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概率與統(tǒng)計 【2019年高考考綱解讀】 1.高考中主要利用計數(shù)原理求解排列數(shù)、涂色、抽樣問題，以小題形式考查. 2.二項式定理主要考查通項公式、二項式系數(shù)等知識，近幾年也與函數(shù)、不等式、數(shù)列交匯，值得關注． 3.以選擇題、填空題的形式考查古典概型、幾何概型的基本應用. 4.將古典概型與概率的性質(zhì)相結合，考查知識的綜合應用能力． 5.以選擇題、填空題的形式考查隨機抽樣、樣本的數(shù)字特征、統(tǒng)計圖表、回歸方程、獨立性檢驗等. 6.在概率與統(tǒng)計的交匯處命題，以解答題中檔難度出現(xiàn)． 【重點、考點剖析】 一、排列組合與計數(shù)原理的應用 1．分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理 如果每種方法都能將規(guī)定的事件完成，則要用分類加法計數(shù)原理將方法種數(shù)相加；如果需要通過若干步才能將規(guī)定的事件完成，則要用分步乘法計數(shù)原理將各步的方法種數(shù)相乘． 2. 名稱 排列 組合 相同點 都是從n個不同元素中取m(m≤n)個元素，元素無重復 不同點 ①排列與順序有關； ②兩個排列相同，當且僅當這兩個排列的元素及其排列順序完全相同 ①組合與順序無關； ②兩個組合相同，當且僅當這兩個組合的元素完全相同 二、二項式定理 1．通項與二項式系數(shù) Tr＋1＝Can－rbr，其中C(r＝0,1,2，…，n)叫做二項式系數(shù)． 2．各二項式系數(shù)之和 (1)C＋C＋C＋…＋C＝2n. (2)C＋C＋…＝C＋C＋…＝2n－1. 三、古典概型與幾何概型 1．古典概型的概率公式 P(A)＝＝. 2．幾何概型的概率公式 P(A)＝ . 四、相互獨立事件和獨立重復試驗 1．條件概率 在A發(fā)生的條件下B發(fā)生的概率： P(B|A)＝. 2．相互獨立事件同時發(fā)生的概率 P(AB)＝P(A)P(B)． 3．獨立重復試驗、二項分布 如果事件A在一次試驗中發(fā)生的概率是p，那么它在n次獨立重復試驗中恰好發(fā)生k次的概率為 Pn(k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n. 五、離散型隨機變量的分布列、均值與方差 1．均值與方差的性質(zhì) (1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b； 站邀請，決定對甲、乙、丙、丁這四個景區(qū)進行體驗式旅游，若不能最先去甲景區(qū)旅游，不能最后去乙景區(qū)和丁景區(qū)旅游，則小李可選的旅游路線數(shù)為(　　) A．24　　　B．18 C．16 D．10 解析：分兩種情況，第一種：最后體驗甲景區(qū)，則有A種可選的路線；第二種：不在最后體驗甲景區(qū)，則有CA種可選的路線．所以小李可選的旅游路線數(shù)為A＋CA＝10.選D. 答案：D 【變式探究】某校畢業(yè)典禮上有6個節(jié)目，考慮整體效果，對節(jié)目演出順序有如下要求：節(jié)目甲必須排在前三位，且節(jié)目丙、丁必須排在一起．則該校畢業(yè)典禮節(jié)目演出順序的編排方案共有(　　) A．120種 B．156種 C．188種 D．240種 解析：解法一　記演出順序為1～6號，對丙、丁的排序進行分類，丙、丁占1和2號，2和3號，3和4號，4和5號，5和6號，其排法種數(shù)分別為AA，AA，CAA，CAA，CAA，故總編排方案有AA＋AA＋CAA＋CAA＋CAA＝120(種)． 解法二　記演出順序為1～6號，按甲的編排進行分類，①當甲在1號位置時，丙、丁相鄰的情況有4種，則有CAA＝48(種)；②當甲在2號位置時，丙、丁相鄰的情況有3種，共有CAA＝36(種)；③當甲在3號位置時，丙、丁相鄰的情況有3種，共有CAA＝36(種)．所以編排方案共有48＋36＋36＝120(種)． 答案：A 【變式探究】中國古代中的“禮、樂、射、御、書、數(shù)”合稱“六藝”．“禮”，主要指德育；“樂”，主要指美育；“射”和“御”，就是體育和勞動；“書”，指各種歷史文化知識；“數(shù)”，數(shù)學．某校國學社團開展“六藝”課程講座活動，每藝安排一節(jié)，連排六節(jié)，一天課程講座排課有如下要求：“數(shù)”必須排在前三節(jié)，且“射”和“御”兩門課程相鄰排課，則“六藝”課程講座不同的排課順序共有(　　) A．120種 B．156種 C．188種 D．240種 答案　A 解析　當“數(shù)”排在第一節(jié)時有AA＝48(種)排法，當“數(shù)”排在第二節(jié)時有AAA＝36(種)排法，當“數(shù)”排在第三節(jié)時，若“射”和“御”兩門課程排在第一、二節(jié)時有AA＝12(種)排法；若“射”和“御”兩門課程排在后三節(jié)時有AAA＝24(種)排法，所以滿足條件的共有48＋36＋12＋24＝120(種)排法． (2)若自然數(shù)n使得作豎式加法n＋(n＋1)＋(n＋2)均不產(chǎn)生進位現(xiàn)象，則稱n為“開心數(shù)”．例如：32是“開心數(shù)”．因為32＋33＋34不產(chǎn)生進位現(xiàn)象；23不是“開心數(shù)”，因為23＋24＋25產(chǎn)生進位現(xiàn)象，那么，小于100的“開心數(shù)”的個數(shù)為(　　) A．9 B．10 C．11 D．12 答案　D 解析　根據(jù)題意個位數(shù)需要滿足要求： n＋(n＋1)＋(n＋2)<10，即n<2.3， ∴個位數(shù)可取0,1,2三個數(shù)， ∵十位數(shù)需要滿足：3n<10，∴n<3.3， ∴十位可以取0,1,2,3四個數(shù)，故小于100的“開心數(shù)”共有34＝12(個)． 【感悟提升】(1)在應用分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理時，一般先分類再分步，每一步當中又可能用到分類加法計數(shù)原理． (2)對于復雜的兩個原理綜合使用的問題，可恰當列出示意圖或表格，使問題形象化、直觀化． 【變式探究】　(1)某微信群中有甲、乙、丙、丁、戊五個人玩搶紅包游戲，現(xiàn)有4個紅包，每人最多搶一個，且紅包被全部搶完，4個紅包中有2個6元，1個8元，1個10元(紅包中金額相同視為相同紅包)，則甲、乙都搶到紅包的情況有(　　) A．18種 B．24種 C．36種 D．48種 答案　C 解析　若甲、乙搶的是一個6元和一個8元的，剩下2個紅包被剩下的3人中的2個人搶走，有AA＝12(種)搶法； 若甲、乙搶的是一個6元和一個10元的，剩下2個紅包被剩下的3人中的2個人搶走，有AA＝12(種)搶法； 若甲、乙搶的是一個8元和一個10元的，剩下2個紅包被剩下的3人中的2個人搶走，有AC＝6(種)搶法； 若甲、乙搶的是兩個6元的，剩下2個紅包被剩下的3人中的2個人搶走，有A＝6(種)搶法． 根據(jù)分類加法計數(shù)原理可得甲、乙都搶到紅包的情況共有36種． (2)(2018百校聯(lián)盟聯(lián)考)某山區(qū)希望小學為豐富學生的伙食，教師們在校園附近開辟了如圖所示的四塊菜地，分別種植西紅柿、黃瓜、茄子三種產(chǎn)量大的蔬菜，若這三種蔬菜種植齊全，同一塊地只能種植一種蔬菜，且相鄰的兩塊地不能種植相同的蔬菜，則不同的種植方式共有(　　) 1 2 3 4 A.9種 B．18種 C．12種 D．36種 答案　B 解析　若種植2塊西紅柿，則他們在13,14或24位置上種植，剩下兩個位置種植黃瓜和茄子，所以共有32＝6(種)種植方式； 若種植2塊黃瓜或2塊茄子也是3種種植方式，所以一共有63＝18(種)種植方式． 題型二 二項式定理 例2、(1)[2018全國卷Ⅲ]5的展開式中x4的系數(shù)為(　　) A．10 B．20 C．40 D．80 【解析】　5的展開式的通項公式為Tr＋1＝C5(x2)5－rr＝C52rx10－3r，令10－3r＝4，得r＝2.故展開式中x4的系數(shù)為C522＝40. 故選C. 【答案】C 【變式探究】(2017浙江)已知多項式(x＋1)3(x＋2)2＝x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5，則a4＝________，a5＝________. 答案　16　4 解析　a4是x項的系數(shù)，由二項式的展開式得 a4＝CC2＋CC22＝16. a5是常數(shù)項，由二項式的展開式得a5＝CC22＝4. 【變式探究】(2017浙江)從6男2女共8名學生中選出隊長1人，副隊長1人，普通隊員2人組成4人服務隊，要求服務隊中至少有1名女生，共有________種不同的選法．(用數(shù)字作答) 答案　660 【變式探究】若(1－3x)2 018＝a0＋a1x＋…＋a2 018x2 018，x∈R，則a13＋a232＋…＋a2 01832 018的值為(　　) A．22 018－1 B．82 018－1 C．22 018 D．82 018 【解析】由已知，令x＝0，得a0＝1，令x＝3，得a0＋a13＋a232＋…＋a2 01832 018＝(1－9)2 018＝82 018，所以a13＋a232＋…＋a2 01832 018＝82 018－a0＝82 018－1，故選B. 所以ξ的分布列為 ξ 0 1 2 3 P Eξ＝0＋1＋2＋3＝. 題型五 離散型隨機變量的分布列、均值與方差 例5、[2018北京卷]電影公司隨機收集了電影的有關數(shù)據(jù)，經(jīng)分類整理得到下表： 電影類型 第一類 第二類 第三類 第四類 第五類 第六類 電影部數(shù) 140 50 300 200 800 510 好評率 0.4 0.2 0.15 0.25 0.2 0.1 好評率是指：一類電影中獲得好評的部數(shù)與該類電影的部數(shù)的比值． 假設所有電影是否獲得好評相互獨立． (1)從電影公司收集的電影中隨機選取1部，求這部電影是獲得好評的第四類電影的概率． (2)從第四類電影和第五類電影中各隨機選取1部，估計恰有1部獲得好評的概率． (3)假設每類電影得到人們喜歡的概率與表格中該類電影的好評率相等，用“ξk＝1”表示第k類電影得到人們喜歡，“ξk＝0”表示第k類電影沒有得到人們喜歡(k＝1,2,3,4,5,6)．寫出方差Dξ1，Dξ2，Dξ3，Dξ4，Dξ5，Dξ6的大小關系． 【解析】(1)解：由題意知，樣本中電影的總部數(shù)是140＋50＋300＋200＋800＋510＝2 000， 第四類電影中獲得好評的電影部數(shù)是2000.25＝50， 故所求概率為＝0.025. (2)解：設事件A為“從第四類電影中隨機選出的電影獲得好評”，事件B為“從第五類電影中隨機選出的電影獲得好評”． 故所求概率為P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝P(A)(1－P(B))＋(1－P(A))P(B)． 由題意知P(A)估計為0.25，P(B)估計為0.2. 故所求概率估計為0.250.8＋0.750.2＝0.35. (3)解：Dξ1>Dξ4>Dξ2＝Dξ5>Dξ3>Dξ6. 【方法技巧】解答離散型隨機變量的分布列及相關問題的一般思路： (1)明確隨機變量可能取哪些值． (2)結合事件特點選取恰當?shù)挠嬎惴椒?，并計算這些可能取值的概率值． (3)根據(jù)分布列和期望、方差公式求解. 　3　5　3　3　8　5　5　6　3　4 　6　3　4　7　5　3　4　8　5　3 　8　3　4　3　4　4　7　5　6　7 用這個樣本的頻率分布估計總體分布，將頻率視為概率，求等級系數(shù)X2的數(shù)學期望； (3)在(1)，(2)的條件下，若以“性價比”為判斷標準，則哪個工廠的產(chǎn)品更具可購買性？說明理由． 注：①產(chǎn)品的“性價比”＝產(chǎn)品的等級系數(shù)的數(shù)學期望/產(chǎn)品的零售價； ②“性價比”大的產(chǎn)品更具可購買性． 解析：(1)∵EX1＝6，∴50.4＋6a＋7b＋80.1＝6，即6a＋7b＝3.2，又0.4＋a＋b＋0.1＝1，即a＋b＝0.5， ∴由得 (3)乙廠的產(chǎn)品更具可購買性，理由如下： ∵甲廠產(chǎn)品的等級系數(shù)的數(shù)學期望等于6，價格為6元/件， ∴其性價比為＝1， ∵乙廠產(chǎn)品的等級系數(shù)的數(shù)學期望等于4.8，價格為4元/件， ∴其性價比為＝1.2， 又1.2＞1，∴乙廠的產(chǎn)品更具可購買性．