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2020 2 17 數(shù)學建模 第二章建模方法示例 2 1公平的席位分配2 2錄像機計數(shù)器的用途2 3雙層玻璃窗的功效2 4汽車剎車距離2 5劃艇比賽的成績2 6實物交換2 7核軍備競賽2 8啟帆遠航2 9量綱分析與無量綱化 2020 2 17 數(shù)學建模 2 1公平的席位分配 問題 三個系學生共200名 甲系100 乙系60 丙系40 代表會議共20席 按比例分配 三個系分別為10 6 4席 現(xiàn)因?qū)W生轉(zhuǎn)系 三系人數(shù)為103 63 34 問20席如何分配 若增加為21席 又如何分配 比例加慣例 對丙系公平嗎 2020 2 17 數(shù)學建模 公平 分配方法 衡量公平分配的數(shù)量指標 當p1 n1 p2 n2時 分配公平 p1 n1 p2 n2 對A的絕對不公平度 p1 150 n1 10 p1 n1 15p2 100 n2 10 p2 n2 10 p1 1050 n1 10 p1 n1 105p2 1000 n2 10 p2 n2 100 p1 n1 p2 n2 5 但后者對A的不公平程度已大大降低 雖二者的絕對不公平度相同 若p1 n1 p2 n2 對不公平 A p1 n1 p2 n2 5 2020 2 17 數(shù)學建模 公平分配方案應使rA rB盡量小 設A B已分別有n1 n2席 若增加1席 問應分給A 還是B 不妨設分配開始時p1 n1 p2 n2 即對A不公平 對A的相對不公平度 將絕對度量改為相對度量 類似地定義rB n1 n2 將一次性的席位分配轉(zhuǎn)化為動態(tài)的席位分配 即 公平 分配方法 若p1 n1 p2 n2 定義 2020 2 17 數(shù)學建模 1 若p1 n1 1 p2 n2 則這席應給A 2 若p1 n1 1 p2 n2 3 若p1 n1 p2 n2 1 應計算rB n1 1 n2 應計算rA n1 n2 1 若rB n1 1 n2 rA n1 n2 1 則這席應給 應討論以下幾種情況 初始p1 n1 p2 n2 問 p1 n1 p2 n2 1 是否會出現(xiàn) A 否 若rB n1 1 n2 rA n1 n2 1 則這席應給B 2020 2 17 數(shù)學建模 當rB n1 1 n2 rA n1 n2 1 該席給A 該席給A 否則 該席給B 推廣到m方分配席位 該席給Q值最大的一方 Q值方法 2020 2 17 數(shù)學建模 三系用Q值方法重新分配21個席位 按人數(shù)比例的整數(shù)部分已將19席分配完畢 甲系 p1 103 n1 10乙系 p2 63 n2 6丙系 p3 34 n3 3 用Q值方法分配第20席和第21席 第20席 第21席 同上 Q3最大 第21席給丙系 甲系11席 乙系6席 丙系4席 Q值方法分配結(jié)果 公平嗎 Q1最大 第20席給甲系 2020 2 17 數(shù)學建模 進一步的討論 Q值方法比 比例加慣例 方法更公平嗎 席位分配的理想化準則 已知 m方人數(shù)分別為p1 p2 pm 記總?cè)藬?shù)為P p1 p2 pm 待分配的總席位為N 設理想情況下m方分配的席位分別為n1 n2 nm 自然應有n1 n2 nm N 記qi Npi P i 1 2 m ni應是N和p1 pm的函數(shù) 即ni ni N p1 pm 若qi均為整數(shù) 顯然應ni qi 2020 2 17 數(shù)學建模 qi Npi P不全為整數(shù)時 ni應滿足的準則 記 qi floor qi 向 qi方向取整 qi ceil qi 向 qi方向取整 1 qi ni qi i 1 2 m 2 ni N p1 pm ni N 1 p1 pm i 1 2 m 即ni必取 qi qi 之一 即當總席位增加時 ni不應減少 比例加慣例 方法滿足1 但不滿足2 Q值方法滿足2 但不滿足1 令人遺憾 2020 2 17 數(shù)學建模 問題 在一次使用中錄像帶已經(jīng)轉(zhuǎn)過大半 計數(shù)器讀數(shù)為4450 問剩下的一段還能否錄下1小時的節(jié)目 要求 不僅回答問題 而且建立計數(shù)器讀數(shù)與錄像帶轉(zhuǎn)過時間的關(guān)系 思考 計數(shù)器讀數(shù)是均勻增長的嗎 2 2錄像機計數(shù)器的用途 經(jīng)試驗 一盤標明180分鐘的錄像帶從頭走到尾 時間用了184分 計數(shù)器讀數(shù)從0000變到6061 2020 2 17 數(shù)學建模 錄像機計數(shù)器的工作原理 錄像帶運動 問題分析 觀察 計數(shù)器讀數(shù)增長越來越慢 2020 2 17 數(shù)學建模 模型假設 錄像帶的運動速度是常數(shù)v 計數(shù)器讀數(shù)n與右輪轉(zhuǎn)數(shù)m成正比 記m kn 錄像帶厚度 加兩圈間空隙 為常數(shù)w 空右輪盤半徑記作r 時間t 0時讀數(shù)n 0 建模目的 建立時間t與讀數(shù)n之間的關(guān)系 設v k w r為已知參數(shù) 2020 2 17 數(shù)學建模 模型建立 建立t與n的函數(shù)關(guān)系有多種方法 1 右輪盤轉(zhuǎn)第i圈的半徑為r wi m圈的總長度等于錄像帶在時間t內(nèi)移動的長度vt 所以 2020 2 17 數(shù)學建模 2 考察右輪盤面積的變化 等于錄像帶厚度乘以轉(zhuǎn)過的長度 即 3 考察t到t dt錄像帶在右輪盤纏繞的長度 有 模型建立 2020 2 17 數(shù)學建模 思考 3種建模方法得到同一結(jié)果 但仔細推算會發(fā)現(xiàn)稍有差別 請解釋 模型中有待定參數(shù) 一種確定參數(shù)的辦法是測量或調(diào)查 請設計測量方法 思考 2020 2 17 數(shù)學建模 參數(shù)估計 另一種確定參數(shù)的方法 測試分析 將模型改記作 只需估計a b 理論上 已知t 184 n 6061 再有一組 t n 數(shù)據(jù)即可 實際上 由于測試有誤差 最好用足夠多的數(shù)據(jù)作擬合 現(xiàn)有一批測試數(shù)據(jù) 用最小二乘法可得 2020 2 17 數(shù)學建模 模型檢驗 應該另外測試一批數(shù)據(jù)檢驗模型 模型應用 回答提出的問題 由模型算得n 4450時t 116 4分 剩下的錄像帶能錄184 116 4 67 6分鐘的節(jié)目 揭示了 t與n之間呈二次函數(shù)關(guān)系 這一普遍規(guī)律 當錄像帶的狀態(tài)改變時 只需重新估計a b即可 2020 2 17 數(shù)學建模 問題 雙層玻璃窗與同樣多材料的單層玻璃窗相比 減少多少熱量損失 假設 熱量傳播只有傳導 沒有對流 T1 T2不變 熱傳導過程處于穩(wěn)態(tài) 材料均勻 熱傳導系數(shù)為常數(shù) 建模 熱傳導定律 Q 單位時間單位面積傳導的熱量 T 溫差 d 材料厚度 k 熱傳導系數(shù) 2 3雙層玻璃窗的功效 2020 2 17 數(shù)學建模 Ta Tb 記雙層玻璃窗傳導的熱量Q1 Ta 內(nèi)層玻璃的外側(cè)溫度 Tb 外層玻璃的內(nèi)側(cè)溫度 建模 2020 2 17 數(shù)學建模 記單層玻璃窗傳導的熱量Q2 雙層與單層窗傳導的熱量之比 k1 4 10 3 8 10 3 k2 2 5 10 4 k1 k2 16 32 對Q1比Q2的減少量作最保守的估計 取k1 k2 16 建模 2020 2 17 數(shù)學建模 模型應用 取h l d 4 則Q1 Q2 0 03 即雙層玻璃窗與同樣多材料的單層玻璃窗相比 可減少97 的熱量損失 結(jié)果分析 Q1 Q2所以如此小 是由于層間空氣極低的熱傳導系數(shù)k2 而這要求空氣非常干燥 不流通 房間通過天花板 墻壁 損失的熱量更多 雙層窗的功效不會如此之大 2020 2 17 數(shù)學建模 2 4汽車剎車距離 美國的某些司機培訓課程中的駕駛規(guī)則 背景與問題 正常駕駛條件下 車速每增10英里 小時 后面與前車的距離應增一個車身的長度 實現(xiàn)這個規(guī)則的簡便辦法是 2秒準則 后車司機從前車經(jīng)過某一標志開始默數(shù)2秒鐘后到達同一標志 而不管車速如何 判斷 2秒準則 與 車身 規(guī)則是否一樣 建立數(shù)學模型 尋求更好的駕駛規(guī)則 2020 2 17 數(shù)學建模 問題分析 常識 剎車距離與車速有關(guān) 10英里 小時 16公里 小時 車速下2秒鐘行駛29英尺 9米 車身的平均長度15英尺 4 6米 2秒準則 與 10英里 小時加一車身 規(guī)則不同 剎車距離 反應時間 司機狀況 制動系統(tǒng)靈活性 制動器作用力 車重 車速 道路 氣候 最大制動力與車質(zhì)量成正比 使汽車作勻減速運動 車速 2020 2 17 數(shù)學建模 假設與建模 1 剎車距離d等于反應距離d1與制動距離d2之和 2 反應距離d1與車速v成正比 3 剎車時使用最大制動力F F作功等于汽車動能的改變 Fd2 mv2 2 F m t1為反應時間 且F與車的質(zhì)量m成正比 2020 2 17 數(shù)學建模 反應時間t1的經(jīng)驗估計值為0 75秒 參數(shù)估計 利用交通部門提供的一組實際數(shù)據(jù)擬合k 模型 最小二乘法 k 0 06 2020 2 17 數(shù)學建模 2秒準則 應修正為 t秒準則 模型 2020 2 17 數(shù)學建模 2 5劃艇比賽的成績 對四種賽艇 單人 雙人 四人 八人 4次國際大賽冠軍的成績進行比較 發(fā)現(xiàn)與漿手數(shù)有某種關(guān)系 試建立數(shù)學模型揭示這種關(guān)系 問題 準備 調(diào)查賽艇的尺寸和重量 2020 2 17 數(shù)學建模 問題分析 前進阻力 浸沒部分與水的摩擦力 前進動力 漿手的劃漿功率 分析賽艇速度與漿手數(shù)量之間的關(guān)系 賽艇速度由前進動力和前進阻力決定 對漿手體重 功率 阻力與艇速的關(guān)系等作出假定 運用合適的物理定律建立模型 2020 2 17 數(shù)學建模 模型假設 1 艇形狀相同 l b為常數(shù) w0與n成正比 2 v是常數(shù) 阻力f與sv2成正比 符號 艇速v 浸沒面積s 浸沒體積A 空艇重w0 阻力f 漿手數(shù)n 漿手功率p 漿手體重w 艇重W 艇的靜態(tài)特性 艇的動態(tài)特性 3 w相同 p不變 p與w成正比 漿手的特征 模型建立 fsv2 pw s1 2A1 3 AW w0 nw n npfv 2020 2 17 數(shù)學建模 模型檢驗 利用4次國際大賽冠軍的平均成績對模型tn 1 9進行檢驗 與模型巧合 2020 2 17 數(shù)學建模 問題 甲有物品X 乙有物品Y 雙方為滿足更高的需要 商定相互交換一部分 研究實物交換方案 用x y分別表示甲 乙 占有X Y的數(shù)量 設交換前甲占有X的數(shù)量為x0 乙占有Y的數(shù)量為y0 作圖 若不考慮雙方對X Y的偏愛 則矩形內(nèi)任一點p x y 都是一種交換方案 甲占有 x y 乙占有 x0 x y0 y 2 6實物交換 2020 2 17 數(shù)學建模 甲的無差別曲線 分析與建模 如果甲占有 x1 y1 與占有 x2 y2 具有同樣的滿意程度 即p1 p2對甲是無差別的 線上各點的滿意度相同 線的形狀反映對X Y的偏愛程度 比MN各點滿意度更高的點如p3 在另一條無差別曲線M1N1上 于是形成一族無差別曲線 無數(shù)條 2020 2 17 數(shù)學建模 無差別曲線族的性質(zhì) 單調(diào)減 x增加 y減小 下凸 凸向原點 互不相交 在p1點占有x少 y多 寧愿以較多的 y換取較少的 x 在p2點占有y少 x多 就要以較多的 x換取較少的 y 甲的無差別曲線族記作 f x y c1 c1 滿意度 f 等滿意度曲線 2020 2 17 數(shù)學建模 乙的無差別曲線族g x y c2具有相同性質(zhì) 形狀可以不同 雙方的交換路徑 乙的無差別曲線族g c2 坐標系x O y 且反向 甲的無差別曲線族f c1 雙方滿意的交換方案必在AB 交換路徑 上 因為在AB外的任一點p 雙方 滿意度低于AB上的點p 兩族曲線切點連線記作AB 2020 2 17 數(shù)學建模 p 交換方案的進一步確定 交換方案 交換后甲的占有量 x y 0 x x0 0 y y0矩形內(nèi)任一點 交換路徑AB 等價交換原則 X Y用貨幣衡量其價值 設交換前x0 y0價值相同 則等價交換原則下交換路徑為 x0 0 0 y0 兩點的連線CD AB與CD的交點p 設X單價a Y單價b 則等價交換下ax by s s ax0 by0 2020 2 17 數(shù)學建模 2 7核軍備競賽 冷戰(zhàn)時期美蘇聲稱為了保衛(wèi)自己的安全 實行 核威懾戰(zhàn)略 核軍備競賽不斷升級 隨著前蘇聯(lián)的解體和冷戰(zhàn)的結(jié)束 雙方通過了一系列的核裁軍協(xié)議 在什么情況下雙方的核軍備競賽不會無限擴張 而存在暫時的平衡狀態(tài) 當一方采取加強防御 提高武器精度 發(fā)展多彈頭導彈等措施時 平衡狀態(tài)會發(fā)生什么變化 估計平衡狀態(tài)下雙方擁有的最少的核武器數(shù)量 這個數(shù)量受哪些因素影響 背景 2020 2 17 數(shù)學建模 以雙方 戰(zhàn)略 核導彈數(shù)量描述核軍備的大小 假定雙方采取如下同樣的核威懾戰(zhàn)略 認為對方可能發(fā)起所謂第一次核打擊 即傾其全部核導彈攻擊己方的核導彈基地 乙方在經(jīng)受第一次核打擊后 應保存足夠的核導彈 給對方重要目標以毀滅性的打擊 在任一方實施第一次核打擊時 假定一枚核導彈只能攻擊對方的一個核導彈基地 摧毀這個基地的可能性是常數(shù) 它由一方的攻擊精度和另一方的防御能力決定 模型假設 2020 2 17 數(shù)學建模 圖的模型 y f x 甲方有x枚導彈 乙方所需的最少導彈數(shù) x g y 乙方有y枚導彈 甲方所需的最少導彈數(shù) 當x 0時y y0 y0 乙方的威懾值 y0 甲方實行第一次打擊后已經(jīng)沒有導彈 乙方為毀滅甲方工業(yè) 交通中心等目標所需導彈數(shù) P xm ym 乙安全區(qū) 甲安全區(qū) 雙方安全區(qū) P 平衡點 雙方最少導彈數(shù) 乙安全線 2020 2 17 數(shù)學建模 精細模型 乙方殘存率s 甲方一枚導彈攻擊乙方一個基地 基地未被摧毀的概率 sx個基地未摧毀 y x個基地未攻擊 x y 甲方以x攻擊乙方y(tǒng)個基地中的x個 y0 sx y x x y y0 sy 乙的x y個被攻擊2次 s2 x y 個未摧毀 y x y 2y x個被攻擊1次 s 2y x 個未摧毀 y0 s2 x y s 2y x x 2y y0 s2y y x 2y 2020 2 17 數(shù)學建模 a 交換比 甲乙導彈數(shù)量比 x ay 精細模型 x y y y0 s x 2y y y0 s2 y0 威懾值 s 殘存率 y是一條上凸的曲線 y0變大 曲線上移 變陡 s變大 y減小 曲線變平 a變大 y增加 曲線變陡 x y y y0 1 s x y x 2y 2020 2 17 數(shù)學建模 甲方增加經(jīng)費保護及疏散工業(yè) 交通中心等目標 乙方威懾值y0變大 甲方的被動防御也會使雙方軍備競賽升級 其它因素不變 乙安全線y f x 上移 模型解釋 平衡點P P 2020 2 17 數(shù)學建模 甲方將固定核導彈基地改進為可移動發(fā)射架 乙安全線y f x 不變 甲方殘存率變大 威懾值x0和交換比不變 x減小 甲安全線x g y 向y軸靠近 模型解釋 甲方這種單獨行為 會使雙方的核導彈減少 P P 2020 2 17 數(shù)學建模 雙方發(fā)展多彈頭導彈 每個彈頭可以獨立地摧毀目標 x y仍為雙方核導彈的數(shù)量 雙方威懾值減小 殘存率不變 交換比增加 y0減小 y下移且變平 a變大 y增加且變陡 雙方導彈增加還是減少 需要更多信息及更詳細的分析 模型解釋 乙安全線y f x 2020 2 17 數(shù)學建模 帆船在海面上乘風遠航 確定最佳的航行方向及帆的朝向 簡化問題 海面上東風勁吹 設帆船要從A點駛向正東方的B點 確定起航時的航向 2 8啟帆遠航 2020 2 17 數(shù)學建模 模型分析 風 通過帆 對船的推力w 風對船體部分的阻力p 推力w的分解 阻力p的分解 p p1 p2 模型假設 w與帆迎風面積s1成正比 p與船迎風面積s2成正比 比例系數(shù)相同且s1遠大于s2 f1 航行方向的推力 p1 航行方向的阻力 2020 2 17 數(shù)學建模 w1 wsin f1 w1sin wsin sin p1 pcos 模型假設 w2與帆面平行 可忽略 f2 p2垂直于船身 可由舵抵消 模型建立 w ks1 p ks2 船在正東方向速度分量v1 vcos 航向速度v與力f f1 p1成正比 v k1 f1 p1 2020 2 17 數(shù)學建模 2 令 2 v1 k1 w 1 cos 2 pcos cos 求 使v1最大 w ks1 p ks2 1 當 固定時求 使f1最大 f1 w cos 2 cos 2 k1 f1 p1 cos f1 w1sin wsin sin p1 pcos 求 使v1最大 模型建立 v1 vcos 模型求解 2020 2 17 數(shù)學建模 60 75 1 t 2 備注 只討論起航時的航向 是靜態(tài)模型航行過程中終點B將不在正東方 記t 1 2s2 s1 k2 k1w 2 k1w 2 1 1 2p w cos cos w ks1 p ks2 1 4 cos 1 2 模型求解 v1 k1 w 1 cos 2 pcos cos s1 s2 2020 2 17 數(shù)學建模 2 9量綱分析與無量綱化 物理量的量綱 長度l的量綱記L l 質(zhì)量m的量綱記M m 時間t的量綱記T t 動力學中基本量綱L M T 速度v的量綱 v LT 1 導出量綱 加速度a的量綱 a LT 2 力f的量綱 f LMT 2 引力常數(shù)k的量綱 k 對無量綱量 1 L0M0T0 2 9 1量綱齊次原則 f l 2 m 2 L3M 1T 2 2020 2 17 數(shù)學建模 量綱齊次原則 等式兩端的量綱一致 量綱分析 利用量綱齊次原則尋求物理量之間的關(guān)系 例 單擺運動 求擺動周期t的表達式 設物理量t m l g之間有關(guān)系式 1 2 3為待定系數(shù) 為無量綱量 1 的量綱表達式 對比 2020 2 17 數(shù)學建模 對x y z的兩組測量值x1 y1 z1和x2 y2 z2 p1 f x1 y1 z1 p2 f x2 y2 z2 為什么假設這種形式 設p f x y z x y z的量綱單位縮小a b c倍 2020 2 17 數(shù)學建模 單擺運動中t m l g的一般表達式 2020 2 17 數(shù)學建模 設f q1 q2 qm 0 ys ys1 ys2 ysm T s 1 2 m r F 1 2 m r 0與f q1 q2 qm 0等價 F未定 Pi定理 Buckingham 是與量綱單位無關(guān)的物理定律 X1 X2 Xn是基本量綱 n m q1 q2 qm的量綱可表為 量綱矩陣記作 2020 2 17 數(shù)學建模 g LT 2 l L L 3M v LT 1 s L2 f LMT 2 量綱分析示例 波浪對航船的阻力 航船阻力f 航船速度v 船體尺寸l 浸沒面積s 海水密度 重力加速度g m 6 n 3 2020 2 17 數(shù)學建模 Ay 0有m r 3個基本解 rankA 3 rankA r Ay 0有m r個基本解 ys ys1 ys2 ysm Ts 1 2 m r 2020 2 17 數(shù)學建模 F 1 2 3 0與 g l v s f 0等價 為得到阻力f的顯式表達式 F 0 未定 F 1 2 m r 0與f q1 q2 qm 0等價 2020 2 17 數(shù)學建模 量綱分析法的評注 物理量的選取 基本量綱的選取 基本解的構(gòu)造 結(jié)果的局限性 0中包括哪些物理量是至關(guān)重要的 基本量綱個數(shù)n 選哪些基本量綱 有目的地構(gòu)造Ay 0的基本解 方法的普適性 函數(shù)F和無量綱量未定 不需要特定的專業(yè)知識 2020 2 17 數(shù)學建模 2 9 2量綱分析在物理模擬中的應用 例 航船阻力的物理模擬 通過航船模型確定原型船所受阻力 模型船的參數(shù) 均已知 可得原型船所受阻力 已知模型船所受阻力 原型船的參數(shù) f1未知 其他已知 注意 二者的 相同 2020 2 17 數(shù)學建模 按一定尺寸比例造模型船 量測f 可算出f1 物理模擬 2020 2 17 數(shù)學建模 2 9 3無量綱化 例 火箭發(fā)射 星球表面豎直發(fā)射 初速v 星球半徑r 表面重力加速度g 研究火箭高度x隨時間t的變化規(guī)律 t 0時x 0 火箭質(zhì)量m1 星球質(zhì)量m2 牛頓第二定律 萬有引力定律 3個獨立參數(shù) 2020 2 17 數(shù)學建模 用無量綱化方法減少獨立參數(shù)個數(shù) 用參數(shù)r v g的組合 分別構(gòu)造與x t具有相同量綱的xc tc 特征尺度 無量綱變量 如 令 2020 2 17 數(shù)學建模 xc tc的不同構(gòu)造 1 令 為無量綱量 2020 2 17 數(shù)學建模 3 令 2 令 2020 2 17 數(shù)學建模 1 2 3 的共同點 重要差別 考察無量綱量 在1 2 3 中能否忽略以 為因子的項 1 無解 2020 2 17 數(shù)學建模 2 3 2020 2 17 數(shù)學建模 原問題 是原問題的近似解 2020 2 17 數(shù)學建模 為什么3 能忽略 項 得到原問題近似解 而1 2 不能 3 令 火箭到達最高點時間為v g 高度為v2 2g 大體上具有單位尺度 林家翹 自然科學中確定性問題的應用數(shù)學