分). 三個(gè)問題一對(duì)兩錯(cuò),包括兩種情況: ①前兩個(gè)問題一對(duì)一錯(cuò),第三個(gè)問題錯(cuò), 得10+0+(-10)=0(分); ②前兩個(gè)問題錯(cuò),第三個(gè)問題對(duì),得0+0+20=20(分). 三個(gè)問題兩對(duì)一錯(cuò),也包括兩種情況: ①前兩個(gè)問題對(duì),第三個(gè)問題錯(cuò), 得10+10+(-10)=10(分); ②第三個(gè)問題對(duì),前兩個(gè)問題一對(duì)一錯(cuò), 得20+10+0=30(分). 故ξ的可能取值為-10,0,10,20,30,40. P(ξ=-10)=0.20.20.4=0.016, P(ξ=0)=C0.20.80.4=0.128, P(ξ=10)=0.80.80.4=0.256, P(ξ=20)=0.20.20.6=0.024, P(ξ=30)=C0.80.20.6 =0.192, P(ξ=40)=0.80.80.6=0.384. 所以ξ的概率分布為 ξ -10 0 10 20 30 40 P 0.016 0.128 0.256 0.024 0.192 0.384 所以E(ξ)=-100.016+00.128+100.256+200.024+300.192+400.384=24. (2)這位挑戰(zhàn)者總得分不為負(fù)分的概率為 P(ξ≥0)=1-P(ξ<0)=1-0.016 =0.984. 跟蹤訓(xùn)練4 解 (1)A直接感染一個(gè)人有2種情況:分別是A-B-C-D和A-B-,概率是+=; (2)A直接感染二個(gè)人有3種情況:分別是A-,A—,A—,概率是++=; (3)A直接感染三個(gè)人只有一種情況:ABDC,概率是=. ∴隨機(jī)變量X的概率分布是 X 1 2 3 P 當(dāng)堂訓(xùn)練 1. 2. 3.8 4. 5.解 取出的白球個(gè)數(shù)ξ可能取值為0,1,2. ξ=0時(shí)表示取出的兩個(gè)球都為黑球, 即P(ξ=0)==. ξ=1表示取出的兩個(gè)球中一個(gè)黑球,一個(gè)白球, 即P(ξ=1)==. ξ=2表示取出的兩個(gè)球均為白球, 即P(ξ=2)==. 于是E(ξ)=0+1+2 =1.2, V(ξ)=(0-1.2)2+(1-1.2)2+(2-1.2)2=0.36.- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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