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專題01 集合的概念與運算 【考點剖析】 1. 命題方向預測： (1) 給定集合，直接考查集合的交、并、補集的運算. (2) 與方程、不等式等知識相結(jié)合，考查集合的交、并、補集的運算. (3) 利用集合運算的結(jié)果，考查集合運算的結(jié)果,考查集合間的基本關(guān)系. (4) 以新概念或新背景為載體,考查對新情景的應(yīng)變能力. 2. 課本結(jié)論總結(jié)： (1)集合中元素的性質(zhì)：確定性，互異性，無序性. (2)子集的概念：A中的任何一個元素都屬于B.記作： (3)相等集合：且 (4)真子集：且B中至少有一個元素不屬于A.記作：AB (5)交集： (6)并集： (7)補集： 3. 名師二級結(jié)論： (1) 若有限集有個元素，則的子集有個，真子集有，非空子集有個，非空真子集有個; (2) ，； (3)，; 4. 考點交匯展示： (1)集合與復數(shù)的結(jié)合 例1若集合 （ 是虛數(shù)單位）， ，則 等于 ( ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由已知得，故，故選C． (2)集合與函數(shù)的結(jié)合 例2【2017山東卷】設(shè)函數(shù) 的定義域，函數(shù)y=ln(1-x)的定義域為,則 A. （1,2） B. （1,2] C. （-2,1） D. [-2,1) 【答案】D （3）集合與不等式結(jié)合 例3【2018年理新課標I卷】已知集合，則 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】解不等式得，所以， 所以可以求得，故選B. 【考點分類】 考向一 集合的含義與表示 1.【2018年理數(shù)全國卷II】已知集合，則中元素的個數(shù)為（ ） A. 9 B. 8 C. 5 D. 4 【答案】A 2.用列舉法表示集合：__________． 【答案】 【解析】因為，所以或，或或或，故答案為. 【方法規(guī)律】 1.解決元素與集合的關(guān)系問題，首先要正確理解集合的有關(guān)概念，元素屬不屬于集合，關(guān)鍵就看這個元素是否符合集合中代表元素的特性. 2.集合元素具有三個特征：確定性、互異性、無序性；確定性用來判斷符合什么條件的研究對象可組成集合；互異性是相同元素只寫一次，在解決集合的關(guān)系或運算時，要注意驗證互異性；無序性，即只要元素完全相同的兩個集合是相等集合，與元素的順序無關(guān)，可考慮與數(shù)列的有序性相比較. 【易錯點睛】 1.集合中的元素的確定性和互異性，一是可以作為解題的依據(jù);二可以檢驗所求結(jié)果是否正確. 例.已知集合，，若，求實數(shù)的值. 分析：由于同一集合中的元素不同（互異性），而以上解法中，當時，，分別使集合中出現(xiàn)了相同元素，故應(yīng)舍去，所以只能取. 2.用描述法表示集合時，一定要明確研究的代表元素是什么，如；表示的是由二次函數(shù)的自變量組成的集合，即的定義域；表示的是由二次函數(shù)的函數(shù)值組成的集合，即的值域；表示的是由二次函數(shù)的圖像上的點組成的集合，即的圖像. 例.集合，，則（ ） A. B. C. D. 錯解：由，解得或，選B. 分析：注意到兩個集合中的元素y都是各自函數(shù)的函數(shù)值，因此，應(yīng)是和這兩個函數(shù)的值域的交集，而不是它們的交點.由于，，所以，選C. 考向二 集合間的基本關(guān)系和基本運算 1.【2018年理北京卷】已知集合A={x||x|<2}，B={–2，0，1，2}，則AB= A. {0，1} B. {–1，0，1} C. {–2，0，1，2} D. {–1，0，1，2} 【答案】A 2.【2018屆湖南長郡中學高三月考二】下列集合中，是集合的真子集的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】, 真子集就是比A范圍小的集合; 故選D. 3.【2018年理數(shù)天津卷】設(shè)全集為R，集合，，則 A. B. C. D. 【答案】B 【方法規(guī)律】 1.判斷兩集合的關(guān)系常有兩種方法：一是化簡集合，從表達式中尋找兩集合間的關(guān)系；二是用列舉法表示各集合，從元素中尋找關(guān)系． 2． 在進行集合運算時要盡可能地借助韋恩(Venn)圖和數(shù)軸使抽象問題直觀化．一般地，集合元素離散時用韋恩(Venn)圖表示；集合元素連續(xù)時用數(shù)軸表示． 3.要注意空集的特殊性，空集不含任何元素，空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集. 4.子集與真子集的區(qū)別與聯(lián)系：集合A的真子集一定是其子集，而集合A的子集不一定是其真子集. 【易錯點睛】 1.集合元素連續(xù)時用數(shù)軸表示，用數(shù)軸表示時注意端點值的取舍. 2. 在解題中，若未能指明集合非空時，要考慮空集的可能性，如，則有或兩種可能，此時應(yīng)分類討論. 例.若集合，，且，求實數(shù)m的值. 考向三 以集合為背景探求綜合問題 1.設(shè)、是非空集合，定義， ， ，則________________. 【答案】 【解析】由題意，得： ， ∴， ∴ 【方法規(guī)律】已知兩集合間的關(guān)系求參數(shù)時，關(guān)鍵是將兩集合間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為元素間的關(guān)系，進而轉(zhuǎn)化為參數(shù)滿足的關(guān)系．解決這類問題常常需要合理利用數(shù)軸、Venn圖幫助分析． 【易錯點睛】在解決此類問題時,要注意以下兩點:1.對字母的討論,2.區(qū)間端點的驗證. 例.已知集合，，且，則實數(shù)的求值范圍是 . 【答案】 【解析】（數(shù)形結(jié)合），要使，只需. 分析：要注意“等號”的驗證與取舍 【考點預測】 1．【2018屆遼寧省沈陽市東北育才學校模擬八】已知，，則（ ） A． B． C． D． 【答案】B 2．設(shè)集合，則滿足的集合B的個數(shù)是（ ） A． 2 B． 3 C． 4 D． 5 【答案】C 【解析】 由題意結(jié)合并集的定義可知： 集合B可以為{3，4}，{3，4，1}，{3，4，2}，{3，4，1，2}，共有4個. 本題選擇C選項. 3．【2018屆浙江省諸暨市5月適應(yīng)性考試】已知集合，，全集，則等于（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 由題全集，集合，， ∴， ∴． 故選：D． 4．已知集合，，則（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 5．【2018屆廣東省汕頭市潮南區(qū)5月沖刺】已知全集，集合，，那么=（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 因為全集，集合，， 所以， 又，則（ ， 故選：C． 6.【2018屆廣東省深圳市高考模擬二】設(shè)全集，集合，，則（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 由題得M={x|x>1或x<-1},所以={x|-1≤x≤1}， 所以= 故答案為：B 7．【2018屆海南省瓊海市高考模擬】已知集合，，則（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 8．設(shè)全集，集合，，則（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 9．已知集合,則=（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 由已知， ，故選B. 10．【2018屆黑龍江省仿真模擬（十一）】已知集合，，若，則（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 由題意可得：，則， 據(jù)此可得：，， 故. 本題選擇C選項. 11．【2018屆江蘇省鹽城中學仿真模擬】已知集合，，則___________. 【答案】 【解析】集合，， . 故答案為：. 12．設(shè)集合則 。 【答案】 【解析】，. 13．【2018屆江西省南昌市二輪測試（八）】已知集合，，則__________. 【答案】 14．集合，若，則____． 【答案】0. 【解析】 因為，所以，又，所以，所以． 故答案為：0