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專題05 萬有引力與航天 超重點(diǎn)1：萬有引力定律及其應(yīng)用 一、開普勒三定律 定律 內(nèi)容 圖示或公式 開普勒第一定律(軌道定律) 所有行星繞太陽運(yùn)動(dòng)的軌道都是橢圓，太陽處在橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上 開普勒第二定律(面積定律) 對任意一個(gè)行星來說，它與太陽的連線在相等的時(shí)間內(nèi)掃過的面積相等 開普勒第三定律(周期定律) 所有行星的軌道的半長軸的三次方跟它的公轉(zhuǎn)周期的二次方的比值都相等 ＝k，k是一個(gè)與行星無關(guān)的常量 二、萬有引力定律 1．內(nèi)容 自然界中任何兩個(gè)物體都相互吸引，引力的方向在它們的連線上，引力的大小與物體的質(zhì)量m1和m2的乘積成正比，與它們之間距離r的二次方成反比． 2．表達(dá)式 F＝G，G為引力常量，G＝6.6710－11 Nm2/kg2. 3．適用條件 (1)公式適用于質(zhì)點(diǎn)間的相互作用．當(dāng)兩個(gè)物體間的距離遠(yuǎn)大于物體本身的大小時(shí)，物體可視為質(zhì)點(diǎn)． (2)質(zhì)量分布均勻的球體可視為質(zhì)點(diǎn)，r是兩球心的距離． 4．萬有引力與重力的關(guān)系 地球?qū)ξ矬w的萬有引力F表現(xiàn)為兩個(gè)效果：一是重力mg，二是提供物體隨地球自轉(zhuǎn)的向心力F向，如圖所示． (1)在赤道上：G＝mg1＋mω2R. (2)在兩極上：G＝mg2. (3)在一般位置：萬有引力G等于重力mg與向心力F向的矢量和． 越靠近南北兩極g值越大，由于物體隨地球自轉(zhuǎn)所需的向心力較小，常認(rèn)為萬有引力近似等于重力，即＝mg. 2．星球上空的重力加速度g′ 星球上空距離星體中心r＝R＋h處的重力加速度為g′，mg′＝，得g′＝.所以＝. 1．(多選)如圖所示，三顆質(zhì)星均為m的地球同步衛(wèi)星等間隔分布在半徑為r的圓軌道上，設(shè)地球質(zhì)量為M，半徑為R.下列說法正確的是(　　) A．地球?qū)σ活w衛(wèi)星的引力大小為 B．一顆衛(wèi)星對地球的引力大小為 C．兩顆衛(wèi)星之間的引力大小為 D．三顆衛(wèi)星對地球引力的合力大小為 【答案】BC 【解析】地球與衛(wèi)星之間的距離應(yīng)為地心與衛(wèi)星之間的距離，選項(xiàng)A錯(cuò)誤，B正確；兩顆相鄰衛(wèi)星與地球球心的連線互成120角，間距為r，代入數(shù)據(jù)得，兩顆衛(wèi)星之間引力 大小為，選項(xiàng)C正確；三顆衛(wèi)星對地球引力的合力為零，選項(xiàng)D錯(cuò)誤． 2．科幻大片《星際穿越》是基于知名理論物理學(xué)家基普索恩的黑洞理論，加入人物和相關(guān)情節(jié)改編而成的．電影中的黑洞花費(fèi)三十名研究人員將近一年的時(shí)間，用數(shù)千臺(tái)計(jì)算機(jī)精確模擬才得以實(shí)現(xiàn)，讓我們看到了迄今最真實(shí)的黑洞模樣．若某黑洞的半徑R約為45 km，質(zhì)量M和半徑R的關(guān)系滿足＝(其中c＝3108 m/s，G為引力常量)，則該黑洞表面的重力加速度大約為(　　) A．108 m/s2　　　　　　 B．1010 m/s2 C．1012 m/s2 D．1014 m/s2 【答案】C 3．(2015高考江蘇卷)過去幾千年來，人類對行星的認(rèn)識(shí)與研究僅限于太陽系內(nèi)，行星“51 peg b”的發(fā)現(xiàn)拉開了研究太陽系外行星的序幕．“51 peg b”繞其中心恒星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，周期約為4天，軌道半徑約為地球繞太陽運(yùn)動(dòng)半徑的.該中心恒星與太陽的質(zhì)量比約為(　　) A.　　　　　　　　　 B．1 C．5 D．10 【答案】B 【解析】研究行星繞某一恒星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)萬有引力提供向心力有＝mr，解得M＝.“51 peg b”繞其中心恒星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，周期約為4天，軌道半徑約為地球繞太陽運(yùn)動(dòng)半徑的，所以該中心恒星與太陽的質(zhì)量比約為≈1，B正確． ※中心天體質(zhì)量和密度常用的估算方法 使用 方法 已知 量 利用 公式 表達(dá)式 備注 質(zhì)量的計(jì)算 利用運(yùn) 行天體 r、T G＝mr M＝ 只能得 到中心 天體的 質(zhì)量　 r、v G＝m M＝ v、T G＝m G＝mr M＝ 利用天體表面 重力加速度 g、R mg＝ M＝ － 密度的計(jì)算 利用運(yùn)行天體 r、T、 R G＝mr M＝ρπR3 ,ρ＝ 當(dāng)r＝R時(shí) ρ＝ 利用近 地衛(wèi)星 只需測 出其運(yùn) 行周期 利用天體表面 重力加速度 g、R mg＝ M＝ρπR3 ρ＝ － 【典例1】(多選)公元2100年，航天員準(zhǔn)備登陸木星，為了更準(zhǔn)確了解木星的一些信息，到木星之前做一些科學(xué)實(shí)驗(yàn)，當(dāng)?shù)竭_(dá)與木星表面相對靜止時(shí)，航天員對木星表面發(fā)射一束激光，經(jīng)過時(shí)間t，收到激光傳回的信號，測得相鄰兩次看到日出的時(shí)間間隔是T，測得航天員所在航天器的速度為v，已知引力常量G，激光的速度為c，則(　　) A．木星的質(zhì)量M＝ B．木星的質(zhì)量M＝ C．木星的質(zhì)量M＝ D．根據(jù)題目所給條件，可以求出木星的密度 【答案】AD [易錯(cuò)警示]估算天體質(zhì)量和密度的4點(diǎn)注意 (1)利用萬有引力提供天體做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力估算天體質(zhì)量時(shí)，估算的只是中心天體的質(zhì)量，而非環(huán)繞天體的質(zhì)量． (2)區(qū)別天體半徑R和衛(wèi)星軌道半徑r，只有在天體表面附近的衛(wèi)星，才有r≈R；計(jì)算天體密度時(shí)，V＝πR3中的“R”只能是中心天體的半徑． (3)天體質(zhì)量估算中常有隱含條件，如地球的自轉(zhuǎn)周期為24 h，公轉(zhuǎn)周期為365天等． (4)注意黃金代換式GM＝gR2的應(yīng)用． 訓(xùn)練1．“嫦娥一號”是我國首次發(fā)射的探月衛(wèi)星，它在距月球表面高度為200 km的圓形軌道上運(yùn)行，運(yùn)行周期為127分鐘．已知引力常量G＝6.6710－11 Nm2/kg2，月球半徑約為1.74103 km.利用以上數(shù)據(jù)估算月球的質(zhì)量約為(　　) A．8.11010 kg　　　　　 B．7.41013 kg C．5.41019 kg D．7.41022 kg 【答案】D 【解析】對“嫦娥一號”探月衛(wèi)星，由于萬有引力提供其做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，則G＝m(R＋h)，整理得：M＝(R＋h)3，代入數(shù)據(jù)可得M≈7.41022 kg，則D正確． 訓(xùn)練2．假設(shè)地球可視為質(zhì)量均勻分布的球體．已知地球表面重力加速度在兩極的大小為g0，在赤道 的大小為g，地球自轉(zhuǎn)的周期為T，引力常量為G.地球的密度為(　　) A. B. C. D. 【答案】B 超重點(diǎn)2：衛(wèi)星變軌與追及問題 1．衛(wèi)星發(fā)射及變軌過程概述 人造衛(wèi)星的發(fā)射過程要經(jīng)過多次變軌方可到達(dá)預(yù)定軌道．如圖所示，發(fā)射衛(wèi)星的過程大致有以下幾個(gè)步驟： (1)為了節(jié)省能量，在赤道上順著地球自轉(zhuǎn)方向發(fā)射衛(wèi)星到圓軌道Ⅰ上． (2)在A處點(diǎn)火加速，由于速度變大，進(jìn)入橢圓軌道Ⅱ. (3)在B處(遠(yuǎn)地點(diǎn))再次點(diǎn)火加速進(jìn)入圓形軌道Ⅲ. 2．衛(wèi)星變軌的實(shí)質(zhì) (1)當(dāng)衛(wèi)星的速度突然增大時(shí)，有G＜m，即萬有引力不足以提供向心力，衛(wèi)星將做離心運(yùn)動(dòng)，脫離原來的圓軌道，軌道半徑變大．當(dāng)衛(wèi)星進(jìn)入新的圓軌道穩(wěn)定運(yùn)行時(shí)，由v＝可知，其運(yùn)行速度比原軌道時(shí)減小，但重力勢能、機(jī)械能均增加． (2)當(dāng)衛(wèi)星的速度突然減小時(shí)，有G＞m，即萬有引力大于所需要的向心力，衛(wèi)星將做近心運(yùn)動(dòng)，脫離原來的圓軌道，軌道半徑變?。?dāng)衛(wèi)星進(jìn)入新的圓軌道穩(wěn)定運(yùn)行時(shí)，由v＝可知，其運(yùn)行速度比原軌道時(shí)增大，但重力勢能、機(jī)械能均減?。? 1．(2016高考北京卷)如圖所示，一顆人造衛(wèi)星原來在橢圓軌道1繞地球E運(yùn)行，在P點(diǎn)變軌后進(jìn)入軌道2做勻速圓周運(yùn)動(dòng)．下列說法正確的是(　　) A．不論在軌道1還是軌道2運(yùn)行，衛(wèi)星在P點(diǎn)的速度都相同 B．不論在軌道1還是軌道2運(yùn)行，衛(wèi)星在P點(diǎn)的加速度都相同 C．衛(wèi)星在軌道1的任何位置都具有相同加速度 D．衛(wèi)星在軌道2的任何位置都具有相同動(dòng)量 【答案】B 【解析】衛(wèi)星由軌道1上運(yùn)行到P點(diǎn)，經(jīng)加速后才能在軌道2上運(yùn)行，故A錯(cuò)誤．由G＝ma得a＝，由此式可知B正確，C錯(cuò)誤．衛(wèi)星在軌道2上的任何位置具有的速度大小相等，但方向不同，故D錯(cuò)誤． 2.(2018河北石家莊模擬)如圖所示，有A、B兩顆衛(wèi)星繞地心O做圓周運(yùn)動(dòng)，旋轉(zhuǎn)方向相同．A衛(wèi)星的周期為T1，B衛(wèi)星的周期為T2，在某一時(shí)刻兩衛(wèi)星相距最近，則(引力常量為G)(　　) A．兩衛(wèi)星經(jīng)過時(shí)間t＝T1＋T2兩次相距最近 B．兩顆衛(wèi)星的軌道半徑之比為 C．若已知兩顆衛(wèi)星相距最近時(shí)的距離，可求出地球的密度 D．若已知兩顆衛(wèi)星相距最近時(shí)的距離，可求出地球表面的重力加速度 【答案】B 3.2017年1月18日，世界首顆量子科學(xué)實(shí)驗(yàn)衛(wèi)星“墨子號”在圓滿完成4個(gè)月的在軌測試任務(wù)后，正式交付用戶使用．如圖為“墨子號”變軌示意圖，軌道A與軌道B相切于P點(diǎn)，軌道B與軌道C相切于Q點(diǎn)，以下說法正確的是(　　) A．“墨子號”在軌道B上由P向Q運(yùn)動(dòng)的過程中速率越來越大 B．“墨子號”在軌道C上經(jīng)過Q點(diǎn)的速率大于在軌道A上經(jīng)過P點(diǎn)的速率 C．“墨子號”在軌道B上經(jīng)過P時(shí)的向心加速度大于在軌道A上經(jīng)過P點(diǎn)時(shí)的向心加速度 D．“墨子號”在軌道B上經(jīng)過Q點(diǎn)時(shí)受到的地球的引力小于經(jīng)過P點(diǎn)時(shí)受到的地球的引力 【答案】D 【解析】“墨子號”在軌道B上由P向Q運(yùn)動(dòng)的過程中，逐漸遠(yuǎn)離地心，速率越來越小，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；“墨子號”在A、C軌道上運(yùn)行時(shí)，軌道半徑不同，根據(jù)G＝m可得v＝，軌道半徑越大，線速度越小，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；“墨子號”在A、B兩軌道上經(jīng)過P點(diǎn)時(shí)，離地心的距離相等，受地球的引力相等，所以加速度相等，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；“墨子號”在軌道B上經(jīng)過Q點(diǎn)比經(jīng)過P點(diǎn)時(shí)離地心的距離要遠(yuǎn)些，受地球的引力要小些，選項(xiàng)D正確． 超重點(diǎn)3：雙星或多星模型 1．“雙星”模型 (1)兩顆行星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)所需的向心力是由它們之間的萬有引力提供的，故兩行星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力大小相等． (2)兩顆行星均繞它們連線上的一點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，因此它們的運(yùn)行周期和角速度是相等的． (3)兩顆行星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑r1和r2與兩行星間距L的大小關(guān)系：r1＋r2＝L. 2．“多星”模型 (1)多顆行星在同一軌道繞同一點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，每顆行星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)所需的向心力由其他各個(gè)行星對該行星的萬有引力的合力提供． (2)每顆行星轉(zhuǎn)動(dòng)的方向相同，運(yùn)行周期、角速度和線速度大小相等． 3．處理技巧 (1)向心力來源的確定：雙星問題中，向心力來源于另一個(gè)星體的萬有引力；多星問題中，向心力則來源于其余星體的萬有引力的合力． (2)圓心或軌道半徑的確定及求解：雙星問題中，軌道的圓心位于兩星連線上某處，只有兩星質(zhì)量相等時(shí)才位于連線的中點(diǎn)，此處極易發(fā)生的錯(cuò)誤是列式時(shí)將兩星之間的距離當(dāng)作軌道半徑；多星問題中，也只有各星體的質(zhì)量相等時(shí)軌道圓心才會(huì)位于幾何圖形的中心位置，解題時(shí)一定要弄清題給條件． 【典例2】由三顆星體構(gòu)成的系統(tǒng)，忽略其他星體對它們的作用，存在著一種運(yùn)動(dòng)形式，三顆星體在相互之間的萬有引力作用下，分別位于等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)上，繞某一共同的圓心O在三角形所在的平面內(nèi)做相同角速度的圓周運(yùn)動(dòng)(圖示為A、B、C三顆星體質(zhì)量不相同時(shí)的一般情況)．若A星體質(zhì)量為2m，B、C兩星體的質(zhì)量均為m，三角形的邊長為a，求： (1)A星體所受合力大小FA； (2)B星體所受合力大小FB； (3)C星體的軌道半徑RC； (4)三星體做圓周運(yùn)動(dòng)的周期T. 【答案】(1)2G 　(2)G 　(3)a　(4)π 【解析】(1)由萬有引力定律，A星體所受B、C星體引力大小為FBA＝G＝G＝FCA，方向如圖所示， 則合力大小為FA＝2G (3)通過分析可知，圓心O在中垂線AD的中點(diǎn)， RC＝， 或：由對稱性可知OB＝OC＝RC，cos∠OBD＝＝＝， 可得RC＝a. (4)三星體運(yùn)動(dòng)周期相同，對C星體， 有FC＝FB＝G ＝m()2RC， 可得T＝π . [規(guī)律總結(jié)]緊抓四點(diǎn)解決雙星、多星問題 (1)根據(jù)雙星或多星的特點(diǎn)、規(guī)律，確定系統(tǒng)的中心以及運(yùn)動(dòng)的軌道半徑． (2)星體的向心力由其他天體的萬有引力的合力提供． (3)星體的角速度相等． (4)星體的軌道半徑不是天體間的距離．要利用幾何知識(shí)，尋找兩者之間的關(guān)系，正確計(jì)算萬有引力和向心力． 1．(2018吉林三校聯(lián)考)兩個(gè)質(zhì)量不同的天體構(gòu)成雙星系統(tǒng)，它們以二者連線上的某一點(diǎn)為圓心做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，下列說法正確的是(　　) A．質(zhì)量大的天體線速度較大 B．質(zhì)量小的天體角速度較大 C．兩個(gè)天體的向心力大小相等 D．若在圓心處放一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，它受到的合力為零 【答案】C 2．(多選)(2018山西四校聯(lián)考)宇宙中有這樣一種三星系統(tǒng)，系統(tǒng)由兩個(gè)質(zhì)量為m的小星體和一個(gè)質(zhì)量為M的大星體組成，兩個(gè)小星體圍繞大星體在同一圓形軌道上運(yùn)行，軌道半徑為r.關(guān)于該三星系統(tǒng)的說法正確的是(　　) A．在穩(wěn)定運(yùn)行的情況下，大星體提供兩小星體做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力 B．在穩(wěn)定運(yùn)行的情況下，大星體應(yīng)在小星體軌道中心，兩小星體在大星體相對的兩側(cè) C．小星體運(yùn)行的周期為 D．大星體運(yùn)行的周期為 【答案】BC 3．雙星系統(tǒng)由兩顆恒星組成，兩恒星在相互引力的作用下，分別圍繞其連線上的某一點(diǎn)做周期相同的勻速圓周運(yùn)動(dòng)．研究發(fā)現(xiàn)，雙星系統(tǒng)演化過程中，兩星的總質(zhì)量、距離和周期均可能發(fā)生變化．若某雙星系統(tǒng)中兩星做圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T，經(jīng)過一段時(shí)間演化后，兩星總質(zhì)量變?yōu)樵瓉淼膋倍，兩星之間的距離變?yōu)樵瓉淼膎倍，則此時(shí)圓周運(yùn)動(dòng)的周期為(　　) A.T B.T C.T D.T 【答案】B 【解析】雙星靠彼此的引力提供向心力，則有 G＝m1r1 G＝m2r2 并且r1＋r2＝L 解得T＝2π 當(dāng)兩星總質(zhì)量變?yōu)樵瓉淼膋倍，兩星之間距離變?yōu)樵瓉淼膎倍時(shí) T′＝2π＝T 故選項(xiàng)B正確． 超重點(diǎn)4：“嫦娥”探月四步曲 中國探月工程，又稱“嫦娥工程”.2004年，中國正式開展月球探測工程．嫦娥工程分為“無人月球探測”“載人登月”和“建立月球基地”三個(gè)階段.2007年10月24日18時(shí)05分，“嫦娥一號”成功發(fā)射升空，在圓滿完成各項(xiàng)使命后，于2009年按預(yù)定計(jì)劃受控撞月.2010年10月1日18時(shí)57分59秒“嫦娥二號”順利發(fā)射，也已圓滿并超額完成各項(xiàng)既定任務(wù).2011年離開拉格朗日點(diǎn)L2點(diǎn)后，向深空進(jìn)發(fā)，現(xiàn)今仍在前進(jìn)，意在對深空通信系統(tǒng)進(jìn)行測試.2013年9月19日，探月工程進(jìn)行了嫦娥三號衛(wèi)星和玉兔號月球車的月面勘測任務(wù)．嫦娥四號是嫦娥三號的備份星．嫦娥五號主要科學(xué)目標(biāo)包括對著陸區(qū)的現(xiàn)場調(diào)查和分析，以及月球樣品返回地球以后的分析與研究．要完成“嫦娥”工程的前提是要把衛(wèi)星成功送到月球，大致經(jīng)歷“發(fā)射→轉(zhuǎn)移→環(huán)繞→著陸”四步. 第一步：衛(wèi)星發(fā)射 [典例1]　我國已于2013年12月2日凌晨1點(diǎn)30分使用長征三號乙運(yùn)載火箭成功發(fā)射“嫦娥三號”．火箭加速是通過噴氣發(fā)動(dòng)機(jī)向后噴氣實(shí)現(xiàn)的．設(shè)運(yùn)載火箭和“嫦娥三號”的總質(zhì)量為M，地面附近的重力加速度為g，地球半徑為R，萬有引力常量為G. (1)用題給物理量表示地球的質(zhì)量． (2)假設(shè)在“嫦娥三號”艙內(nèi)有一平臺(tái)，平臺(tái)上放有測試儀器，儀器對平臺(tái)的壓力可通過監(jiān)控裝置傳送到地面．火箭從地面發(fā)射后以加速度豎直向上做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，升到某一高度時(shí)，地面監(jiān)控器顯示“嫦娥三號”艙內(nèi)測試儀器對平臺(tái)的壓力為發(fā)射前壓力的，求此時(shí)火箭離地面的高度． 【答案】(1)M地＝.(2) h＝ . 設(shè)在距離地面的高度為h時(shí)，平臺(tái)對儀器的支持力為F1，根據(jù)題述和牛頓第三定律得，F(xiàn)1＝F0 由牛頓第二定律得，F(xiàn)1－F＝m0a，a＝ 聯(lián)立解得：h＝ 第二步：衛(wèi)星轉(zhuǎn)移 【典例2】　嫦娥三號的飛行軌道示意圖如圖所示．假設(shè)嫦娥三號在環(huán)月段圓軌道和橢圓軌道上運(yùn)動(dòng)時(shí)，只受到月球的萬有引力，則(　　) A．若已知嫦娥三號環(huán)月段圓軌道的半徑、運(yùn)動(dòng)周期和引力常量，則可算出月球的密度 B．嫦娥三號由環(huán)月段圓軌道變軌進(jìn)入環(huán)月段橢圓軌道時(shí)，應(yīng)讓發(fā)動(dòng)機(jī)點(diǎn)火使其加速 C．嫦娥三號在環(huán)月段橢圓軌道上P點(diǎn)的速度大于Q點(diǎn)的速度 D．嫦娥三號在動(dòng)力下降段，其引力勢能減小 【答案】D 第三步：繞月飛行 【典例3】　(多選)典例2的題圖是“嫦娥三號”飛行軌道示意圖．假設(shè)“嫦娥三號”運(yùn)行經(jīng)過P點(diǎn)第一次通過近月制動(dòng)使“嫦娥三號”在距離月面高度為100 km的圓軌道Ⅰ上運(yùn)動(dòng)，再次經(jīng)過P點(diǎn)時(shí)第二次通過近月制動(dòng)使“嫦娥三號”在距離月面近地點(diǎn)為Q、高度為15 km，遠(yuǎn)地點(diǎn)為P、高度為100 km的橢圓軌道Ⅱ上運(yùn)動(dòng)，下列說法正確的是(　　) A．“嫦娥三號”在距離月面高度為100 km的圓軌道Ⅰ上運(yùn)動(dòng)時(shí)速度大小可能變化 B．“嫦娥三號”在距離月面高度100 km的圓軌道Ⅰ上運(yùn)動(dòng)的周期一定大于在橢圓軌道Ⅱ上運(yùn)動(dòng)的周期 C．“嫦娥三號”在橢圓軌道Ⅱ上運(yùn)動(dòng)經(jīng)過Q點(diǎn)時(shí)的加速度一定大于經(jīng)過P點(diǎn)時(shí)的加速度 D．“嫦娥三號”在橢圓軌道Ⅱ上運(yùn)動(dòng)經(jīng)過Q點(diǎn)時(shí)的速度可能小于經(jīng)過P點(diǎn)時(shí)的速度 【答案】BC 【解析】“嫦娥三號”在距離月面高度為100 km的圓軌道上運(yùn)動(dòng)是勻速圓周運(yùn)動(dòng)，速度大小不變，選項(xiàng)A錯(cuò)誤．由于圓軌道的軌道半徑大于橢圓軌道半長軸，根據(jù)開普勒定律，“嫦娥三號”在距離月面高度100 km的圓軌道Ⅰ上運(yùn)動(dòng)的周期一定大于在橢圓軌道Ⅱ上運(yùn)動(dòng)的周期，選項(xiàng)B正確．由于在Q點(diǎn)“嫦娥三號”所受萬有引力大，所以“嫦娥三號”在橢圓軌道Ⅱ上運(yùn)動(dòng)經(jīng)過Q點(diǎn)時(shí)的加速度一定大于經(jīng)過P點(diǎn)時(shí)的加速度，選項(xiàng)C正確．“嫦娥三號”在橢圓軌道上運(yùn)動(dòng)的引力勢能和動(dòng)能之和保持不變，Q點(diǎn)的引力勢能小于P點(diǎn)的引力勢能，所以“嫦娥三號”在橢圓軌道Ⅱ上運(yùn)動(dòng)到Q點(diǎn)的動(dòng)能較大，速度較大，所以“嫦娥三號”在橢圓軌道Ⅱ上運(yùn)動(dòng)經(jīng)過Q點(diǎn)時(shí)的速度一定大于經(jīng)過P點(diǎn)時(shí)的速度，選項(xiàng)D錯(cuò)誤． 第四步：衛(wèi)星著陸 【典例4】　如圖所示為“嫦娥三號”探測器在月球上著陸最后階段的示意圖．首先在發(fā)動(dòng)機(jī)作用下，探測器受到推力在距月面高度為h1處懸停(速度為0，h1遠(yuǎn)小于月球半徑)；接著推力改變，探測器開始豎直下降，到達(dá)距月面高度為h2處的速度為v；此后發(fā)動(dòng)機(jī)關(guān)閉，探測器僅受重力下落至月面．已知探測器總質(zhì)量為m(不包括燃料)，地球和月球的半徑比為k1，質(zhì)量比為k2，地球表面附近的重力加速度為g，求： (1)月球表面附近的重力加速度大小及探測器剛接觸月面時(shí)的速度大??； (2)從開始豎直下降到剛接觸月面時(shí)，探測器機(jī)械能的變化． 【答案】　(1)g　 (2)mv2－mg(h1－h(huán)2) 【解析】　(1)設(shè)地球質(zhì)量和半徑分別為M和R，月球的質(zhì)量、半徑和表面附近的重力加速度分別為M′、R′和g′，探測器剛接觸月面時(shí)的速度大小為vt，則有mg′＝G，mg＝G 解得g′＝g 由v－v2＝2g′h2得vt＝. (2)設(shè)機(jī)械能變化量為ΔE，動(dòng)能變化量為ΔEk，重力勢能變化量為ΔEp，有ΔE＝ΔEk＋ΔEp 則ΔE＝m(v2＋)－mgh1 得ΔE＝mv2－mg(h1－h(huán)2)． 訓(xùn)練1．(多選)(2018湖北八校聯(lián)考)如圖為“嫦娥三號”登月軌跡示意圖．圖中M點(diǎn)為環(huán)地球運(yùn)行的近地點(diǎn)，N點(diǎn)為環(huán)月球運(yùn)行的近月點(diǎn)．a(chǎn)為環(huán)月球運(yùn)行的圓軌道，b為環(huán)月球運(yùn)行的橢圓軌道，下列說法中正確的是(　　) A．“嫦娥三號”在環(huán)地球軌道上的運(yùn)行速度大于11.2 km/s B．“嫦娥三號”在M點(diǎn)進(jìn)入地月轉(zhuǎn)移軌道時(shí)應(yīng)點(diǎn)火加速 C．設(shè)“嫦娥三號”在圓軌道a上經(jīng)過N點(diǎn)時(shí)的加速度為a1，在橢圓軌道b上經(jīng)過N點(diǎn)時(shí)的加速度為a2，則a1＞a2 D．“嫦娥三號”在圓軌道a上的機(jī)械能小于在橢圓軌道b上的機(jī)械能 【答案】BD 訓(xùn)練2．“嫦娥三號”探測器著陸是從15 km的高度開始的，由著陸器和“玉兔”號月球車組成的“嫦娥三號”月球探測器總重約3.8 t．主減速段開啟的反推力發(fā)動(dòng)機(jī)最大推力為7 500 N，不考慮月球和其他天體的影響，月球表面附近重力加速度約為1.6 m/s2，“嫦娥三號”探測器在1 s內(nèi)(　　) A．速度增加約2 m/s B．速度減小約2 m/s C．速度增加約0.37 m/s D．速度減小約0.37 m/s 【答案】B 【解析】根據(jù)題述，不考慮月球和其他天體的影響，也就是不考慮重力，由牛頓第二定律，－F＝ma，解得a≈－2 m/s2，根據(jù)加速度的意義可知“嫦娥三號”探測器在1 s內(nèi)速度減小約2 m/s，選項(xiàng)B正確． 訓(xùn)練3．(多選)如圖是“嫦娥三號”飛行軌道示意圖，在地月轉(zhuǎn)移段，若不計(jì)其他星體的影響，關(guān)閉發(fā)動(dòng)機(jī)后，下列說法正確的是(　　) A．“嫦娥三號”飛行速度一定越來越小 B．“嫦娥三號”的動(dòng)能可能增大 C．“嫦娥三號”的動(dòng)能和引力勢能之和一定不變 D．“嫦娥三號”的動(dòng)能和引力勢能之和可能增大 【答案】AC 【解析】在地月轉(zhuǎn)移段“嫦娥三號”所受地球和月球的引力之和指向地球，關(guān)閉發(fā)動(dòng)機(jī)后，“嫦娥三號”向月球飛行，要克服引力做功，動(dòng)能一定減小，速度一定減小，選項(xiàng)A正確，B錯(cuò)誤．關(guān)閉發(fā)動(dòng)機(jī)后，只有萬有引力做功，“嫦娥三號”的動(dòng)能和引力勢能之和一定不變，選項(xiàng)C正確，D錯(cuò)誤． 題組突破訓(xùn)練 1、 選擇題 1．關(guān)于物體的受力和運(yùn)動(dòng)，下列說法中正確的是(　　) A．物體在不垂直于速度方向的合力作用下，速度大小可能一直不變 B．物體做曲線運(yùn)動(dòng)時(shí)，某點(diǎn)的加速度方向就是通過這一點(diǎn)的曲線的切線方向 C．物體受到變化的合力作用時(shí)，它的速度大小一定改變 D．做曲線運(yùn)動(dòng)的物體，一定受到與速度不在同一直線上的合外力作用 【答案】D 2.2016年8月6日里約奧運(yùn)會(huì)自行車項(xiàng)目比賽開始，自行車是奧運(yùn)比賽的金牌大戶，總共將決出16塊金牌．如圖所示，在室內(nèi)自行車比賽中，運(yùn)動(dòng)員以速度v在傾角為θ的賽道上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)．已知運(yùn)動(dòng)員的質(zhì)量為m，做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為R，重力加速度為g，則(　　) A．將運(yùn)動(dòng)員和自行車看作一個(gè)整體，整體受重力、支持力、摩擦力、向心力的作用 B．運(yùn)動(dòng)員受到的合力大小為m，受到的向心力大小也是m C．運(yùn)動(dòng)員做圓周運(yùn)動(dòng)的角速度為vR D．如果運(yùn)動(dòng)員減速，運(yùn)動(dòng)員將做離心運(yùn)動(dòng) 【答案】B 【解析】受力分析不能分析向心力，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體，向心力等于合力，選項(xiàng)B正確；運(yùn)動(dòng)員做圓周運(yùn)動(dòng)的角速度為ω＝，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；如果運(yùn)動(dòng)員減速，運(yùn)動(dòng)員將做近心運(yùn)動(dòng)，選項(xiàng)D錯(cuò)誤． 3.2016年第二屆游樂行業(yè)“摩天獎(jiǎng)”頒獎(jiǎng)盛會(huì)在國家會(huì)議中心舉行，蕪湖方特主題樂園榮獲“中國十大主題樂園獎(jiǎng)”．如圖為方特水上樂園中的彩虹滑道，游客先要從一個(gè)極陡的斜坡由靜止滑下，接著經(jīng)過一個(gè)拱形水道，最后達(dá)到末端．下列說法正確的是(　　) A．斜坡的高度和拱形水道的高度差要設(shè)計(jì)合理，否則游客經(jīng)過拱形水道的最高點(diǎn)時(shí)可能脫離軌道 B．游客從斜坡的最高點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到拱形水道最高點(diǎn)的過程中一直做加速運(yùn)動(dòng) C．游客從斜坡下滑到最低點(diǎn)時(shí)，游客對滑道的壓力小于重力 D．游客以某一速度運(yùn)動(dòng)到拱形水道最高點(diǎn)時(shí)，游客對滑道的壓力等于重力 【答案】A 4．2016年美研究人員宣稱發(fā)現(xiàn)太陽系名副其實(shí)的“第九大行星”(昵稱“行星九”)，其質(zhì)量約為地球的10倍，其軌道與太陽的平均距離大約是第八大行星海王星與太陽距離(28億英里)的20倍，已知海王星的公轉(zhuǎn)周期約為164.8年，則“行星九”的公轉(zhuǎn)周期約為(　　) A．0.015萬年　　　　 B．0.15萬年 C．1.5萬年 D．15萬年 【答案】C 【解析】由開普勒第三定律，所有行星的軌道的半長軸的三次方跟公轉(zhuǎn)周期的二次方的比值都相等，即＝，估算T2＝20T1，則“行星九”的公轉(zhuǎn)周期約為1.5萬年，只有選項(xiàng)C正確． 5.水平放置的三個(gè)不同材料制成的圓輪A、B、C，用不打滑的皮帶相連，如圖所示(俯視圖)，三圓輪的半徑之比為RA∶RB∶RC＝3∶2∶1，當(dāng)主動(dòng)輪C勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，在三輪的邊緣上分別放置一相同的小物塊(可視為質(zhì)點(diǎn))，小物塊均恰能相對靜止在各輪的邊緣上．設(shè)小物塊所受的最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，小物塊與輪A、B、C接觸面間的動(dòng)摩擦因數(shù)分別為μA、μB、μC，A、B、C三輪轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度分別為ωA、ωB、ωC，則(　　) A．μA∶μB∶μC＝2∶3∶6 B．μA∶μB∶μC＝6∶3∶2 C．ωA∶ωB∶ωC＝1∶2∶3 D．ωA∶ωB∶ωC＝6∶3∶2 【答案】A 【解析】小物塊在水平方向由最大靜摩擦力提供向心力，所以向心加速度a＝μg，而a＝，A、B、C三輪邊緣的線速度大小相同，所以μ∝，所以μA∶μB∶μC＝2∶3∶6；由v＝Rω可知，ω∝，所以ωA∶ωB∶ωC＝2∶3∶6，故A正確． 6．2016年北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)建設(shè)已完成兩顆北斗衛(wèi)星發(fā)射任務(wù)，確保區(qū)域?qū)Ш较到y(tǒng)穩(wěn)定運(yùn)行．人造地球衛(wèi)星可以繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，也可以沿橢圓軌道繞地球運(yùn)動(dòng)．對于沿橢圓軌道繞地球運(yùn)動(dòng)的衛(wèi)星，下列說法正確的是(　　) A．近地點(diǎn)速度一定等于7.9 km/s B．遠(yuǎn)地點(diǎn)速度一定小于7.9 km/s C．發(fā)射此衛(wèi)星的速度一定大于7.9 km/s D．近地點(diǎn)速度一定小于7.9 km/s 【答案】BC 7．目前，在地球周圍有許多人造地球衛(wèi)星繞著它轉(zhuǎn)，其中一些衛(wèi)星的軌道可近似為圓，且軌道半徑逐漸變?。粜l(wèi)星在軌道半徑逐漸變小的過程中，只受到地球引力和稀薄氣體阻力的作用，衛(wèi)星質(zhì)量不變，則下列判斷正確的是(　　) A．衛(wèi)星的動(dòng)能逐漸減小 B．由于地球引力做正功，引力勢能一定減小 C．由于氣體阻力做負(fù)功，地球引力做正功，機(jī)械能保持不變 D．衛(wèi)星克服氣體阻力做的功小于引力勢能的減小 【答案】BD 【解析】根據(jù)萬有引力提供向心力可得＝m，v＝，衛(wèi)星在軌道半徑減小的過程中，衛(wèi)星的動(dòng)能增大，A項(xiàng)錯(cuò)誤；地球引力做正功，引力勢能減小，B項(xiàng)正確；空氣阻力做負(fù)功，衛(wèi)星的機(jī)械能減小，C項(xiàng)錯(cuò)誤；根據(jù)動(dòng)能定理可知，衛(wèi)星的動(dòng)能增大，空氣阻力做的負(fù)功要小于地球引力做的正功，D項(xiàng)正確． 8.(2018湖北六校聯(lián)考)如圖所示，一個(gè)固定在豎直平面內(nèi)的光滑半圓形管道，管道里有一個(gè)直徑略小于管道內(nèi)徑的小球，小球在管道內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，從B點(diǎn)脫離后做平拋運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過0.3 s后又恰好與傾角為45的斜面垂直相撞．已知半圓形管道的半徑為R＝1 m，小球可看作質(zhì)點(diǎn)且其質(zhì)量為m＝1 kg，g取10 m/s2，則(　　) A．小球在斜面上的相碰點(diǎn)C與B點(diǎn)的水平距離是0.9 m B．小球在斜面上的相碰點(diǎn)C與B點(diǎn)的水平距離是1.9 m C．小球經(jīng)過管道的B點(diǎn)時(shí)，受到管道的作用力FNB的大小是1 N D．小球經(jīng)過管道的B點(diǎn)時(shí)，受到管道的作用力FNB的大小是2 N 【答案】AC 二、非選擇題 9.圖甲是“研究平拋物體運(yùn)動(dòng)”的實(shí)驗(yàn)裝置圖，通過描點(diǎn)畫出平拋小球的運(yùn)動(dòng)軌跡． (1)以下是實(shí)驗(yàn)過程中的一些做法，其中合理的有________． a．安裝斜槽軌道，使其末端保持水平 b．每次小球釋放的初始位置可以任意選擇 c．每次小球應(yīng)從同一高度由靜止釋放 d．為描出小球的運(yùn)動(dòng)軌跡，描繪的點(diǎn)可以用折線連接 (2)實(shí)驗(yàn)得到平拋小球的運(yùn)動(dòng)軌跡，在軌跡上取一些點(diǎn)，以平拋起點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，測量它們的水平坐標(biāo)x和豎直坐標(biāo)y，圖乙中y-x2圖象能說明平拋小球運(yùn)動(dòng)軌跡為拋物線的是________． (3)圖丙是某同學(xué)根據(jù)實(shí)驗(yàn)畫出的平拋小球的運(yùn)動(dòng)軌跡，O為平拋的起點(diǎn)，在軌跡上任取兩點(diǎn)A、B，測得A、B兩點(diǎn)縱坐標(biāo)y1＝5.0 cm，y2＝45.0 cm，A、B兩點(diǎn)水平間距Δx＝40.0 cm.則平拋小球的初速度v0為________ m/s. 【答案】(1)ac　(2)c　(3)2.0 10．載人登月計(jì)劃是我國的“探月工程”計(jì)劃中實(shí)質(zhì)性的目標(biāo)．假設(shè)宇航員登上月球后，以初速度v0豎直向上拋出一小球，測出小球從拋出到落回原處所需的時(shí)間為t.已知引力常量為G，月球的半徑為R，不考慮月球自轉(zhuǎn)的影響，求： (1)月球表面的重力加速度大小g月； (2)月球的質(zhì)量M； (3)飛船貼近月球表面繞月球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期T. 【答案】(1)　(2)　(3)2π 【解析】(1)小球在月球表面上做豎直上拋運(yùn)動(dòng)，有t＝ 月球表面的重力加速度大小g月＝ (2)假設(shè)月球表面一物體質(zhì)量為m0，有 G＝m0g月 月球的質(zhì)量M＝ (3)飛船貼近月球表面做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，有 G＝m()2R 飛船貼近月球表面繞月球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期 T＝2π. 11.一組太空人乘太空穿梭機(jī)，去修理位于離地球表面6.0105 m的圓形軌道上的哈勃太空望遠(yuǎn)鏡H.機(jī)組人員駕駛穿梭機(jī)S進(jìn)入與H相同的軌道并關(guān)閉推動(dòng)火箭，而望遠(yuǎn)鏡在穿梭機(jī)前方數(shù)公里處，如圖所示．設(shè)G為萬有引力常量，ME為地球質(zhì)量．(已知地球半徑為6.4106 m，地球表面的重力加速度g取9.8 m/s2) (1)在穿梭機(jī)內(nèi)，一個(gè)質(zhì)量為70 kg的人站在臺(tái)秤上，則其示數(shù)是多少？ (2)計(jì)算軌道上的重力加速度值． (3)計(jì)算穿梭機(jī)在軌道上的速率和周期． 【答案】(1)零　(2)8.2 m/s2　(3)7.6103 m/s　5.8103 s (3)穿梭機(jī)在軌道上運(yùn)行時(shí)： ＝m， ＝m()2(R＋h) 聯(lián)立解得 v＝R，T＝ 代入數(shù)據(jù)解得v＝7.6103 m/s，T＝5.8103 s. 12.如圖所示，軌道ABCD的AB段為一半徑R＝0.2 m的光滑圓形軌道，BC段為高h(yuǎn)＝5 m的豎直軌道，CD段為水平軌道．一質(zhì)量為0.1 kg的小球由A點(diǎn)從靜止開始下滑到B點(diǎn)，離開B點(diǎn)做平拋運(yùn)動(dòng)(g取10 m/s2)．求： (1)小球離開B點(diǎn)后，在CD軌道上的落地點(diǎn)到C的水平距離； (2)小球到達(dá)B點(diǎn)時(shí)對圓形軌道的壓力大??； (3)如果在BCD軌道上放置一個(gè)傾角θ＝45的斜面(如圖中虛線所示)，那么小球離開B點(diǎn)后能否落到斜面上？如果能，求它第一次落在斜面上的位置． 【答案】(1)2 m　(2)3 N　(3)見解析 由牛頓第三定律知小球到達(dá)B點(diǎn)時(shí)對圓形軌道的壓力大小為3 N，方向豎直向下． (3)如圖，斜面BEC的傾角θ＝45，CE的長度d＝h＝5 m，因?yàn)閐>s，所以小球離開B點(diǎn)后能落在斜面上． 假設(shè)小球第一次落在斜面上F點(diǎn)，BF長為L，小球從B點(diǎn)到F點(diǎn)的時(shí)間為t2，則有 Lcos θ＝vBt2， Lsin θ＝gt， 聯(lián)立解得t2＝0.4 s，L＝0.8 m≈1.13 m， 即落點(diǎn)位于斜面上距B點(diǎn)1.13 m處．