2018版高中數(shù)學 第一章 計數(shù)原理 習題課 二項式定理的應用學案 蘇教版選修2-3.doc
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習題課 二項式定理的應用 學習目標 1.能熟練地掌握二項式定理的展開式及有關概念.2.會用二項式定理解決與二項式有關的簡單問題. 1.二項式定理及其相關概念 二項式定理 公式(a+b)n=__________________________________,稱為二項式定理 二項式系數(shù)通項 Tr+1=____________________ 二項式定理的特例 (1+x)n=C+Cx+Cx2+…+Cxr+…+Cxn 2.二項式系數(shù)的四個性質(zhì)(楊輝三角的規(guī)律) (1)對稱性:________________; (2)性質(zhì):C=________+________; (3)二項式系數(shù)的最大值:當n是偶數(shù)時,中間的一項取得最大值,即________最大;當n是奇數(shù)時,中間的兩項相等,且同時取得最大值,即____________最大; (4)二項式系數(shù)之和________________________________________________________, 所用方法是________. 類型一 二項式定理的靈活應用 例1 (1)在(1+x)6(1+y)4的展開式中,記xmyn項的系數(shù)為f(m,n),則f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)=________. (2)已知(1+ax)(1+x)5的展開式中x2的系數(shù)為5,則a=________. 反思與感悟 兩個二項式乘積的展開式中特定項問題 (1)分別對每個二項展開式進行分析,發(fā)現(xiàn)它們各自項的特點. (2)找到構成展開式中特定項的組成部分. (3)分別求解再相乘,求和即得. 跟蹤訓練1 (x+)(2x-)5的展開式中各項系數(shù)的和為2,則該展開式的常數(shù)項為________. 例2 5的展開式中的常數(shù)項是________. 反思與感悟 三項或三項以上的展開問題,應根據(jù)式子的特點,轉(zhuǎn)化為二項式來解決,轉(zhuǎn)化的方法通常為配方法,因式分解,項與項結合,項與項結合時,要注意合理性和簡捷性. 跟蹤訓練2 求(x2+3x-4)4的展開式中x的系數(shù). 類型二 二項式系數(shù)的綜合應用 例3 已知(+2x)n. (1)若展開式中第五項、第六項、第七項的二項式系數(shù)成等差數(shù)列,求展開式中二項式系數(shù)最大的項的系數(shù); (2)若展開式中前三項的二項式系數(shù)之和等于79,求展開式中系數(shù)最大的項. 反思與感悟 解決此類問題,首先要分辨二次項系數(shù)與二項展開式的項的系數(shù),其次理解記憶其有關性質(zhì),最后對解決此類問題的方法作下總結,尤其是有關排列組合的計算問題加以細心. 跟蹤訓練3 已知n展開式中二項式系數(shù)之和比(2x+xlg x)2n展開式中奇數(shù)項的二項式系數(shù)之和少112, 第二個展開式中二項式系數(shù)最大的項的值為1 120,求x. 1.在x(1+x)6的展開式中,含x3項的系數(shù)為________. 2.3的展開式中常數(shù)項為________. 3.(x-y)4的展開式中x3y3的系數(shù)為________. 4.已知5的展開式中含x的項的系數(shù)為30,則a=________. 5.若(x-m)8=a0+a1x+a2x2+…+a8x8,其中a5=56,則a0+a2+a4+a6+a8=________. 1.兩個二項展開式乘積的展開式中特定項問題 (1)分別對每個二項展開式進行分析,發(fā)現(xiàn)它們各自項的特點. (2)找到構成展開式中特定項的組成部分. (3)分別求解再相乘,求和即得. 2.三項或三項以上的展開問題 應根據(jù)式子的特點,轉(zhuǎn)化為二項式來解決(有些題目也可轉(zhuǎn)化為計數(shù)問題解決),轉(zhuǎn)化的方法通常為配方、因式分解、項與項結合,項與項結合時要注意合理性和簡捷性. 3.求二項展開式中各項系數(shù)的和差的方法是賦值代入. 4.確定二項展開式中的最大或最小項的方法是利用二項式系數(shù)的性質(zhì). 答案精析 知識梳理 1.Can+Can-1b+…+Can-rbr+…+Cbn C(r=0,1,…,n) Can-rbr(r=0,1,…n) 2.(1)C=C (2)C C (3)Cn Cn或Cn (4)C+C+C+…+C+…+C=2n 賦值法 題型探究 例1 (1)120 (2)-1 解析 (1)f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3) =CC+CC+CC+CC=120. (2)(1+ax)(1+x)5=(1+x)5+ax(1+x)5. ∴x2的系數(shù)為C+aC, 則10+5a=5,解得a=-1. 跟蹤訓練1 40 解析 令x=1,得(1+a)(2-1)5=2, ∴a=1, 故(x+)(2x-)5的展開式中常數(shù)項即為(2x-)5的展開式中與x的系數(shù)之和. (2x-)5的展開式的通項為 Tr+1=C25-rx5-2r(-1)r, 令5-2r=1,得r=2, ∴展開式中x的系數(shù)為C25-2(-1)2=80, 令5-2r=-1,得r=3, ∴展開式中的系數(shù)為C25-3(-1)3=-40, ∴(x+)(2x-)5的展開式中常數(shù)項為80-40=40. 例2 解析 方法一 原式=5, ∴展開式的通項為=() (r1=0,1,2,…,5). 當r1=5時,T6=()5=4, 當0≤r1<5時,的展開式的通項公式為 (r2=0,1,2,…,5-r1). 令5-r1-2r2=0即r1+2r2=5. ∵0≤r1<5且r1∈Z,∴或 ∴常數(shù)項為4+CC2+CC()3 =4++20=. 方法二 原式=5=[(x+)2]5 =(x+)10. 求原式的展開式中的常數(shù)項,轉(zhuǎn)化為求(x+)10的展開式中含x5項的系數(shù),即C()5. ∴所求的常數(shù)項為=. 跟蹤訓練2 解 方法一 (x2+3x-4)4=[(x2+3x)-4]4=C(x2+3x)4-C(x2+3x)34+C(x2+3x)242-C(x2+3x)43+C44, 顯然,上式中只有第四項中含x的項,所以展開式中含x的項的系數(shù)是-C343=-768. 方法二 (x2+3x-4)4=[(x-1)(x+4)]4=(x-1)4(x+4)4=(Cx4-Cx3+Cx2-Cx+C)(Cx4+Cx34+Cx242+Cx43+C44),所以展開式中含x的項的系數(shù)是-C44+C43=-768. 例3 解 (1)由已知得2C=C+C, 即n2-21n+98=0,得n=7或n=14. 當n=7時展開式中二項式系數(shù)最大的項是第四項和第五項, ∵T4=C()4(2x)3=x3, T5=C()3(2x)4=70x4, ∴第四項的系數(shù)是,第五項的系數(shù)是70. 當n=14時,展開式中二項式系數(shù)最大的項是第八項,它的系數(shù)為C()727=3 432. (2)由C+C+C=79, 即n2+n-156=0. 得n=-13(舍去)或n=12. 設Tr+1項的系數(shù)最大, ∵(+2x)12=()12(1+4x)12, 由 解得9.4≤r≤10.4. ∵0≤r≤12,r∈N*,∴r=10. ∴展開式中系數(shù)最大的項是第11項, 即T11=()12C410x10 =16 896x10. 跟蹤訓練3 解 依題意得2n-22n-1=-112, 整理得(2n-16)(2n+14)=0,解得n=4, 所以第二個展開式中二項式系數(shù)最大的項是第五項. 依題意得C(2x)4(xlg x)4=1 120, 化簡得x4(1+lg x)=1, 所以x=1或4(1+lg x)=0, 故所求x的值為1或. 當堂訓練 1.15 2.20 3.6 4.-6 5.128- 配套講稿:
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