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2019-2020年人教B版必修3高中數(shù)學(xué)1.1.1《算法的概念》word教學(xué)案2 【教學(xué)目標(biāo)】： （1） 了解算法的含義，體會算法的思想。 （2） 能夠用自然語言敘述算法。 （3） 掌握正確的算法應(yīng)滿足的要求。 （4） 會寫出解線性方程（組）的算法。 （5） 會寫出一個(gè)求有限整數(shù)序列中的最大值的算法。 【教學(xué)重點(diǎn)】算法的含義、解二元一次方程組和判斷一個(gè)數(shù)為質(zhì)數(shù)的算法設(shè)計(jì)。. 【教學(xué)難點(diǎn)】把自然語言轉(zhuǎn)化為算法語言。. 【學(xué)法與教學(xué)用具】： 學(xué)法： 【教學(xué)過程】 一、本章章頭圖說明 章頭圖體現(xiàn)了中國古代數(shù)學(xué)與現(xiàn)代計(jì)算機(jī)科學(xué)的聯(lián)系，它們的基礎(chǔ)都是“算法”。 算法作為一個(gè)名詞，在中學(xué)教科書中并沒有出現(xiàn)過，我們在基礎(chǔ)教育階段還沒有接觸算法概念。但是我們卻從小學(xué)就開始接觸算法，熟悉許多問題的算法。如，做四則運(yùn)算要先乘除后加減，從里往外脫括弧，豎式筆算等都是算法，至于乘法口訣、珠算口訣更是算法的具體體現(xiàn)。廣義地說，算法就是做某一件事的步驟或程序。菜譜是做菜肴的算法，洗衣機(jī)的使用說明書是操作洗衣機(jī)的算法，歌譜是一首歌曲的算法。在數(shù)學(xué)中，主要研究計(jì)算機(jī)能實(shí)現(xiàn)的算法，即按照某種機(jī)械程序步驟一定可以得到結(jié)果的解決問題的程序。 古代的計(jì)算工具：算籌與算盤. 20世紀(jì)最偉大的發(fā)明：計(jì)算機(jī)，計(jì)算機(jī)是強(qiáng)大的實(shí)現(xiàn)各種算法的工具。 例1：解二元一次方程組： 分析：解二元一次方程組的主要思想是消元的思想，有代入消元和加減消元兩種消元的方法，下面用加減消元法寫出它的求解過程. 解：第一步：② - ①2，得： 5y=3； ③ 第二步：解③得 ； 第三步：將代入①，得 . 學(xué)生探究：對于一般的二元一次方程組來說，上述步驟應(yīng)該怎樣進(jìn)一步完善？ 老師評析：本題的算法是由加減消元法求解的，這個(gè)算法也適合一般的二元一次方程組的解法。下面寫出求方程組的解的算法： 例2：寫出求方程組的解的算法. 解：第一步：②a1 - ①a2，得： ③ 第二步：解③得 ； 第三步：將代入①，得 利用TI-voyage200圖形計(jì)算器演示：（吸引學(xué)生的注意力） 運(yùn)行結(jié)果： （其中輸入a1=1,b1=-2,m1=-1,a2=2 b2=1,m2=1，當(dāng)然可輸入其它數(shù)值) 算法概念： 在數(shù)學(xué)上，現(xiàn)代意義上的“算法”通常是指可以用計(jì)算機(jī)來解決的某一類問題是程序或步驟，這些程序或步驟必須是明確和有效的，而且能夠在有限步之內(nèi)完成. 說明： 1.“算法”沒有一個(gè)精確化的定義，教科書只對它作了描述性的說明. 2. 算法的特點(diǎn): (1)有限性： 一個(gè)算法的步驟序列是有限的，必須在有限操作之后停止，不能是無限的. (2)確定性： 算法中的每一步應(yīng)該是確定的并且能有效地執(zhí)行且得到確定的結(jié)果，而不應(yīng)當(dāng)是模棱兩可. (3)順序性與正確性： 算法從初始步驟開始，分為若干明確的步驟，每一個(gè)步驟只能有一個(gè)確定的后繼步驟，前一步是后一步的前提，只有執(zhí)行完前一步才能進(jìn)行下一步，并且每一步都準(zhǔn)確無誤，才能完成問題. (4)不唯一性： 求解某一個(gè)問題的解法不一定是唯一的，對于一個(gè)問題可以有不同的算法. (5)普遍性： 很多具體的問題，都可以設(shè)計(jì)合理的算法去解決，如心算、計(jì)算器計(jì)算都要經(jīng)過有限、事先設(shè)計(jì)好的步驟加以解決. 例題講評： 例3、任意給定一個(gè)大于1的整數(shù)n，試設(shè)計(jì)一個(gè)程序或步驟對n是否為質(zhì)數(shù)做出判斷. 分析：（1）質(zhì)數(shù)是只能被1和自身整除的大于1的整數(shù). （2）要判斷一個(gè)大于1的整數(shù)n是否為質(zhì)數(shù)，只要根據(jù)質(zhì)數(shù)的定義，用比這個(gè)整數(shù)小的數(shù)去除n，如果它只能被1和本身整除，而不能被其它整數(shù)整除，則這個(gè)數(shù)便是質(zhì)數(shù). 解：算法： 第一步：判斷n是否等于2.若n=2，則n是質(zhì)數(shù)；若n＞2，則執(zhí)行第二步. 第二步：依次從2~（n-1）檢驗(yàn)是不是n的因數(shù)，即整除n的數(shù).若有這樣的數(shù)，則n不是質(zhì)數(shù)；若沒有這樣的數(shù)，則n是質(zhì)數(shù). 說明：本算法是用自然語言的形式描述的.設(shè)計(jì)算法一定要做到以下要求： （1）寫出的算法必須能解決一類問題，并且能夠重復(fù)使用. （2）要使算法盡量簡單、步驟盡量少. （3）要保證算法正確，且計(jì)算機(jī)能夠執(zhí)行. 利用TI-voyage200圖形計(jì)算器演示：(學(xué)生已經(jīng)被吸引住了) 運(yùn)行 例4、.用二分法設(shè)計(jì)一個(gè)求方程的近似根的算法. 分析：該算法實(shí)質(zhì)是求的近似值的一個(gè)最基本的方法. 解：設(shè)所求近似根與精確解的差的絕對值不超過0.005，算法： 第一步：令.因?yàn)?，所以設(shè)x1=1，x2=2. 第二步：令，判斷f（m）是否為0.若是，則m為所求；若否，則繼續(xù)判斷大于0還是小于0. 第三步：若，則x1=m；否則，令x2=m. 第四步：判斷是否成立？若是，則x1、x2之間的任意值均為滿足條件的近似根；若否，則返回第二步. 說明：按以上步驟，我們將依次得到課本第4頁的表1-1和圖1.1-1.于是，開區(qū)間（1.4140625，1.41796875）中的實(shí)數(shù)都滿足假設(shè)條件的原方程是近似根. 利用TI-voyage200圖形計(jì)算器演示： 運(yùn)行結(jié)果： 練習(xí)1： 寫出解方程x2－2x－3＝0的一個(gè)算法。 解：算法1： 第一步：移項(xiàng)，得x2－2x－3＝0； ① 第二步：①式兩邊同加1并配方，得（x－1）2＝4； ② 第三步：②式兩邊開方，得x－1＝2； ③ 第四步：解③得x＝3或x＝－1。 算法2： 第一步：計(jì)算方程的判別式判斷其符號△＝22＋43＝16＞0； 第二步：將a＝1，b＝－2，c＝－3代入求根公式x＝， 得x1＝3，x2＝－1 評析：比較兩種算法，算法2更簡單，步驟少，所以利用公式解決問題是最理想、合算的算法。因此在尋求算法的過程中，首先是利用公式。 下面設(shè)計(jì)一個(gè)求一般的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的算法如下： 第一步：計(jì)算△＝b2＋4ac； 第二步：若△＜0； 第三步：輸出方程無實(shí)根； 第四步：若△≥0； 第五步：計(jì)算并輸出方程根x1,2＝。 練習(xí)2、求1357911的值，寫出其算法。 第一步，先求13，得到結(jié)果3； 第二步，將第一步所得結(jié)果3再乘以5，得到結(jié)果15； 第三步，再將15乘以7，得到結(jié)果105； 第四步，再將105乘以9，得到945； 第五步，再將945乘以11，得到10395，即是最后結(jié)果。 評析：求解某個(gè)問題的算法不同于求解一個(gè)具體問題的方法，算法必須能夠解決一類問題，并且能夠重復(fù)使用；算法過程要能一步一步地執(zhí)行，每一步操作必須確切，能在有限步后得出結(jié)果。 練習(xí)3、有藍(lán)和黑兩個(gè)墨水瓶，但現(xiàn)在卻錯(cuò)把藍(lán)墨水裝在了黑墨水瓶中，黑墨水錯(cuò)裝在了藍(lán)墨水瓶中，要求將其互換，請你設(shè)計(jì)算法解決這一問題。 分析：由于兩個(gè)墨水瓶中的墨水不能直接交換，故可以考慮通過引入第三個(gè)空墨水瓶的辦法進(jìn)行交換。 解：算法步驟如下： 評析：對于這種非數(shù)值性問題的算法設(shè)計(jì)問題，應(yīng)當(dāng)首先建立過程模型，根據(jù)過程設(shè)計(jì)步驟，完成算法。 小結(jié) 1、算法概念和算法的基本思想 （1）算法與一般意義上具體問題的解法的聯(lián)系與區(qū)別； （2）算法的五個(gè)特征。 2、利用算法的思想和方法解決實(shí)際問題，能寫出一此簡單問題的算法 3、兩類算法問題 （1）數(shù)值性計(jì)算問題，如：解方程（或方程組），解不等式（或不等式組），套用公式判斷性的問題，累加，累乘等一類問題的算法描述，可通過相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型借助一般數(shù)學(xué)計(jì)算方法，分解成清晰的步驟，使之條理化即可。 （2）非數(shù)值性計(jì)算問題，如：排序、查找、變量變換、文字處理等需先建立過程模型，通過模型進(jìn)行算法設(shè)計(jì)與描述。 4、利用TI-voyage200圖形計(jì)算器演示時(shí)，開始學(xué)生看，想，探究，然后模范、創(chuàng)新。圖形計(jì)算器為學(xué)生創(chuàng)建一個(gè)自我發(fā)揮的平臺。 作業(yè)： （課本第4頁練習(xí)） 1、任意給定一個(gè)正實(shí)數(shù)，設(shè)計(jì)一個(gè)算法求以這個(gè)數(shù)為半徑的圓的面積. 解：算法步驟： 第一步：輸入任意一個(gè)正實(shí)數(shù)r； 第二步：計(jì)算以r為半徑的圓的面積：； 第三步：輸出圓的面積S. 2、任意給定一個(gè)大于1的正整數(shù)n，設(shè)計(jì)一個(gè)算法求出n的所有因數(shù). 解：算法步驟： 第一步：依次以2～（n-1）為除數(shù)去除n，檢查余數(shù)是否為0.若是，則是n的因數(shù)；若不是，則不是n的因數(shù)； 第二步：在n的因數(shù)中加入1和n； 第三步：輸出n的所有因數(shù). 利用TI-voyage200圖形計(jì)算器演示： 運(yùn)行結(jié)果： （即32的公因數(shù)為1，2，4，8，16，32）