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培優(yōu)點十六 利用空間向量求夾角 1．利用面面垂直建系 例1：在如圖所示的多面體中，平面平面，四邊形為邊長為2的菱形， 為直角梯形，四邊形為平行四邊形，且，，． （1）若，分別為，的中點，求證：平面； （2）若，與平面所成角的正弦值為，求二面角的余弦值． 【答案】（1）見解析；（2）． 【解析】（1）連接，∵四邊形為菱形，∴． ∵平面平面，平面平面，平面，， ∴平面．又平面，∴． ∵，∴．∵，∴平面． ∵分別為，的中點，∴，∴平面． （2）設，由（1）得平面， 由，，得，． 過點作，與的延長線交于點，取的中點，連接，， 如圖所示， 又，∴為等邊三角形，∴， 又平面平面，平面平面，平面， 故平面． ∵為平行四邊形，∴，∴平面． 又∵，∴平面． ∵，∴平面平面． 由（1），得平面，∴平面，∴． ∵，∴平面，∴是與平面所成角． ∵，，∴平面，平面，∵， ∴平面平面． ∴，，解得． 在梯形中，易證， 分別以，，的正方向為軸，軸，軸的正方向建立空間直角坐標系． 則，，，，，， 由，及，得， ∴，，． 設平面的一個法向量為，由得， 令，得 設平面的一個法向量為，由得， 令，得．∴， 又∵二面角是鈍角，∴二面角的余弦值是． 2．線段上的動點問題 例2：如圖，在中，，，，沿將翻折到的位置， 使平面平面． （1）求證：平面； （2）若在線段上有一點滿足，且二面角的大小為， 求的值． 【答案】（1）見解析；（2）． 【解析】（1）中，由余弦定理，可得．∴， ∴，∴．作于點， ∵平面平面，平面平面，∴平面． ∵平面，∴． 又∵，，∴平面． 又∵平面，∴． 又，，∴平面． （2）由（1）知，，兩兩垂直，以為原點，以方向為軸正方向建立如圖所示空間直角坐標系， 則，，．設， 則由， 設平面的一個法向量為， 則由， ?。矫娴囊粋€法向量可取， ∴． ∵，∴． 3．翻折類問題 例3：如圖1，在邊長為2的正方形中，為中點，分別將，沿，所在直線折疊，使點與點重合于點，如圖2．在三棱錐中，為中點． （1）求證：； （2）求直線與平面所成角的正弦值； （3）求二面角的大小． 【答案】（1）見解析；（2）；（3）． 【解析】（1）在正方形中，為中點，，， ∴在三棱錐中，，． ∵，∴平面． ∵平面，∴． （2）取中點，連接，取中點，連接． 過點作的平行線． ∵平面，∴，． ∵，為的中點，∴．∴． 如圖所示，建立空間直角坐標系． ，，，． ∵，為的中點，∴． ∵平面，平面，∴平面平面． ∵平面平面，平面， ∴平面．∵． ∴平面的法向量．． 設直線與平面所成角為，則． ∴直線與平面所成角的正弦值為． （3）由（2）知，，． 設平面的法向量為，則有即， 令，則，．即．∴． 由題知二面角為銳角，∴它的大小為． 對點增分集訓 一、單選題 1．如圖，在所有棱長均為的直三棱柱中，，分別為，的中點，則異面直線，所成角的余弦值為（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】設的中點，以，，為，，軸建立坐標系， 則，，，， 則，， 設與成的角為，則，故選C． 2．在三棱柱中，底面是邊長為1的正三角形，側棱底面，點在棱上， 且，若與平面所成的角為，則的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如圖，建立空間直角坐標系，易求點． 平面的一個法向量是，∴，則．故選D． 3．如圖，圓錐的底面直徑，高，為底面圓周上的一點，，則空間中兩條直線與所成的角為（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】取中點，以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系， 如圖所示， ∵圓錐的底面直徑，高，為底面圓周上的一點，， ∴可得，，，， 則，， 設空間兩條直線與所成的角為，∴， ∴，即直線與所成的角為，故選B． 4．已知四棱錐的底面是邊長為2的正方形，，平面平面，是的中點，是的中點，則直線與平面所成角的正弦值是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由題可知，，，， 則，， ∵是的中點，∴， 設平面的法向量，直線與平面所成角為， 則可取，，故選D． 5．如圖，在直三棱柱中，，，點與分別是和的中點，點與分別是和上的動點．若，則線段長度的最小值為（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】建立如圖所示的空間直角坐標系， 則，，，，， 則，， 由于，∴，∴， 故， ∴當時，線段長度取得最小值，且最小值為．故選A． 6．如圖，點分別在空間直角坐標系的三條坐標軸上，，平面的法向量為，設二面角的大小為，則（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由題意可知，平面的一個法向量為：， 由空間向量的結論可得：．故選C． 7．如圖所示，五面體中，正的邊長為1，平面，，且． 設與平面所成的角為，，若，則當取最大值時，平面與平面所成角的正切值為（ ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【解析】如圖所示，建立如圖所示的空間直角坐標系， 則，，，， 取的中點，則，則平面的一個法向量為， 由題意， 又由，∴，解得，∴的最大值為， 當時，設平面的法向量為， 則， 取，由平面的法向量為， 設平面和平面所成的角為， 則，∴，∴，故選C． 8．已知三棱柱的側棱與底面邊長都相等，在底面內的射影為的中心， 則與底面所成角的正弦值等于（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如圖，設在平面內的射影為，以為坐標原點，、分別為軸、軸建立空間直角坐標系如圖． 設邊長為1，則，， ∴．又平面的法向量為． 設與底面所成角為，則． 故直線與底面所成角的正弦值為．故選B． 9．如圖，四棱錐中，平面，底面為直角梯形，，，，點在棱上，且，則平面與平面的夾角的余弦值為（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】以為坐標原點，以、、所在直線為、、軸， 建立空間直角坐標系， 則，，，，，∴， 設平面的一個法向量為，則， 取，得，平面的法向量為， ∴．∴平面與平面的夾角的余弦值為．故選B． 10．在正方體中，直線與平面所成角的余弦值為（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】分別以，，為，，軸建立如圖所示空間直角坐標系： 設正方體的棱長為1，可得，，，， ∴，，， 設是平面的一個法向量，∴，即， 取，得，∴平面的一個法向量為， 設直線與平面所成角為，∴； ∴，即直線與平面所成角的余弦值是．故選C． 11．已知四邊形，，，現(xiàn)將沿折起，使二面角 的大小在內，則直線與所成角的余弦值取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】取中點，連結，， ∵．，∴，，且，， ∴是二面角的平面角， 以為原點，為軸，為軸， 過點作平面的垂線為軸，建立空間直角坐標系， ，，， 設二面角的平面角為，則， 連、，則，， ∴，， 設、的夾角為，則， ∵，∴， 故，∴．故選A． 12．正方體中，點在上運動（包括端點），則與AD1所成角的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】以點為原點，、、所在直線分別為軸建立空間直角坐標系，設正方體棱長為1，點坐標為， 則，， 設、的夾角為， 則， ∴當時，取最大值，． 當時，取最小值，． ∵，∴與所成角的取值范圍是．故選D． 二、填空題 13．如圖，在直三棱柱中，，，是的中點，則異面直線與所成角的余弦值為________． 【答案】 【解析】在直三棱柱中，，，是的中點，∴，． 以為原點，為軸，為軸，過作的垂線為軸， 建立空間直角坐標系， 則，，，， ∴，， 設異面直線與所成角為，則． ∴異面直線與所成角的余弦值為． 14．已知四棱錐的底面是菱形，，平面，且，點是棱的中點，在棱上，若，則直線與平面所成角的正弦值為__________． 【答案】 【解析】以點建立如圖所示的空間直角坐標系，設菱形的邊長為2， 則， ，，∴， 平面的一個法向量為， 則， 即直線與平面所成角的正弦值為． 15．設，是直線，，是平面，，，向量在上，向量在上，，，則，所成二面角中較小的一個的余弦值為________． 【答案】 【解析】由題意，∵，， ∴， ∵，，向量在上，向量在上， ∴，所成二面角中較小的一個余弦值為，故答案為． 16．在四棱錐中，底面為平行四邊形，平面，，，，，則當變化時，直線與平面所成角的取值范圍是__________． 【答案】 【解析】如圖建立空間直角坐標系，得，，，， 設平面的法向量，，， ∴，得， 又，∴， ∴， ∴，則 三、解答題 17．如圖所示：四棱錐，底面為四邊形，，，，平面平面，，，， （1）求證：平面； （2）若四邊形中，，是否在上存在一點，使得直線與平面 所成的角的正弦值為，若存在，求的值，若不存在，請說明理由． 【答案】（1）見解析；（2）存在，． 【解析】（1）設，連接 ，為中點 又， ∵平面平面，平面平面 平面，而平面 在中，由余弦定理得， ，而 平面． （2）過作垂線記為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標系： ，，，， ，，設 ， 設平面法向量為， ∴，取， 設與平面所成角為， ， 解，． 18．如圖，在斜三棱柱中，底面是邊長為2的正三角形，，，． （1）求證：平面平面； （2）求二面角的正弦值． 【答案】（1）見解析；（2）． 【解析】（1）取的中點，連接，， ∵底面是邊長為2的正三角形，∴，且， ∵，，，∴， ∴，又∵，∴， ∴，又∵，∴平面，又∵平面， ∴平面平面． （2）如圖所示， 以點為坐標原點，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標系，其中， 則，，，， ∴，，， 設為平面的法向量， 則，即，令，得； 設為平面的法向量，則，即， 令，得；∴， ∴二面角的正弦值為．