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2019-2020年人教版高中數(shù)學(xué)必修二教案：4-2-2 圓與圓的位置關(guān)系 項目 內(nèi)容 課題 4.2.2 圓與圓的位置關(guān)系 （1課時） 修改與創(chuàng)新 教學(xué) 目標 使學(xué)生理解并掌握圓和圓的位置關(guān)系及其判定方法.培養(yǎng)學(xué)生自主探究的能力.通過用代數(shù)的方法分析圓與圓的位置關(guān)系,使學(xué)生體驗幾何問題代數(shù)化的思想,深入了解解析幾何的本質(zhì),同時培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力,并進一步體會數(shù)形結(jié)合的思想. 教學(xué)重、 難點 教學(xué)重點：求弦長問題,判斷圓和圓的位置關(guān)系. 教學(xué)難點:判斷圓和圓的位置關(guān)系. 教學(xué) 準備 多媒體課件 教學(xué)過程 導(dǎo)入新課 平面幾何中,圓與圓的位置關(guān)系有哪幾種呢？如何判斷圓與圓之間的位置關(guān)系呢？ 判斷兩圓的位置關(guān)系的步驟及其判斷方法如下:第一步：計算兩圓的半徑R,r；第二步：計算兩圓的圓心距O1O2,即d；第三步：根據(jù)d與R,r之間的關(guān)系,判斷兩圓的位置關(guān)系. 兩圓的位置關(guān)系： 外離 外切 相交 內(nèi)切 內(nèi)含 d＞R+r d=R+r |R-r|＜d＜R+r d=|R-r| d＜|R-r| 在解析幾何中,我們用代數(shù)的方法如何判斷圓與圓之間的位置關(guān)系呢？這就是我們本堂課研究的課題,教師板書課題圓與圓的位置關(guān)系. 推進新課 新知探究 提出問題 ①初中學(xué)過的平面幾何中,圓與圓的位置關(guān)系有幾種？ ②判斷兩圓的位置關(guān)系,你有什么好的方法嗎？ ③你能在同一個直角坐標系中畫出兩個方程所表示的圓嗎？ ④根據(jù)你所畫出的圖形,可以直觀判斷兩個圓的位置關(guān)系.如何把這些直觀的事實轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言呢？ ⑤如何判斷兩個圓的位置關(guān)系呢？ ⑥若將兩個圓的方程相減,你發(fā)現(xiàn)了什么？ ⑦兩個圓的位置關(guān)系是否可以轉(zhuǎn)化為一條直線與兩個圓中的一個圓的關(guān)系的判定呢？ 活動： 教師引導(dǎo)學(xué)生回顧學(xué)過的知識、舉例,并對學(xué)生活動進行評價；學(xué)生回顧知識點時,可互相交流.教師引導(dǎo)學(xué)生閱讀教科書中的相關(guān)內(nèi)容,注意個別輔導(dǎo),解答學(xué)生疑難,并引導(dǎo)學(xué)生自己總結(jié)解題的方法.學(xué)生觀察圖形并思考,發(fā)表自己的解題方法.教師應(yīng)該關(guān)注并發(fā)現(xiàn)有多少學(xué)生利用“圖形”求解,對這些學(xué)生應(yīng)該給予表揚.同時強調(diào),解析幾何是一門數(shù)與形結(jié)合的學(xué)科.啟發(fā)學(xué)生利用圖形的特征,用代數(shù)的方法來解決幾何問題.教師指導(dǎo)學(xué)生利用兩個圓的圓心坐標、半徑長、連心線長的關(guān)系來判別兩個圓的位置.學(xué)生互相探討、交流,尋找解決問題的方法,并能通過圖形的直觀性,利用平面直角坐標系的兩點間距離公式尋求解題的途徑. 討論結(jié)果：①初中學(xué)過的平面幾何中,圓與圓的位置關(guān)系有五類,分別是外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含. ②判斷兩圓的位置關(guān)系,我們可以類比直線與圓的位置關(guān)系的判定,目前我們只有初中學(xué)過的幾何法,利用圓心距與兩圓半徑的和與差之間的關(guān)系判斷. ③略. ④根據(jù)所畫出的圖形,可以直觀判斷兩個圓的位置關(guān)系.用幾何的方法說就是圓心距(d)與兩圓半徑(r,R)的和與差之間的關(guān)系. ⑤判斷兩個圓的位置關(guān)系.一是可以利用幾何法,即兩個圓的圓心坐標、半徑長、連心線長的關(guān)系來判別兩個圓的位置關(guān)系.設(shè)兩圓的連心線長為l,則判別圓與圓的位置關(guān)系的依據(jù)有以下幾點： 1當d＞R+r時,圓C1與圓C2外離； 2當d=R+r時,圓C1與圓C2外切； 3當|R-r|＜d＜R+r時,圓C1與圓C2相交； 4當d=|R-r|時,圓C1與圓C2內(nèi)切； 5當d＜|R-r|時,圓C1與圓C2內(nèi)含； 二是看兩圓的方程組成的方程組的實數(shù)解的情況,解兩個圓的方程所組成的二元二次方程組.若方程組有兩組不同的實數(shù)解,則兩圓相交；若方程組有兩組相同的實數(shù)解,則兩圓相切；若無實數(shù)解,兩圓相離. 總結(jié)比較兩種方法的優(yōu)缺點. 幾何方法：直觀,容易理解,但不能求出交點坐標. 代數(shù)方法： 1只能判斷交點,并不能準確的判斷位置關(guān)系(有一個交點時不能判斷內(nèi)切還是外切,無交點時不能判斷內(nèi)含還是外離). 2優(yōu)點是可以求出公共點. ⑥若將兩個圓的方程相減,得到一個一元一次方程,既直線方程,由于它過兩圓的交點,所以它是相交兩圓的公共弦的方程. ⑦兩個圓的公共點的問題可以化歸為這條公共直線與兩個圓中的一個圓的公共點的判定問題.由點到直線的距離公式來判斷. 應(yīng)用示例 例1 已知圓C1：x2+y2+2x+8y-8=0,圓C2：x2+y2-4x-4y-2=0,判斷兩圓的位置關(guān)系. 活動:學(xué)生思考交流,教師引導(dǎo)提示,判斷兩圓的位置關(guān)系有兩種基本的方法,要合理使用.方法一看兩圓的方程組成的方程組的實數(shù)解的情況,方法二利用圓心距與兩圓半徑的和與差之間的關(guān)系判斷. 解:方法一:圓C1與圓C2的方程聯(lián)立得到方程組 ①-②得x+2y-1=0, ③ 由③得y=,把上式代入①并整理得x2-2x-3=0. ④ 方程④的判別式Δ=(-2)2-41(-3)=16＞0,所以方程④有兩個不等的實數(shù)根,即圓C1與圓C2相交. 方法二:把圓C1:x2+y2+2x+8y-8=0,圓C2:x2+y2-4x-4y-2=0,化為標準方程,得(x+1)2+(y+4)2=25與(x-2)2+(y-2)2=10. 圓C1的圓心是點(-1,-4),半徑長r1=5; 圓C2的圓心是點(2,2),半徑長r2=. 圓C1與圓C2的連心線的長為=3,圓C1與圓C2的半徑長之和為r1+r2=5+, 半徑長之差為r1-r2=5-. 而5-＜3＜5+,即r1-r2＜3＜r1+r2, 所以圓C1與圓C2相交,它們有兩個公共點A、B. 點評:判斷兩圓的位置關(guān)系,一般情況下,先化為標準方程,利用幾何法判斷較為準確直觀. 變式訓(xùn)練 判斷下列兩圓的位置關(guān)系,如果兩圓相交,請求出公共弦的方程. (1)(x+2)2+(y-2)2=1與(x-2)2+(y-5)2=16, (2)x2+y2+6x-7=0與x2+y2+6y-27=0. 解:(1)根據(jù)題意,得兩圓的半徑分別為r1=1和r2=4,兩圓的圓心距 d==5. 因為d=r1+r2,所以兩圓外切. (2)將兩圓的方程化為標準方程,得(x+3)2+y2=16,x2+(y+3)2=36. 故兩圓的半徑分別為r1=4和r2=6, 兩圓的圓心距d=. 因為|r1-r2|＜d＜r1+r2,所以兩圓相交. 例2 已知圓C1:x2+y2+2x-6y+1=0,圓C2:x2+y2-4x+2y-11=0,求兩圓的公共弦所在的直線方程及公共弦長. 活動：學(xué)生審題,思考并交流,探討解題的思路,教師及時提示引導(dǎo),因兩圓的交點坐標同時滿足兩個圓方程,聯(lián)立方程組,消去x2項、y2項,即得兩圓的兩個交點所在的直線方程,利用勾股定理可求出兩圓公共弦長. 解:設(shè)兩圓交點為A(x1,y1)、B(x2,y2),則A、B兩點坐標滿足方程組 ①-②,得3x-4y+6=0. 因為A、B兩點坐標都滿足此方程,所以3x-4y+6=0即為兩圓公共弦所在的直線方程. 易知圓C1的圓心(-1,3),半徑r=3. 又點C1到直線的距離為d==. 所以AB=2,即兩圓的公共弦長為. 點評:處理圓有關(guān)的問題,利用圓的幾何性質(zhì)往往比較簡單,要注意體會和應(yīng)用. 知能訓(xùn)練 課堂練習(xí)P141練習(xí)題 課堂小結(jié) 本節(jié)課主要學(xué)習(xí)了圓與圓的位置關(guān)系，判斷方法：幾何方法和代數(shù)方法. 作業(yè) 習(xí)題4.2 A組8、9、10、11. 板書設(shè)計 4.2.2 圓與圓的位置關(guān)系 圓與圓的位置關(guān)系： 例1 相離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含 變式 例2 教學(xué)反思 本節(jié)課研究圓與圓的位置關(guān)系,重點是研究兩圓位置關(guān)系的判斷方法,并應(yīng)用這些方法解決有關(guān)的實際問題.教材是在初中平面幾何對圓與圓的位置關(guān)系的初步分析的基礎(chǔ)上得到圓與圓的位置關(guān)系的幾何方法,但用代數(shù)的方法來解決幾何問題是解析幾何的精髓,是平面幾何問題的深化,它將是以后處理圓錐曲線的基本方法..前一堂課學(xué)習(xí)過直線與圓的位置關(guān)系,圓與圓的位置關(guān)系的研究和直線與圓的位置關(guān)系的研究方法是類似的,所以可以用類比的思想來引導(dǎo)學(xué)生自主地探究圓與圓的位置關(guān)系.作為解析幾何的一堂課,判斷圓與圓的位置關(guān)系,體現(xiàn)的正是解析幾何的思想：用代數(shù)方法處理幾何問題,用幾何方法處理代數(shù)問題.所以在教材處理上,對判斷兩圓位置關(guān)系用了代數(shù)和幾何兩種方法,兩種方法貫穿始終,使學(xué)生對解析幾何的本質(zhì)有所了解