2018高中數(shù)學(xué) 初高中銜接讀本 專題2.2 根與系數(shù)的關(guān)系韋達(dá)定理)精講深剖學(xué)案.doc
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第2講 根與系數(shù)的關(guān)系(韋達(dá)定理) 現(xiàn)行初中數(shù)學(xué)教材主要要求學(xué)生掌握一元二次方程的概念、解法及應(yīng)用,而一元二次方程的根的判斷式及根與系數(shù)的關(guān)系,在高中教材中的二次函數(shù)、不等式及解析幾何等章節(jié)有著重要應(yīng)用.本專題將對一元二次方程根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系等進(jìn)行講述。 【知識梳理】 一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系(韋達(dá)定理) 一元二次方程的兩個根為: 所以:, 定理:如果一元二次方程的兩個根為,那么: 說明:一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系由十六世紀(jì)的法國數(shù)學(xué)家韋達(dá)發(fā)現(xiàn),所以通常把此定理稱為”韋達(dá)定理”.上述定理成立的前提是. 【典例解析】1.已知方程的一個根是2,求它的另一個根及k的值. 【分析】由于已知了方程的一個根,可以直接將這一根代入,求出k的值,再由方程解出另一個根.但由于我們學(xué)習(xí)了韋達(dá)定理,又可以利用韋達(dá)定理來解題,即由于已知了方程的一個根及方程的二次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng),于是可以利用兩根之積求出方程的另一個根,再由兩根之和求出k的值. 【解析】解法一: ∵2是方程的一個根, ∴522+k2-6=0, ∴k=-7. 所以,方程就為5x2-7x-6=0,解得x1=2,x2=-. 所以,方程的另一個根為-,k的值為-7. 解法二:設(shè)方程的另一個根為x1,則 2x1=-, ∴x1=-.由 (-)+2=-,得k=-7. 所以,方程的另一個根為-,k的值為-7. 【解題反思】本題兩種解法進(jìn)行比較,解法一將已知的根代入方程求解出k的值,再求另一個根;而解法二直接運(yùn)用韋達(dá)定理,建立二元一次方程求解更加高效。 2. 若x1和x2分別是一元二次方程2x2+5x-3=0的兩根. (1)求的值; (2)求的值; (3)x13+x23. 【解析】∵x1和x2分別是一元二次方程2x2+5x-3=0的兩根, ∴,. (1)∵| x1-x2|2=x12+ x22-2 x1x2=(x1+x2)2-4 x1x2==+6=, ∴| x1-x2|=. (2). (3)x13+x23=(x1+x2)( x12-x1x2+x22)=(x1+x2)[ ( x1+x2) 2-3x1x2] =(-)[(-)2-3()]=-. 【解題反思】為了解題簡便,我們探討出一般規(guī)律: 設(shè)分別是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根,則運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系以下變形需掌握; ① ② ③ ④;或 【變式訓(xùn)練】 1.若是方程的兩個根,試求下列各式的值; (1); (2); (3); (4); 【分析】本題若運(yùn)用求根公式先求解,運(yùn)算量太大,借助韋達(dá)定理是一條更加高效的解題思路; 【點(diǎn)評】掌握韋達(dá)定理的常見變形可幫助我們提升解題速度。 2.已知關(guān)于x的方程x2+2(m-2)x+m2+4=0有兩個實(shí)數(shù)根,并且這兩個實(shí)數(shù)根的平方和比兩個根的積 大21,求m的值. 【分析】本題可以利用韋達(dá)定理,由實(shí)數(shù)根的平方和比兩個根的積大21得到關(guān)于m的方程,從而解得m的值.但在解題中需要特別注意的是,由于所給的方程有兩個實(shí)數(shù)根,因此,其根的判別式應(yīng)大于零. 【解析】設(shè)x1,x2是方程的兩根,由韋達(dá)定理,得; x1+x2=-2(m-2),x1x2=m2+4. ∵x12+x22-x1x2=21, ∴(x1+x2)2-3 x1x2=21, 即 [-2(m-2)] 2-3(m2+4)=21, 化簡,得 m2-16m-17=0, 解得; m=-1,或m=17. 當(dāng)m=-1時,方程為x2+6x+5=0,Δ>0,滿足題意; 當(dāng)m=17時,方程為x2+30x+293=0,Δ=302-41293<0,不合題意,舍去. 綜上,m=17. 【點(diǎn)評】(1)在本題的解題過程中,也可以先研究滿足方程有兩個實(shí)數(shù)根所對應(yīng)的m的范圍,然后再由“兩個實(shí)數(shù)根的平方和比兩個根的積大21”求出m的值,取滿足條件的m的值即可. (2)在今后的解題過程中,如果僅僅由韋達(dá)定理解題時,還要考慮到根的判別式Δ是否大于或大于零.因?yàn)椋f達(dá)定理成立的前提是一元二次方程有實(shí)數(shù)根. 3.已知兩個數(shù)的和為4,積為-12,求這兩個數(shù). 【分析】我們可以設(shè)出這兩個數(shù)分別為x,y,利用二元方程求解出這兩個數(shù).也可以利用韋達(dá)定理轉(zhuǎn)化出一元二次方程來求解. 解法二:由韋達(dá)定理可知,這兩個數(shù)是方程;x2-4x-12=0的兩個根. 解這個方程,得;x1=-2,x2=6. 所以,這兩個數(shù)是-2和6. 【點(diǎn)評】從上面的兩種解法我們不難發(fā)現(xiàn),解法二(直接利用韋達(dá)定理來解題)要比解法一簡捷.- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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