2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 解三角形 專題1.1.1 正弦定理試題 新人教A版必修5.doc
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1.1.1 正弦定理 1.正弦定理 在中,若角A,B,C對應(yīng)的三邊分別是a,b,c,則各邊和它所對角的正弦的比相等,即____________.正弦定理對任意三角形都成立. 2.解三角形 一般地,把三角形的三個角A,B,C和它們的對邊a,b,c叫做三角形的____________.已知三角形的幾個元素求其他元素的過程叫做____________. K知識參考答案: 1. 2.元素 解三角形 K—重點 正弦定理的變形和推廣、正弦定理在解三角形中的應(yīng)用 K—難點 三角形解的個數(shù)的探究、三角形形狀的判斷 K—易錯 解三角形時要明確角的取值范圍,同時注意對角的討論 正弦定理的常見變形及推廣 (1). (2). (3). (4)正弦定理的推廣:,其中為外接圓的半徑. (1)已知ABC中,,則=_____________; (2)已知ABC中,A,,則=_____________. 【答案】(1);(2)2. 【解析】(1)根據(jù)正弦定理的變形,可得. (2)方法1:設(shè),則有 從而,又,所以=2. 方法2:根據(jù)正弦定理的變形,可得. 【名師點睛】熟記正弦定理的變形,可使解題過程更加簡捷,從而達(dá)到事半功倍的效果. 在中,求證:. 【答案】證明見解析. 【解析】設(shè)外接圓的半徑為R,則 于是 所以. 【解題技巧】的兩種變形的應(yīng)用: (1)(邊化角); (2)(角化邊). 正弦定理在解三角形中的應(yīng)用、三角形解的個數(shù)的探究 1.正弦定理可以用來解決下列兩類解三角形的問題: (1)已知兩角和任意一邊,求其他的邊和角; (2)已知兩邊和其中一邊的對角,求其他的邊和角. 2.三角形解的個數(shù)的探究(以已知和解三角形為例) (1)從代數(shù)角度來看 ①若,則滿足條件的三角形的個數(shù)為0,即無解; ②若,則滿足條件的三角形的個數(shù)為1; ③若,則滿足條件的三角形的個數(shù)為1或2. 注:對于(3),由可知B可能為銳角,也可能為鈍角,此時應(yīng)由“大邊對大角”、“三角形內(nèi)角和等于180”等進(jìn)行討論. (2)從幾何角度來看 ①當(dāng)A為銳角時: 一解 一解 兩解 無解 ②當(dāng)A為鈍角或直角時: 一解 一解 無解 無解 (1)已知在中,,則_______,_______,_______; (2)已知在中,,則_______,_______,_______; (3)已知在中,,求和. 【答案】(1),,;(2),,;(3)見解析. 【解析】(1), 由得 由得. (2)∵, ,為銳角,,∴. (3), 或, 當(dāng)時,, 當(dāng)時,. 或. 【解題技巧】(1)已知三角形的兩角與一邊解三角形時,由三角形內(nèi)角和定理可以計算出三角形的另一角,由正弦定理可計算出三角形的另兩邊. (2)已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時,先用正弦定理求出另一邊所對的角的正弦值,若這個角不是直角,則利用三角形中“大邊對大角”看能否判斷所求這個角是銳角,①當(dāng)已知的角為大邊所對的角時,則能判斷另一邊所對的角為銳角;②當(dāng)已知的角為小邊所對的角時,則不能判斷,此時就有兩解,再分別求解即可;③然后由三角形內(nèi)角和定理求出第三個角;④最后根據(jù)正弦定理求出第三條邊. 三角形形狀的判斷 判斷三角形形狀的常用方法——邊化角,已知條件中同時包含邊角關(guān)系,判斷三角形形狀時,將邊化為角,從三角變換的角度來研究角的關(guān)系和特征,進(jìn)而判斷三角形的形狀.一般來說,這種方法能夠判斷的三角形都是特殊的三角形,如直角三角形、等腰三角形、等邊三角形、等腰直角三角形. 在中,已知,且,則是 A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形 【答案】B 【解析】設(shè)的外接圓半徑為,由正弦定理的推廣,得,, 代入,可得,即. 因為,所以, 即. 由正弦定理的推廣可得,所以, 由及可得,所以是直角三角形. 故選B. 【名師點睛】注意到a,b,c在條件式中是齊次線性關(guān)系,因此可以考慮利用正弦定理將邊化為角.通過角的特征或者關(guān)系來判斷三角形的形狀. 忽略角的取值范圍而出錯 在中,若,求的取值范圍. 【錯解】由正弦定理,可得 , , 由,可得. 故的取值范圍為. 【錯因分析】錯解中沒有考慮角的取值范圍,誤認(rèn)為角的取值范圍為. 【正解】由正弦定理可得 , , ,即, 故的取值范圍為. 【名師點睛】解三角形時要注意三角形的內(nèi)角為正角且必須滿足三角形內(nèi)角和定理,這是解題中的隱含條件,應(yīng)特別注意. 忽略對角的討論而出錯 已知在中, 求角和邊. 【錯解】由正弦定理可得 , ,,. 【錯因分析】錯解中由正弦定理求出角A的正弦值后誤認(rèn)為角A是銳角,從而導(dǎo)致錯誤. 【正解】由正弦定理得 或. 當(dāng)時,, 當(dāng)時,, . 綜上,或. 【名師點睛】在中,已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時,可先用正弦定理求出另一邊的對角,此時解的個數(shù)可能不確定,應(yīng)注意討論,避免漏解導(dǎo)致錯誤. 1.在中,角,,的對邊分別為,,,,則 A. B. C. D. 2.在中,角,,的對邊分別為,,,若,,,則 A.或 B. C. D. 3.在中,若∠A=60,∠B=45,BC=,則AC= A. B. C. D. 4.在中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知A:B:C=1:2:3,則a:b:c= A.1:2:3 B.1:2: C.1::2 D.2::1 5.在中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,,,,則 A. B. C. D. 6.在中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若,則的形狀為 A.銳角三角形 B.直角三角形 C.鈍角三角形 D.不能確定 7.在中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,,則此三角形解的個數(shù)為 A. B. C. D.不能確定 8.已知中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且cosA:cosB=b:a,則是 A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形 9.在中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若,,,則______________. 10.在中,角A,C的對邊分別為a,c,其中,,則角______________. 11.在中,若B=30,AB=2,AC=2,則的周長為______________. 12.的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,己知?=90,+=,求. 13.在中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若a=b,A=2B,則cosB= A. B. C. D. 14.在中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知,則 A. B. C. D. 15.在中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知,則角B等于 A. B. C.或 D.以上都不正確 16.在中,角A,B,C的對邊為a,b,c,若,則是 A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形 17.在中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若,則是 A.有一內(nèi)角是30的三角形 B.等邊三角形 C.等腰直角三角形 D.有一內(nèi)角是30的等腰三角形 18.在中,已知,則邊長 A.或 B. C.2 D. 19.在中,已知,,則______________. 20.如圖所示,在一個坡度一定的山坡的頂上有一高度為25的建筑物.為了測量該山坡相對于水平地面的坡角,在山坡的處測得,沿山坡前進(jìn)50到達(dá)處,又測得.根據(jù)以上數(shù)據(jù)計算可得______________. 21.如圖,在中,點在邊上,. (1)求的值; (2)若,求的長. 22.(2017山東理)在中,角A,B,C的對邊分別為,,.若為銳角三角形,且滿足,則下列等式成立的是 A. B. C. D. 23.(2017新課標(biāo)全國Ⅰ文)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知,a=2,c=,則C= A. B. C. D. 24.(2017新課標(biāo)全國Ⅱ文)的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若,則______________. 25.(2017新課標(biāo)全國Ⅲ文)的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知C=60,b=,c=3,則A=______________. 26.(2018北京理)在中,,,. (1)求; (2)求邊上的高. 1.【答案】D 【解析】∵,由得故選D. 2.【答案】B 【解析】在中,由得,由于,所以,所以,故選B. 3.【答案】B 【解析】由正弦定理得,所以AC=故選B. 4.【答案】C 【解析】因為在中,A+B+C=π,且A:B:C=1:2:3,所以A=,B=,C=,由正弦定理的變形,得a:b:c=sinA:sinB:sinC1::2.故選C. 6.【答案】B 【解析】由已知可得,∴,∴,∴,三角形為直角三角形.故選B. 7.【答案】C 【解析】由正弦定理可得,因為,所以,所以角可能是銳角,也可能是鈍角,所以此三角形有兩解,故選C. 8.【答案】D 【解析】由正弦定理可得,即sinAcosA=sinBcosB,所以sin2A=sin2B,即2A=2B或2A+2B=π,即A=B或A+B=,故是等腰或直角三角形.故選D. 9.【答案】 【解析】∵,,∴,∵,∴,∴. 10.【答案】 【解析】由正弦定理可得,即,所以或,又,所以. 12.【答案】. 【解析】由正弦定理可得,又由于, 故, 即. 因為,所以,即. 13.【答案】B 【解析】由正弦定理,得,所以a=b可化為=. 又A=2B,所以=,所以cosB=.故選B. 14.【答案】D 【解析】在中,由正弦定理可得,又,所以,故選D. 15.【答案】A 【解析】在中,∵,∴,又,∴,∴,故選A. 16.【答案】D 【解析】由正弦定理和已知條件可得, 所以 即, 所以或,即或.故是等腰三角形或直角三角形. 故選D. 18.【答案】A 【解析】由正弦定理可得,, 在中,,或. 當(dāng)時,,; 當(dāng)時,,此時. 綜上,可得或.故選A. 19.【答案】或 【解析】由正弦定理得,得, 由,得,所以或,從而或. 21.【答案】(1);(2). 【解析】(1)因為,所以. 又,所以, 所以. (2)在中,由,可得. 22.【答案】A 【解析】由題意知, 所以,故選A. 23.【答案】B 【解析】由可得,即,所以. 由正弦定理可得,即,因為,所以, 所以,故選B. 24.【答案】 【解析】由正弦定理可得. 25.【答案】 【解析】由正弦定理,可得,結(jié)合可得,則. 26.【答案】(1);(2)AC邊上的高為. 【解析】(1)在中,因為,所以,所以. 由正弦定理,所以. 因為,所以,所以. (2)在中,. 如圖所示,在中,,所以, 所以邊上的高為.- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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