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2019-2020年人教A版高中數(shù)學(xué) 高三一輪 第八章 平面解析幾何 8-4 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系《教案》 【教學(xué)目標(biāo)】 1.能根據(jù)給定直線、圓的方程，判斷直線與圓的位置關(guān)系；能根據(jù)給定兩個(gè)圓的方程判斷兩圓的位置關(guān)系．　 2.能用直線和圓的方程解決一些簡單的問題．　 3.初步了解用代數(shù)方法處理幾何問題的思想. 【重點(diǎn)難點(diǎn)】 1.教學(xué)重點(diǎn)：； 2.教學(xué)難點(diǎn)：學(xué)會(huì)對(duì)知識(shí)進(jìn)行整理達(dá)到系統(tǒng)化，提高分析問題和解決問題的能力； 【教學(xué)策略與方法】 自主學(xué)習(xí)、小組討論法、師生互動(dòng)法 【教學(xué)過程】 教學(xué)流程 教師活動(dòng) 學(xué)生活動(dòng) 設(shè)計(jì)意圖 環(huán)節(jié)二： 考綱傳真: 1.能根據(jù)給定直線、圓的方程，判斷直線與圓的位置關(guān)系；能根據(jù)給定兩個(gè)圓的方程判斷兩圓的位置關(guān)系．　 2.能用直線和圓的方程解決一些簡單的問題．　 3.初步了解用代數(shù)方法處理幾何問題的思想. 真題再現(xiàn); 1．(xx全國卷Ⅱ)過三點(diǎn)A(1,3)，B(4,2)，C(1，－7)的圓交y軸于M，N兩點(diǎn)，則|MN|＝(　　) A．2 B．8 C．4 D．10 【解析】　設(shè)圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，則解得∴圓的方程為x2＋y2－2x＋4y－20＝0.令x＝0，得y＝－2＋2或y＝－2－2，∴M(0，－2＋2)，N(0，－2－2)或M(0，－2－2)，N(0，－2＋2)，∴|MN|＝4，故選C.【答案】　C 2．(xx湖南高考)若圓C1：x2＋y2＝1與圓C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，則m＝(　　) A．21 B．19 C．9 D．－11 【解析】　圓C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－3)2＋(y－4)2＝25－m.又圓C1：x2＋y2＝1，∴|C1C2|＝5. 又∵兩圓外切，∴5＝1＋，解得m＝9. 【答案】　C 3．(xx廣東高考)平行于直線2x＋y＋1＝0且與圓x2＋y2＝5相切的直線的方程是(　　) A．2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0 B．2x＋y＋＝0或2x＋y－＝0 C．2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0 D．2x－y＋＝0或2x－y－＝0 【解析】　∵所求直線與直線2x＋y＋1＝0平行，∴設(shè)所求的直線方程為2x＋y＋m＝0.∵所求直線與圓x2＋y2＝5相切，∴＝，∴m＝5.即所求的直線方程為2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0.【答案】　A 4．(xx安徽高考)過點(diǎn)P(－，－1)的直線l與圓x2＋y2＝1有公共點(diǎn)，則直線l的傾斜角的取值范圍是(　　) A. B. C. D. 【解析】　 法一　如圖，過點(diǎn)P作圓的切線PA，PB，切點(diǎn)為A，B.由題意知|OP|＝2，OA＝1，則sin α＝，所以α＝30，∠BPA＝60.故直線l的傾斜角的取值范圍是.選D. 法二　設(shè)過點(diǎn)P的直線方程為y＝k(x＋)－1，則由直線和圓有公共點(diǎn)知≤1. 解得0≤k≤.故直線l的傾斜角的取值范圍是.【答案】　D 知識(shí)梳理： 知識(shí)點(diǎn)1　直線與圓的位置關(guān)系與判斷方法 方法 過程 依據(jù) 結(jié)論 代數(shù)法 聯(lián)立方程組消去x(或y)得一元二次方程，計(jì)算Δ＝b2－4ac Δ>0 相交 Δ＝0 相切 Δ<0 相離 幾何法 計(jì)算圓心到直線的距離d，比較d與半徑r的關(guān)系．相交時(shí)弦長為2 dr 相離 知識(shí)點(diǎn)2　圓與圓的位置關(guān)系 設(shè)圓O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r(r1＞0)，圓O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r(r2＞0). 　　　方法 位置關(guān)系　 幾何法：圓心距d與r1，r2的關(guān)系 代數(shù)法：兩圓方程聯(lián)立組成方程組的解的情況 相離 d＞r1＋r2 無解 外切 d＝r1＋r2 一組實(shí)數(shù)解 相交 |r1－r2|＜d＜r1＋r2 兩組不同的實(shí)數(shù)解 內(nèi)切 d＝|r1－r2|(r1≠r2) 一組實(shí)數(shù)解 內(nèi)含 0≤d＜|r1－r2|(r1≠r2) 無解 1．必會(huì)結(jié)論;(1)兩圓公切線的條數(shù) 位置關(guān)系 內(nèi)含 內(nèi)切 相交 外切 外離 公切線條數(shù) 0 1 2 3 4 (2)圓的切線方程常用結(jié)論 ①過圓x2＋y2＝r2上一點(diǎn)P(x0，y0)的圓的切線方程為x0x＋y0y＝r2. ②過圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一點(diǎn)P(x0，y0)的圓的切線方程為(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2. ③過圓x2＋y2＝r2外一點(diǎn)M(x0，y0)作圓的兩條切線，則兩切點(diǎn)所在直線方程為x0x＋y0y＝r2. (3)兩圓相交時(shí)公共弦的方程 圓C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0與圓C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交時(shí)，公共弦所在的直線方程為(D2－D1)x＋(E2－E1)y＋(F2－F1)＝0. 2．必清誤區(qū) 過圓上一點(diǎn)作圓的切線有且只有一條；過圓外一點(diǎn)作圓的切線有且只有兩條，若僅求得一條，除了考慮運(yùn)算過程是否正確外，還要考慮斜率不存在的情況，以防漏解． 考點(diǎn)分項(xiàng)突破 考點(diǎn)一：直線與圓的位置 1．(xx浙江高考)已知圓x2＋y2＋2x－2y＋a＝0截直線x＋y＋2＝0所得弦的長度為4，則實(shí)數(shù)a的值是(　　) A．－2 B．－4 C．－6 D．－8 【解析】　由圓的方程x2＋y2＋2x－2y＋a＝0可得，圓心為(－1,1)，半徑r＝.圓心到直線x＋y＋＝0的距離為d＝＝.由r2＝d2＋2得2－a＝2＋4，所以a＝－4.【答案】　B 2．(xx山東高考)一條光線從點(diǎn)(－2，－3)射出，經(jīng)y軸反射后與圓(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，則反射光線所在直線的斜率為(　　) A．－或－ B．－或－ C．－或－ D．－或－ 【解析】　由已知，得點(diǎn)(－2，－3)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為(2，－3)，由入射光線與反射光線的對(duì)稱性，知反射光線一定過點(diǎn)(2，－3)．設(shè)反射光線所在直線的斜率為k，則反射光線所在直線的方程為y＋3＝k(x－2)，即kx－y－2k－3＝0.由反射光線與圓相切，則有d＝＝1，解得k＝－或k＝－，故選D.【答案】　D 3．(xx湖南高考)若直線3x－4y＋5＝0與圓x2＋y2＝r2(r>0)相交于A，B兩點(diǎn)，且∠AOB＝120(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則r＝__________. 【解析】　 如圖，過點(diǎn)O作OD⊥AB于點(diǎn)D，則|OD|＝＝1.∵∠AOB＝120，OA＝OB， ∴∠OBD＝30，∴|OB|＝2|OD|＝2，即r＝2. 【答案】　2 歸納；1．圓的切線方程的求法 (1)代數(shù)法：設(shè)切線方程為y－y0＝k(x－x0)，與圓的方程組成方程組，消元后得到一個(gè)一元二次方程，然后令判別式Δ＝0進(jìn)而求得k. (2)幾何法：設(shè)切線方程為y－y0＝k(x－x0)，利用點(diǎn)到直線的距離公式表示出圓心到切線的距離d，然后令d＝r，進(jìn)而求出k. 提醒：若點(diǎn)M(x0，y0)在圓x2＋y2＝r2上，則過M點(diǎn)的圓的切線方程為x0x＋y0y＝r2. 2．弦長的求法 (1)代數(shù)方法：將直線和圓的方程聯(lián)立方程組，消元后得到一個(gè)一元二次方程．在判別式Δ>0的前提下，利用根與系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)弦長公式求弦長． (2)幾何方法：若弦心距為d，圓的半徑長為r，則弦長l＝2. 考點(diǎn)二: 圓與圓的位置關(guān)系 (1)與圓x2＋y2＋4x－4y＋7＝0和x2＋y2－4x－10y＋13＝0都相切的直線共有(　　) A．1條　　　 B．2條　　　 C．3條　　　 D．4條 (2)圓O1的方程為：x2＋(y＋1)2＝4，圓O2的圓心坐標(biāo)為(2,1)． ①若圓O1與圓O2外切，求圓O2的方程； ②若圓O1與圓O2相交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|＝2，求圓O2的方程． 【解析】　(1)方程x2＋y2＋4x－4y＋7＝0可化為(x＋2)2＋(y－2)2＝1，此圓圓心為(－2,2)，半徑r1＝1，方程x2＋y2－4x－10y＋13＝0可化為(x－2)2＋(y－5)2＝16，此圓圓心為(2,5)，半徑r2＝4.兩圓圓心距d＝＝5＝r1＋r2，則兩圓外切，與兩圓都相切的直線共有3條，故選C.【答案】　C (2)①圓O1的圓心坐標(biāo)為(0，－1)，半徑r1＝2，圓O2的圓心坐標(biāo)為(2,1)，圓心距為|O1O2|＝＝2，由兩圓外切知，所求圓的半徑為r2＝2－2，圓O2的方程為(x－2)2＋(y－1)2＝12－8. ②由題意知，圓心O1到AB的距離為＝，當(dāng)圓心O2到AB的距離為2－＝時(shí)，圓O2的半徑r2＝＝2，此時(shí)圓O2的方程為(x－2)2＋(y－1)2＝4.當(dāng)圓心O2到AB的距離為2＋＝3時(shí)．圓O2的半徑r′2＝＝2，此時(shí)圓O2的方程為(x－2)2＋(y－1)2＝20. 綜上知，圓O2的方程為(x－2)2＋(y－1)2＝4或(x－2)2＋(y－1)2＝20. 跟蹤訓(xùn)練：1．已知圓C1：x2＋y2＋4ax＋4a2－4＝0和圓C2：x2＋y2－2by＋b2－1＝0只有一條公切線，若a，b∈R且ab≠0，則＋的最小值為(　　) A．2 B．4 C．8 D．9 【解析】　圓C1的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x＋2a)2＋y2＝4，其圓心為(－2a,0)，半徑為2；圓C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＋(y－b)2＝1，其圓心為(0，b)，半徑為1.因?yàn)閳AC1和圓C2只有一條公切線，所以圓C1與圓C2相內(nèi)切，所以＝2－1，得4a2＋b2＝1，所以＋＝(4a2＋b2)＝5＋＋≥5＋2＝9，當(dāng)且僅當(dāng)＝，且4a2＋b2＝1，即a2＝，b2＝時(shí)等號(hào)成立，故選D.【答案】　D 2．若⊙O：x2＋y2＝5與⊙O1：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A、B兩點(diǎn)，且兩圓在點(diǎn)A處的切線互相垂直，則線段AB的長度是________． 【解析】　由題意⊙O1與⊙O在A處的切線互相垂直， 則兩切線分別過另一圓的圓心， 所以O(shè)1A⊥OA.又∵|OA|＝，|O1A|＝2，∴|OO1|＝5，又A、B關(guān)于OO1對(duì)稱，所以AB為Rt△OAO1斜邊上高的2倍，∴|AB|＝2＝4. 【答案】　4 歸納：兩圓位置關(guān)系的判斷及兩圓相交的有關(guān)結(jié)論 1．圓與圓的位置關(guān)系取決于圓心距與兩個(gè)半徑的和與差的大小關(guān)系． 2．若兩圓相交，則兩圓的公共弦所在直線的方程可由兩圓的方程作差消去x2，y2項(xiàng)得到． 3．若兩圓相交，則兩圓的連心線垂直平分公共弦． 考點(diǎn)三: 直線與圓的綜合問題 1.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A(0,3)，直線l：y＝2x－4.設(shè)圓C的半徑為1，圓心在l上． (1)若圓心C也在直線y＝x－1上，過點(diǎn)A作圓C的切線，求切線的方程； (2)若圓C上存在點(diǎn)M，使MA＝2MO，求圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍． 【解】　(1)由題意知，圓心C是直線y＝2x－4和y＝x－1的交點(diǎn)，解得點(diǎn)C(3,2)，于是切線的斜率必存在．設(shè)過A(0,3)的圓C的切線方程為y＝kx＋3，由題意得，＝1，解得k＝0或－，故所求切線方程為y＝3或3x＋4y－12＝0. (2)因?yàn)閳A心在直線y＝2x－4上，所以圓C的方程為(x－a)2＋[y－2(a－2)]2＝1.設(shè)點(diǎn)M(x，y)，因?yàn)镸A＝2MO，所以＝2，化簡得x2＋y2＋2y－3＝0，即x2＋(y＋1)2＝4，所以點(diǎn)M在以D(0，－1)為圓心，2為半徑的圓上．由題意，點(diǎn)M(x，y)在圓C上，所以圓C與圓D有公共點(diǎn)，則2－1≤CD≤2＋1， 即1≤≤3.由5a2－12a＋8≥0，得a∈R.由5a2－12a≤0，得0≤a≤.所以圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍為. 跟蹤訓(xùn)練：1.已知點(diǎn)A(－3,0)，B(3,0)，動(dòng)點(diǎn)P滿足|PA|＝2|PB|. (1)若點(diǎn)P的軌跡為曲線C，求此曲線的方程； (2)若點(diǎn)Q在直線l1：x＋y＋3＝0上，直線l2經(jīng)過點(diǎn)Q且與曲線C只有一個(gè)公共點(diǎn)M，求|QM|的最小值． 【解】　(1)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，則＝2.化簡可得(x－5)2＋y2＝16，則此曲線的方程為(x－5)2＋y2＝16. (2)曲線C是以點(diǎn)(5,0)為圓心，4為半徑的圓，如圖所示． 由直線l2是此圓的切線，連接CQ，則|QM|＝＝，當(dāng)CQ⊥l1時(shí)，|CQ|取最小值，此時(shí)|CQ|＝＝4，則|QM|的最小值為＝4. 歸納：1．解決直線與圓綜合問題的常用結(jié)論 (1)圓與直線l相切的情形：圓心到l的距離等于半徑，圓心與切點(diǎn)的連線垂直于l. (2)圓與直線l相交的情形：①圓心到l的距離小于半徑，過圓心而垂直于l的直線平分l被圓截得的弦； ②連接圓心與弦的中點(diǎn)的直線垂直于弦； ③過圓內(nèi)一點(diǎn)的所有弦中，最短的是垂直于過這點(diǎn)的直徑的那條弦，最長的是過這點(diǎn)的直徑． 2．解決直線與圓綜合問題的一般思路 分析題意，根據(jù)直線與圓位置關(guān)系列出相應(yīng)關(guān)系式，然后求解． 。 學(xué)生通過對(duì)高考真題的解決，發(fā)現(xiàn)自己對(duì)知識(shí)的掌握情況。 學(xué)生通過對(duì)高考真題的解決，感受高考題的考察視角。 教師引導(dǎo)學(xué)生及時(shí)總結(jié)，以幫助學(xué)生形成完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。 引導(dǎo)學(xué)生通過對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的逐點(diǎn)掃描，來澄清概念，加強(qiáng)理解。從而為后面的練習(xí)奠定基礎(chǔ). 在解題中注意引導(dǎo)學(xué)生自主分析和解決問題，教師及時(shí)點(diǎn)撥從而提高學(xué)生的解題能力和興趣。 教師引導(dǎo)學(xué)生及時(shí)總結(jié)，以幫助學(xué)生形成完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。 通過對(duì)考綱的解讀和分析。讓學(xué)生明確考試要求，做到有的放矢 由常見問題的解決和總結(jié)，使學(xué)生形成解題模塊，提高模式識(shí)別能力和解題效率。 教師引導(dǎo)學(xué)生及時(shí)總結(jié)，以幫助學(xué)生形成完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。 引導(dǎo)學(xué)生對(duì)所學(xué)的知識(shí)進(jìn)行小結(jié)，由利于學(xué)生對(duì)已有的知識(shí)結(jié)構(gòu)進(jìn)行編碼處理，加強(qiáng)理解記憶，提高解題技能。 環(huán)節(jié)三： 課堂小結(jié)： 1.能根據(jù)給定直線、圓的方程，判斷直線與圓的位置關(guān)系；能根據(jù)給定兩個(gè)圓的方程判斷兩圓的位置關(guān)系．　 2.能用直線和圓的方程解決一些簡單的問題．　 3.初步了解用代數(shù)方法處理幾何問題的思想 學(xué)生回顧，總結(jié). 引導(dǎo)學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)過程進(jìn)行反思，為在今后的學(xué)習(xí)中，進(jìn)行有效調(diào)控打下良好的基礎(chǔ)。 環(huán)節(jié)四： 課后作業(yè)：學(xué)生版練與測 學(xué)生通過作業(yè)進(jìn)行課外反思，通過思考發(fā)散鞏固所學(xué)的知識(shí)。