《2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 三角函數(shù) 1.7.1 正切函數(shù)的定義 1.7.2 正切函數(shù)的圖像與性質(zhì)學(xué)案 北師大版必修4.doc》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 三角函數(shù) 1.7.1 正切函數(shù)的定義 1.7.2 正切函數(shù)的圖像與性質(zhì)學(xué)案 北師大版必修4.doc（12頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

7．1　正切函數(shù)的定義 7．2　正切函數(shù)的圖像與性質(zhì) 學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.能借助單位圓中的正切線畫出函數(shù)y＝tan x的圖像.2.掌握正切函數(shù)的圖像、定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性等性質(zhì)(重點(diǎn)).3.注重?cái)?shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用以及正切函數(shù)與正、余弦函數(shù)的綜合應(yīng)用(難點(diǎn))． 知識(shí)點(diǎn)1　正切函數(shù)的定義 (1)任意角的正切函數(shù)： 如果角α滿足α∈R，α≠＋kπ(k∈Z)，那么，角α的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(a，b)，唯一確定比值，我們把它叫作角α的正切函數(shù)，記作y＝tan α，其中α∈R，α≠＋kπ，k∈Z. (2)正切函數(shù)與正弦、余弦函數(shù)的關(guān)系： 根據(jù)定義知tan α＝(α∈R，α≠kπ＋，k∈Z)． (3)正切值在各象限的符號(hào)： 根據(jù)定義知，當(dāng)角在第一和第三象限時(shí)，其正切函數(shù)值為正；當(dāng)角在第二和第四象限時(shí)，其正切函數(shù)值為負(fù)． (4)正切線： 在單位圓中令A(yù)(1,0)，過A作x軸的垂線，與角α的終邊或終邊的延長(zhǎng)線相交于T，稱線段AT為角α的正切線． 【預(yù)習(xí)評(píng)價(jià)】 1．若角α的終邊上有一點(diǎn)P(2x－1,3)，且tan α＝，則x的值為(　　) A．7 B．8 C．15 D. 解析　由正切函數(shù)的定義tan α＝＝，解之得x＝8. 答案　B 2．函數(shù)y＝tan 2x的定義域?yàn)開_______． 解析　由正切函數(shù)的定義知，若使y＝tan 2x有意義，則2x≠kπ＋(k∈Z)． 解得x≠＋(k∈Z)． 答案　 知識(shí)點(diǎn)2　正切函數(shù)的圖像及特征 (1)y＝tan x，x∈R且x≠＋kπ，k∈Z的圖像(正切曲線)： (2)正切曲線的特征： 正切曲線是由被相互平行的直線x＝kπ＋(k∈Z)隔開的無窮多支曲線組成的．這些直線叫作正切曲線各支的漸近線． 【預(yù)習(xí)評(píng)價(jià)】 正切函數(shù)是奇函數(shù)，圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，那么正切函數(shù)的對(duì)稱中心只有一個(gè)嗎？ 提示　正切函數(shù)的對(duì)稱中心除了原點(diǎn)外，諸如(π，0)等都是對(duì)稱中心，正切函數(shù)有無數(shù)個(gè)對(duì)稱中心． 知識(shí)點(diǎn)3　正切函數(shù)的性質(zhì) 函數(shù) y＝tan x 定義域 值域 R 周期性 周期為kπ(k∈Z，k≠0)，最小正周期為π 奇偶性 奇函數(shù) 單調(diào)性 在(k∈Z)上是增加的 【預(yù)習(xí)評(píng)價(jià)】　(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“”) (1)正切函數(shù)為定義域上的增函數(shù)() (2)正切函數(shù)存在閉區(qū)間[a，b]，使y＝tan x是增加的．(√) (3)若x是第一象限的角，則y＝tan x是增函數(shù)() (4)正切函數(shù)y＝tan x的對(duì)稱中心為(kπ，0)k∈Z.() 題型一　正切函數(shù)的定義 【例1】　已知角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(－4a,3a)(a≠0)，求sin α，cos α、tan α的值． 解　r＝＝5|a|， 若a＞0，則r＝5a，角α在第二象限，sin α＝＝＝， cos α＝＝＝－.tan α＝＝＝－； 若a＜0，則r＝－5a， 角α在第四象限，sin α＝－， cos α＝，tan α＝－. 規(guī)律方法　已知角α終邊上任一點(diǎn)的坐標(biāo)(m，n)利用定義求tan α?xí)r，其值與該點(diǎn)的位置無關(guān)且tan α＝.但要注意判斷角α所在象限．利用定義可求下列特殊角的正切： α 0 tan α 0 1 － －1 － 【訓(xùn)練1】　若tan α＝，利用三角函數(shù)的定義，求sin α和cos α. 解　∵tan α＝＞0，∴角α是第一或第三象限角． ①若角α是第一象限角，則由tan α＝，角α的終邊上必有一點(diǎn)P(2,1)， ∴r＝|OP|＝＝. ∴sin α＝＝＝，cos α＝＝＝. ②若角α是第三象限角，則由tan α＝知，角α的終邊上必有一點(diǎn)P(－2，－1)， ∴r＝|OP|＝＝. ∴sin α＝＝＝－，cos α＝＝＝－. 題型二　正切函數(shù)的圖像及應(yīng)用 【例2】　利用正切函數(shù)的圖像作出y＝|tan x|的圖像并寫出使y＝的x的集合． 解　∵當(dāng)x∈時(shí)，y＝tan x≤0， 當(dāng)x∈時(shí)，y＝tan x＞0， ∴y＝|tan x|＝ 如圖所示． 使y＝的x的集合為. 規(guī)律方法　1.作正切函數(shù)的圖像時(shí)，先畫一個(gè)周期的圖像，再把這一圖像向左、右平移．從而得到正切函數(shù)的圖像，通過圖像的特點(diǎn)，可用“三點(diǎn)兩線法”，這三點(diǎn)是，(0,0)，，兩線是直線x＝為漸近線． 2．如果由y＝f(x)的圖像得到y(tǒng)＝f(|x|)及y＝|f(x)|的圖像，可利用圖像中的對(duì)稱變換法完成；即只需作出y＝f(x)(x≥0)的圖像，令其關(guān)于y軸對(duì)稱便可以得到y(tǒng)＝f(|x|)(x≤0)的圖像；同理只要作出y＝f(x)的圖像，令圖像“上不動(dòng)，下翻上”便可得到y(tǒng)＝|f(x)|的圖像． 【訓(xùn)練2】　(1)函數(shù)y＝的定義域?yàn)開_______． 解析　要使該函數(shù)有意義，則有 即x≠kπ－且x≠kπ＋. 答案　 (2)根據(jù)正切函數(shù)的圖像，寫出tan x≥－1的解集． 解　作出y＝tan x及y＝－1的圖像，如下圖． ∴滿足此不等式的x的集合為 . 方向1　比較大小 【例3－1】　比較tan 1、tan 2、tan 3的大?。? 解　∵tan 2＝tan(2－π)，tan 3＝tan(3－π)， 又∵<2<π，∴－<2－π<0. ∵<3<π，∴－<3－π<0， 顯然－<2－π<3－π<1<， 且y＝tan x在內(nèi)是增函數(shù)， ∴tan (2－π)0)的圖像的相鄰兩支曲線截直線y＝所得線段長(zhǎng)為，則f的值是(　　) A．0 B．1 C．－1 D. 解析　由題意，得T＝＝，∴ω＝4. ∴f(x)＝tan 4x，f＝tan π＝0. 答案　A 10．已知函數(shù)y＝tan ωx在(－，)是減函數(shù)，則ω的取值范圍是____________． 解析　∵y＝tan ωx在(－，)內(nèi)是減函數(shù)， ∴ω<0且T＝≥π. ∴|ω|≤1，即－1≤ω＜0. 答案　[－1,0) 11．求函數(shù)y＝－tan2x＋4tan x＋1，x∈的值域?yàn)開___________． 解析　∵－≤x≤， ∴－1≤tan x≤1. 令tan x＝t，則t∈[－1,1]． ∴y＝－t2＋4t＋1＝－(t－2)2＋5. ∴當(dāng)t＝－1，即x＝－時(shí)，ymin＝－4， 當(dāng)t＝1，即x＝時(shí)，ymax＝4. 故所求函數(shù)的值域?yàn)閇－4,4]． 答案　[－4,4] 12．若函數(shù)f(x)＝tan2x－atan x的最小值為－6.求實(shí)數(shù)a的值． 解　設(shè)t＝tan x，因?yàn)閨x|≤， 所以t∈[－1,1]． 則原函數(shù)化為：y＝t2－at＝2－， 對(duì)稱軸t＝. ①若－1≤≤1，則當(dāng)t＝時(shí)， ymin＝－＝－6，所以a2＝24(舍去)； ②若＜－1，即a＜－2時(shí)， 二次函數(shù)在[－1,1]上遞增， ymin＝2－＝1＋a＝－6， 所以a＝－7； ③若＞1，即a＞2時(shí)，二次函數(shù)在[－1,1]上遞減． ymin＝2－＝1－a＝－6，所以a＝7. 綜上所述，a＝－7或a＝7. 13．(選做題)已知函數(shù)f(x)＝. (1)求函數(shù)定義域； (2)用定義判斷f(x)的奇偶性； (3)在[－π，π]上作出f(x)的圖像； (4)寫出f(x)的最小正周期及單調(diào)性． 解　(1)∵由cos x≠0得x≠kπ＋(k∈Z)， ∴函數(shù)的定義域是. (2)由(1)知函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱． 又∵f(－x)＝＝－＝－f(x)， ∴f(x)是奇函數(shù)． (3)f(x)＝ f(x)(x∈[－π，π])的圖像如圖所示． (4)f(x)的最小正周期為2π，遞增區(qū)間是(k∈Z)，遞減區(qū)間是(k∈Z)．