2018-2019年高中數(shù)學(xué) 第一章 計數(shù)原理 1-3-2“楊輝三角”與二項式系數(shù)的性質(zhì)隨堂達標(biāo)驗收 新人教A版選修2-3.doc
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1-3-2“楊輝三角”與二項式系數(shù)的性質(zhì) 1．已知關(guān)于x的二項式n展開式的二項式系數(shù)之和為32，常數(shù)項為80，則a的值為( ) A．1 B．1 C．2 D．2 [解析] 由條件知2n＝32即n＝5，在通項公式Tr＋1＝C()5－rr＝Carx中，令15－5r＝0得r＝3，∴Ca3＝80，解得a＝2. [答案] C 2．在(x＋y)n的展開式中，第4項與第8項的系數(shù)相等，則展開式中系數(shù)最大的項是( ) A．第6項 B．第5項 C．第5、6項 D．第6、7項 [解析] 由題意，得第4項與第8項的系數(shù)相等，則其二項式系數(shù)也相等，∴C＝C，由組合數(shù)的性質(zhì)，得n＝10.∴展開式中二項式系數(shù)最大的項為第6項，它也是系數(shù)最大的項． [答案] A 3．已知(2x－1)n二項展開式中，奇次項系數(shù)的和比偶次項系數(shù)的和小38，則C＋C＋C＋…＋C的值為( ) A．28 B．28－1 C．27 D．27－1 [解析] 設(shè)(2x－1)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，且奇次項的系數(shù)和為A，偶次項的系數(shù)和為B.則A＝a1＋a3＋a5＋…，B＝a0＋a2＋a4＋a6＋…. 由已知可知：B－A＝38.令x＝－1， 得：a0－a1＋a2－a3＋…＋an(－1)n＝(－3)n， 即：(a0＋a2＋a4＋a6＋…)－(a1＋a3＋a5＋a7＋…)＝ (－3)n，即：B－A＝(－3)n.∴(－3)n＝38＝(－3)8，∴n＝8. 由二項式系數(shù)性質(zhì)可得：C＋C＋C＋…＋C＝2n－C＝28－1. [答案] B 4．若(1－2x)2017＝a0＋a1x＋…＋a2017x2017(x∈R)，則＋＋…＋的值為( ) A．2 B．0 C．－2 D．－1 [解析] (1－2x)2017＝a0＋a1x＋…＋a2017x2017，令x＝，則2017＝a0＋＋＋…＋＝0，其中a0＝1，所以＋＋…＋＝－1. [答案] D 課內(nèi)拓展 課外探究 1．利用二項式定理證明恒等式 利用二項式定理證明有關(guān)恒等式的關(guān)鍵在于靈活運用“構(gòu)造法”的思想解題． 求證(C)2＋(C)2＋(C)2＋…＋(C)2＝. [證明] 構(gòu)造等式(1＋x)n(1＋x)n＝(1＋x)2n，則C是二項式(1＋x)2n中xn的系數(shù)，于是我們考慮(1＋x)n(1＋x)n中xn的系數(shù)． 若第一個因式取常數(shù)項(x0)，系數(shù)為C，則第二個因式應(yīng)取xn，系數(shù)為C，此時xn的系數(shù)為CC＝(C)2；…；若xr取自第一個因式，其系數(shù)為C，xn－r取自第二個因式，其系數(shù)為C，此時(1＋x)n(1＋x)n的展開式中xn的系數(shù)為CC＝(C)2， ∴(1＋x)n(1＋x)n中xn的系數(shù)為CC＋CC＋…＋CC＋…＋CC＝(C)2＋(C)2＋(C)2＋…＋(C)2. ∴(C)2＋(C)2＋(C)2＋…＋(C)2＝C＝＝. [點評] 本例的證明方法稱為“構(gòu)造法”，構(gòu)造了等式(1＋x)n(1＋x)n＝(1＋x)2n，然后利用二項式定理等有關(guān)知識解決．事實上，當(dāng)分析出＝C之后，也可以構(gòu)造組合模型，利用兩個基本原理和組合的概念完成． 2．證明不等式 證明有關(guān)不等式的處理方法 (1)用二項式定理證明組合數(shù)不等式時，通常表現(xiàn)為二項式定理的正用或逆用，再結(jié)合不等式證明的方法進行論證． (2)應(yīng)用時應(yīng)注意巧妙地構(gòu)造二項式． (3)證明不等式時，應(yīng)注意運用放縮法，即對結(jié)論不構(gòu)成影響的若干項可以去掉． 求證：對一切n∈N*，都有2≤n<3. [證明] ∵n＝C＋C＋C2＋C3＋…＋Cn＝1＋1＋＋＋…＋…. ∴2≤n<2＋＋＋…＋<2＋＋＋…＋＝2＋＋＋…＋＝3－<3， 當(dāng)且僅當(dāng)n＝1時，n＝2；當(dāng)n≥2時，2下載提示(請認真閱讀)
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