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2019-2020年人教版高中數(shù)學必修三教案：1-1-1 算法的概念 項目 內(nèi)容 課題 1.1.1 算法的概念 （共 1 課時） 修改與創(chuàng)新 教學 目標 1.正確理解算法的概念,掌握算法的基本特點. 2.通過例題教學，使學生體會設(shè)計算法的基本思路. 3.通過有趣的實例使學生了解算法這一概念的同時，激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣. 教學重、 難點 教學重點：算法的含義及應(yīng)用. 教學難點：寫出解決一類問題的算法. 教學 準備 多媒體課件 教學過程 導入新課（情境導入） 一個人帶著三只狼和三只羚羊過河，只有一條船，同船可容納一個人和兩只動物，沒有人在的時候，如果狼的數(shù)量不少于羚羊的數(shù)量狼就會吃羚羊.該人如何將動物轉(zhuǎn)移過河？請同學們寫出解決問題的步驟，解決這一問題將要用到我們今天學習的內(nèi)容——算法. 推進新課 新知探究 提出問題 （1）解二元一次方程組有幾種方法？ （2）結(jié)合教材實例總結(jié)用加減消元法解二元一次方程組的步驟. （3）結(jié)合教材實例總結(jié)用代入消元法解二元一次方程組的步驟. （4）請寫出解一般二元一次方程組的步驟. （5）根據(jù)上述實例談?wù)勀銓λ惴ǖ睦斫? （6）請同學們總結(jié)算法的特征. （7）請思考我們學習算法的意義. 討論結(jié)果： （1）代入消元法和加減消元法. （2）回顧二元一次方程組 的求解過程，我們可以歸納出以下步驟： 第一步，①+②2，得5x=1.③ 第二步，解③，得x=. 第三步，②-①2，得5y=3.④ 第四步，解④，得y=. 第五步，得到方程組的解為 (3)用代入消元法解二元一次方程組 我們可以歸納出以下步驟： 第一步，由①得x=2y－1.③ 第二步，把③代入②，得2(2y－1)+y=1.④ 第三步，解④得y=.⑤ 第四步，把⑤代入③，得x=2－1=. 第五步，得到方程組的解為 (4)對于一般的二元一次方程組 其中a1b2－a2b1≠0,可以寫出類似的求解步驟： 第一步，①b2-②b1，得 （a1b2－a2b1）x=b2c1－b1c2.③ 第二步，解③，得x=. 第三步，②a1-①a2，得（a1b2－a2b1）y=a1c2－a2c1.④ 第四步，解④，得y=. 第五步，得到方程組的解為 (5)算法的定義：廣義的算法是指完成某項工作的方法和步驟，那么我們可以說洗衣機的使用說明書是操作洗衣機的算法，菜譜是做菜的算法等等. 在數(shù)學中，算法通常是指按照一定規(guī)則解決某一類問題的明確有限的步驟. 現(xiàn)在，算法通常可以編成計算機程序，讓計算機執(zhí)行并解決問題. (6)算法的特征：①確定性：算法的每一步都應(yīng)當做到準確無誤、不重不漏.“不重”是指不是可有可無的，甚至無用的步驟，“不漏” 是指缺少哪一步都無法完成任務(wù).②邏輯性：算法從開始的“第一步”直到“最后一步”之間做到環(huán)環(huán)相扣，分工明確，“前一步”是“后一步”的前提， “后一步”是“前一步”的繼續(xù).③有窮性：算法要有明確的開始和結(jié)束，當?shù)竭_終止步驟時所要解決的問題必須有明確的結(jié)果，也就是說必須在有限步內(nèi)完成任務(wù)，不能無限制地持續(xù)進行. (7)在解決某些問題時，需要設(shè)計出一系列可操作或可計算的步驟來解決問題，這些步驟稱為解決這些問題的算法.也就是說，算法實際上就是解決問題的一種程序性方法.算法一般是機械的，有時需進行大量重復的計算，它的優(yōu)點是一種通法，只要按部就班地去做，總能得到結(jié)果.因此算法是計算科學的重要基礎(chǔ). 應(yīng)用示例 例1 （1）設(shè)計一個算法，判斷7是否為質(zhì)數(shù). （2）設(shè)計一個算法，判斷35是否為質(zhì)數(shù). 算法分析：（1）根據(jù)質(zhì)數(shù)的定義，可以這樣判斷：依次用2—6除7，如果它們中有一個能整除7，則7不是質(zhì)數(shù)，否則7是質(zhì)數(shù). 算法如下：（1）第一步，用2除7，得到余數(shù)1.因為余數(shù)不為0，所以2不能整除7. 第二步，用3除7，得到余數(shù)1.因為余數(shù)不為0，所以3不能整除7. 第三步，用4除7，得到余數(shù)3.因為余數(shù)不為0，所以4不能整除7. 第四步，用5除7，得到余數(shù)2.因為余數(shù)不為0，所以5不能整除7. 第五步，用6除7，得到余數(shù)1.因為余數(shù)不為0，所以6不能整除7.因此，7是質(zhì)數(shù). （2）類似地，可寫出“判斷35是否為質(zhì)數(shù)”的算法：第一步，用2除35，得到余數(shù)1.因為余數(shù)不為0，所以2不能整除35. 第二步，用3除35，得到余數(shù)2.因為余數(shù)不為0，所以3不能整除35. 第三步，用4除35，得到余數(shù)3.因為余數(shù)不為0，所以4不能整除35. 第四步，用5除35，得到余數(shù)0.因為余數(shù)為0，所以5能整除35.因此，35不是質(zhì)數(shù). 點評：上述算法有很大的局限性，用上述算法判斷35是否為質(zhì)數(shù)還可以，如果判斷1997是否為質(zhì)數(shù)就麻煩了，因此，我們需要尋找普適性的算法步驟. 變式訓練 請寫出判斷n(n>2)是否為質(zhì)數(shù)的算法. 分析：對于任意的整數(shù)n(n>2)，若用i表示2—(n-1)中的任意整數(shù)，則“判斷n是否為質(zhì)數(shù)”的算法包含下面的重復操作：用i除n,得到余數(shù)r.判斷余數(shù)r是否為0，若是，則不是質(zhì)數(shù)；否則，將i的值增加1，再執(zhí)行同樣的操作. 這個操作一直要進行到i的值等于(n-1)為止. 算法如下：第一步，給定大于2的整數(shù)n. 第二步，令i=2. 第三步，用i除n,得到余數(shù)r. 第四步，判斷“r=0”是否成立.若是，則n不是質(zhì)數(shù)，結(jié)束算法；否則，將i的值增加1，仍用i表示. 第五步，判斷“i＞（n-1）”是否成立.若是，則n是質(zhì)數(shù)，結(jié)束算法；否則，返回第三步. 例2 寫出用“二分法”求方程x2-2=0 (x>0)的近似解的算法. 分析：令f(x)=x2-2,則方程x2-2=0 (x>0)的解就是函數(shù)f(x)的零點. “二分法”的基本思想是：把函數(shù)f(x)的零點所在的區(qū)間［a,b］(滿足f(a)f(b)<0）“一分為二”，得到［a,m］和［m,b］.根據(jù)“f(a)f(m)<0”是否成立，取出零點所在的區(qū)間［a,m］或［m,b］，仍記為［a,b］.對所得的區(qū)間［a,b］重復上述步驟，直到包含零點的區(qū)間［a,b］“足夠小”，則［a,b］內(nèi)的數(shù)可以作為方程的近似解. 解：第一步，令f(x)=x2-2,給定精確度d. 第二步，確定區(qū)間［a,b］，滿足f(a)f(b)<0. 第三步，取區(qū)間中點m=. 第四步，若f(a)f(m)<0，則含零點的區(qū)間為［a,m］；否則，含零點的區(qū)間為［m,b］.將新得到的含零點的區(qū)間仍記為［a,b］. 第五步，判斷［a,b］的長度是否小于d或f(m）是否等于0.若是，則m是方程的近似解；否則，返回第三步. 當d=0.005時，按照以上算法，可以得到下表. a b |a-b| 1 2 1 1 1.5 0.5 1.25 1.5 0.25 1.375 1.5 0.125 1.375 1.437 5 0.062 5 1.406 25 1.437 5 0.031 25 1.406 25 1.421 875 0.015 625 1.414 062 5 1.421 875 0.007 812 5 1.414 062 5 1.417 968 75 0.003 906 25 于是，開區(qū)間（1.414 062 5,1.417 968 75）中的實數(shù)都是當精確度為0.005時的原方程的近似解.實際上，上述步驟也是求的近似值的一個算法. 點評：算法一般是機械的，有時需要進行大量的重復計算，只要按部就班地去做，總能算出結(jié)果，通常把算法過程稱為“數(shù)學機械化”.數(shù)學機械化的最大優(yōu)點是它可以借助計算機來完成，實際上處理任何問題都需要算法.如：中國象棋有中國象棋的棋譜、走法、勝負的評判準則；而國際象棋有國際象棋的棋譜、走法、勝負的評判準則；再比如申請出國有一系列的先后手續(xù)，購買物品也有相關(guān)的手續(xù)…… 知能訓練 設(shè)計算法判斷一元二次方程ax2+bx+c=0是否有實數(shù)根. 解：算法步驟如下： 第一步，輸入一元二次方程的系數(shù)：a，b，c. 第二步，計算Δ=b2－4ac的值. 第三步，判斷Δ≥0是否成立.若Δ≥0成立，輸出“方程有實根”；否則輸出“方程無實根”，結(jié)束算法. 點評：用算法解決問題的特點是：具有很好的程序性，是一種通法.并且具有確定性、邏輯性、有窮性.讓我們結(jié)合例題仔細體會算法的特點. 拓展提升 中國網(wǎng)通規(guī)定：撥打市內(nèi)電話時，如果不超過3分鐘，則收取話費0.22元；如果通話時間超過3分鐘，則超出部分按每分鐘0.1元收取通話費，不足一分鐘按一分鐘計算.設(shè)通話時間為t（分鐘），通話費用y（元），如何設(shè)計一個程序，計算通話的費用. 解：算法分析： 數(shù)學模型實際上為：y關(guān)于t的分段函數(shù). 關(guān)系式如下： y= 其中［t－3］表示取不大于t－3的整數(shù)部分. 算法步驟如下： 第一步，輸入通話時間t. 第二步，如果t≤3，那么y=0.22；否則判斷t∈Z 是否成立，若成立執(zhí)行 y=0.2+0.1(t－3)；否則執(zhí)行y=0.2+0.1（［t－3］+1）. 第三步，輸出通話費用c. 課堂小結(jié) （1）正確理解算法這一概念. (2)結(jié)合例題掌握算法的特點，能夠?qū)懗龀Ｒ妴栴}的算法. 作業(yè) 課本本節(jié)練習1、2. 板書設(shè)計 算法的概念 1.算法 例1 例2 教學反思 本節(jié)的引入精彩獨特，讓學生在感興趣的故事里進入本節(jié)的學習.算法是本章的重點也是本章的基礎(chǔ)，是一個較難理解的概念.為了讓學生正確理解這一概念，本節(jié)設(shè)置了大量學生熟悉的事例，讓學生仔細體會反復訓練.本節(jié)的事例有古老的經(jīng)典算法，有幾何算法等，因此這是一節(jié)很好的課例.