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培優(yōu)點(diǎn)十五 平行垂直關(guān)系的證明 1．平行關(guān)系的證明 例1：如圖，，，，分別是正方體的棱，，，的中點(diǎn)． 求證： （1）平面； （2）平面平面． 【答案】（1）見解析；（2）見解析． 【解析】證明（1）如圖，取的中點(diǎn)，連接，， 因?yàn)?，所以，所以四邊形為平行四邊形，故? 因?yàn)槠矫?，平面，所以平面? （2）由題意可知．連接，， 因?yàn)椋运倪呅问瞧叫兴倪呅?，? 又，，所以平面平面． 2．垂直關(guān)系的證明 例2：如圖，在三棱柱中，側(cè)棱底面，為棱的中點(diǎn)．，，． （1）求證：平面； （2）求證：平面； （3）在棱上是否存在點(diǎn)，使得平面平面？如果存在，求此時(shí)的值；如果不存在，請(qǐng)說明理由． 【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）存在，． 【解析】（1）證明：連接與，兩線交于點(diǎn)，連接． 在中，∵，分別為，的中點(diǎn)，∴， 又∵平面，平面，∴平面． （2）證明：∵側(cè)棱底面，平面，∴， 又∵為棱的中點(diǎn)，，∴． ∵，，平面，∴平面，∴ ∵，∴．又∵，∴在和中，， ∴， 即，∴ ∵，，平面，∴平面． （3）解：當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)，即時(shí)，平面平面 證明如下： 設(shè)的中點(diǎn)為，連接，，∵，分別為，的中點(diǎn)，∴， 且．又∵為的中點(diǎn)，∴，且， ∴四邊形為平行四邊形，∴， ∵平面，∴平面．又∵平面， ∴平面平面． 對(duì)點(diǎn)增分集訓(xùn) 一、單選題 1．平面外有兩條直線和，如果和在平面內(nèi)的射影分別是和，給出下列四個(gè)命題：①；②；③與相交與相交或重合；④與平行與平行或重合；其中不正確的命題個(gè)數(shù)是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解析】結(jié)合題意逐一分析所給的四個(gè)說法，在如圖所示的正方體中： 對(duì)于說法①：若取平面為，，分別為，，分別為， 滿足，但是不滿足，該說法錯(cuò)誤；對(duì)于說法②：若取平面為，，分別為，分別為，滿足，但是不滿足， 該說法錯(cuò)誤；對(duì)于說法③：若取平面為，，分別為，分別為， 滿足與相交，但是與異面，該說法錯(cuò)誤；對(duì)于說法④：若取平面為， 、分別為，、分別為，滿足與平行， 但是與異面，該說法錯(cuò)誤；綜上可得：不正確的命題個(gè)數(shù)是4．本題選擇D選項(xiàng)． 2．已知、為兩條不同的直線，、為兩個(gè)不同的平面，則下列命題中正確的是（ ） A．若，，且，則 B．若平面內(nèi)有不共線的三點(diǎn)到平面的距離相等，則 C．若，，則 D．若，，則 【答案】D 【解析】對(duì)于選項(xiàng)A，若，，且，則l不一定垂直平面，∵有可能和平行， ∴該選項(xiàng)錯(cuò)誤； 對(duì)于選項(xiàng)B，若平面內(nèi)有不共線的三點(diǎn)到平面的距離相等，則、可能相交或平行，∴該選項(xiàng)錯(cuò)誤； 對(duì)于選項(xiàng)C，若，則有可能在平面內(nèi)，∴該選項(xiàng)錯(cuò)誤； 對(duì)于選項(xiàng)D，由于兩平行線中有一條垂直平面，則另一條也垂直平面，∴該選項(xiàng)正確，故答案為D． 3．給出下列四種說法： ①若平面，直線，則； ②若直線，直線，直線，則； ③若平面，直線，則； ④若直線，，則．其中正確說法的個(gè)數(shù)為（ ） A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè) 【答案】D 【解析】若平面，直線，則可異面； 若直線，直線，直線，則可相交，此時(shí)平行兩平面的交線； 若直線，，則可相交，此時(shí)平行兩平面的交線； 若平面，直線，則無交點(diǎn)，即；故選D． 4．已知、為兩條不同的直線，、為兩個(gè)不同的平面，則下列命題中正確的有（ ） （1），，， （2）， （3），，（4）， A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3 【答案】B 【解析】由，，，，若相交，則可得，若，則與可能平行也可能相交，故（1）錯(cuò)誤； 若，根據(jù)線面垂直的第二判定定理可得，故（2）正確； 若，，，則或異面，故（3）錯(cuò)誤； 若，，則或，故（4）錯(cuò)誤；故選B． 5．如圖，在正方體中，分別是的中點(diǎn)，則下列命題正確的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】A：和是異面直線，故選項(xiàng)不正確； B：和是異面直線，故選項(xiàng)不正確； C：記．∵正方體中，分別是的中點(diǎn)， ∴，，∴為平行四邊形，∴， ∵平面，平面，∴平面． D：由C知，而面和面相交，故選項(xiàng)不正確；故選C． 6．已知是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，則下列命題正確的是（ ） A．若垂直于同一平面，則平行 B．若平行于同一平面，則平行 C．若不平行，則在內(nèi)不存在與平行的直線 D．若不平行，則不可能垂直于同一平面 【答案】D 【解析】垂直于同一平面的兩平面相交或平行，A不正確； 平行于同一平面的兩直線可相交、平行或異面，B不正確； 平面不平行即相交，在一個(gè)平面內(nèi)平行兩平面交線的直線與另一平面平行，C不正確； D為直線與平面垂直性質(zhì)定理的逆否命題，故D正確．故選D． 7．已知是兩條不重合的直線，，，是三個(gè)兩兩不重合的平面，給出下列四個(gè)命題： ①若，則； ②若，則； ③若，則； ④若是異面直線，，則．其中真命題是（ ） A．①和② B．①和③ C．③和④ D．①和④ 【答案】D 【解析】逐一考查所給的命題： ①由線面垂直的性質(zhì)定理可得若，則，命題正確； ②如圖所示的正方體中，取平面分別為平面， 滿足，但是不滿足，命題錯(cuò)誤； ③如圖所示的正方體中，取平面分別為平面， 直線分別為，滿足，但是不滿足，命題錯(cuò)誤； ④若是異面直線，，由面面平行的性質(zhì)定理易知，命題正確； 綜上可得，真命題是①和④，本題選擇D選項(xiàng)． 8．如圖，正方體的棱長(zhǎng)為1，線段上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且；則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）． A． B． C．三棱錐的體積為定值 D．的面積與的面積相等 【答案】D 【解析】在正方體中，平面， 而平面，故，故A正確． 又平面，因此平面，故B正確． 當(dāng)變化時(shí)，三角形的面積不變，點(diǎn)到平面的距離就是到平面的距離，它是一個(gè)定值，故三棱錐的體積為定值（此時(shí)可看成三棱錐的體積），故C正確． 在正方體中，點(diǎn)到的距離為，而到的距離為1，D是錯(cuò)誤的，故選D． 9．如圖所示，是圓的直徑，垂直于圓所在的平面，點(diǎn)是圓周上不同于的任意一點(diǎn)，分別為的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（ ） A． B．與所成的角為 C．平面 D．平面平面 【答案】D 【解析】對(duì)于A項(xiàng)，與異面，故A項(xiàng)錯(cuò)； 對(duì)于B項(xiàng)，可證平面，故，∴所成的角為，因此B項(xiàng)錯(cuò)； 對(duì)于C項(xiàng)，與不垂直，∴不可能垂直平面，故C項(xiàng)錯(cuò)； 對(duì)于D項(xiàng)，由于，平面，平面，∴， ∵，∴平面，平面，∴平面平面，故選D． 10．如圖，在三棱柱中，側(cè)棱底面，底面三角形是正三角形，是中點(diǎn)，則下列敘述正確的是（ ） A．與是異面直線 B．平面 C．，為異面直線且 D．平面 【答案】C 【解析】對(duì)于A項(xiàng)，與在同一個(gè)側(cè)面中，故不是異面直線，∴A錯(cuò)； 對(duì)于B項(xiàng)，由題意知，上底面是一個(gè)正三角形，故平面不可能，∴B錯(cuò)； 對(duì)于C項(xiàng)，∵，為在兩個(gè)平行平面中且不平行的兩條直線，故它們是異面直線，∴C正確； 對(duì)于D項(xiàng)，∵所在的平面與平面相交，且與交線有公共點(diǎn)， 故平面不正確，∴D項(xiàng)不正確；故選C． 11．設(shè)分別是正方體的棱上兩點(diǎn)，且，給出下列四個(gè)命題： ①三棱錐的體積為定值；②異面直線與所成的角為；③平面；④直線與平面所成的角為．其中正確的命題為（ ） A．①② B．②③ C．①②④ D．①④ 【答案】A 【解析】由題意得，如圖所示， ①中，三棱錐的體積的為，∴體積為定值； ②中，在正方體中，，∴異面直線與所成的角就是直線與所成的角， 即，∴這正確的； ③中，由②可知，直線與不垂直，∴面不成立，∴是錯(cuò)誤的； ④中，根據(jù)斜線與平面所成的角，可知與平面所成的角，即為，∴不正確． 12．如下圖，梯形中，，，將沿對(duì)角線折起．設(shè)折起后點(diǎn)的位置為，并且平面平面．給出下面四個(gè)命題： ①；②三棱錐的體積為；③平面； ④平面平面．其中正確命題的序號(hào)是（ ） A．①② B．③④ C．①③ D．②④ 【答案】B 【解析】①∵，∴， ∵，∴， ∵平面平面，且平面平面，∴平面， ∵平面，∴，故不成立，故①錯(cuò)誤； ②棱錐的體積為，故②錯(cuò)誤； ③由①知平面，故③正確； ④由①知平面，又∵平面，∴， 又，且、平面，， ∴平面，又平面， ∴平面平面，故④正確．故選B． 二、填空題 13．設(shè)是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，則下列命題正確的是________．(填序號(hào)) ①若，，則；②若，，則； ③若，，則；④若，，則． 【答案】③ 【解析】，，則，與可能相交也可能異面，∴①不正確； ，，則，還有與可能相交，∴②不正確； ，，則，滿足直線與平面垂直的性質(zhì)定理，故③正確； ，，則，也可能，也可能，∴④不正確； 故答案為③． 14．一個(gè)正方體紙盒展開后如圖所示，在原正方體紙盒中有如下結(jié)論 ①；②與所成的角為；③與是異面直線；④． 以上四個(gè)命題中，正確命題的序號(hào)是_________． 【答案】①③ 【解析】把正方體的平面展開圖還原成原來的正方體，如圖： 則，與異面，，只有①③正確．故答案為①③． 15．若四面體的三組對(duì)棱分別相等，即，給出下列結(jié)論： ①四面體每組對(duì)棱相互垂直； ②四面體每個(gè)面的面積相等； ③從四面體每個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱兩兩夾角之和大而小于； ④連接四面體每組對(duì)棱中點(diǎn)的線段相互垂直平分． 其中正確結(jié)論的序號(hào)是__________．(寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)） 【答案】②④ 【解析】①將四面體的三組對(duì)棱分別看作平行六面體的對(duì)角線，由于三組對(duì)棱分別相等， ∴平行六面體為長(zhǎng)方體． 由于長(zhǎng)方體的各面不一定為正方形，∴同一面上的面對(duì)角線不一定垂直，從而每組對(duì)棱不一定相互垂直．①錯(cuò)誤； ②四面體的每個(gè)面是全等的三角形，面積是相等的．②正確； ③由②，四面體的每個(gè)面是全等的三角形，從四面體每個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱兩兩夾角能夠等量代換為同一個(gè)三角形內(nèi)的三個(gè)內(nèi)角，它們之和為．③錯(cuò)誤； ④連接四面體每組對(duì)棱中點(diǎn)構(gòu)成菱形，線段互垂直平分④正確，故答案為②④． 16．如圖，一張矩形白紙，，，分別為的中點(diǎn)，現(xiàn)分別將，沿折起，且在平面同側(cè)，下列命題正確的是____________（寫出所有正確命題的序號(hào)）． ①當(dāng)平面平面時(shí)，平面 ②當(dāng)平面平面時(shí)， ③當(dāng)重合于點(diǎn)時(shí)， ④當(dāng)重合于點(diǎn)時(shí)，三棱錐的外接球的表面積為 【答案】①④ 【解析】在中，，在中，， ∴，由題意，將沿折起， 且在平面同側(cè)， 此時(shí)四點(diǎn)在同一平面內(nèi)，平面平面， 平面平面，當(dāng)平面平面時(shí)，得到， 顯然，∴四邊形是平行四邊形，∴， 進(jìn)而得到平面，∴①正確的； 由于折疊后，直線與直線為異面直線，∴與不平行，∴②錯(cuò)誤的； 折疊后，可得，，其中，， ∴和不垂直，∴③不正確； 當(dāng)重合于點(diǎn)時(shí)，在三棱錐中，和均為直角三角形， ∴為外接球的直徑，即， 則三棱錐的外接球的表面積為，∴④是正確， 綜上正確命題的序號(hào)為①④． 三、解答題 17．如圖，四棱錐中，，，，為正三角形． 且． （1）證明：平面平面； （2）若點(diǎn)到底面的距離為2，是線段上一點(diǎn)，且平面，求四面體的體積． 【答案】（1）見解析；（2）． 【解析】（1）證明：∵，且，∴， 又為正三角形，∴，又∵，，∴， 又∵，，∴，， ∴平面，又∵平面， ∴平面平面． （2）如圖，連接，交于點(diǎn)，∵， 且，∴，連接， ∵平面，∴，則， 由（1）點(diǎn)到平面的距離為2， ∴點(diǎn)到平面的距離為， ∴， 即四面體的體積為． 18．如圖，四邊形為正方形，平面，，，，． （1）求證：； （2）若點(diǎn)在線段上，且滿足，求證：平面； （3）求證：平面． 【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析． 【解析】（1）∵，∴與確定平面， ∵平面，∴．由已知得且， ∴平面．又平面，∴． （2）過作，垂足為，連接，則． 又，∴．又且， ∴且，∴四邊形為平行四邊形，∴． 又平面，平面，∴平面． （3）由（1）可知，． 在四邊形中，，，，， ∴，則． 設(shè)，∵， 故，則，即． 又∵，∴平面．