2019-2020年人教版高中數(shù)學(xué)必修三教案：2-2-2 用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征.doc
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2019-2020年人教版高中數(shù)學(xué)必修三教案：2-2-2 用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征 項(xiàng)目 內(nèi)容 課題 2.2.2 用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征 （共 2 課時(shí)） 修改與創(chuàng)新 教學(xué) 目標(biāo) 1.能利用頻率分布直方圖估計(jì)總體的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)；能用樣本的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)估計(jì)總體的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù),并結(jié)合實(shí)際,對(duì)問(wèn)題作出合理判斷,制定解決問(wèn)題的有效方法；初步體會(huì)、領(lǐng)悟“用數(shù)據(jù)說(shuō)話(huà)”的統(tǒng)計(jì)思想方法；通過(guò)對(duì)有關(guān)數(shù)據(jù)的搜集、整理、分析、判斷，培養(yǎng)學(xué)生“實(shí)事求是”的科學(xué)態(tài)度和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)墓ぷ髯黠L(fēng). 2.正確理解樣本數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差的意義和作用,學(xué)會(huì)計(jì)算數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差；能根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的需要合理地選取樣本,從樣本數(shù)據(jù)中提取基本的數(shù)字特征（如平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差）,并作出合理的解釋?zhuān)粫?huì)用樣本的基本數(shù)字特征估計(jì)總體的基本數(shù)字特征，形成對(duì)數(shù)據(jù)處理過(guò)程進(jìn)行初步評(píng)價(jià)的意識(shí). 3.在解決統(tǒng)計(jì)問(wèn)題的過(guò)程中,進(jìn)一步體會(huì)用樣本估計(jì)總體的思想,理解數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想和邏輯推理的數(shù)學(xué)方法；會(huì)用隨機(jī)抽樣的方法和樣本估計(jì)總體的思想解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題,認(rèn)識(shí)統(tǒng)計(jì)的作用,能夠辨證地理解數(shù)學(xué)知識(shí)與現(xiàn)實(shí)世界的聯(lián)系. 教學(xué)重、 難點(diǎn) 教學(xué)重點(diǎn)：根據(jù)實(shí)際問(wèn)題對(duì)樣本數(shù)據(jù)中提取基本的數(shù)據(jù)特征并作出合理解釋,估計(jì)總體的基本數(shù)字特征；體會(huì)樣本數(shù)字特征具有隨機(jī)性. 教學(xué)難點(diǎn)：用樣本平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差；能應(yīng)用相關(guān)知識(shí)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題. 教學(xué) 準(zhǔn)備 多媒體課件 教學(xué)過(guò)程 第1課時(shí) 眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù) 導(dǎo)入新課 思路1 在一次射擊比賽中,甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員各射擊10次,命中環(huán)數(shù)如下﹕ 甲運(yùn)動(dòng)員:7,8,6,8,6,5,8,10,7,4； 乙運(yùn)動(dòng)員:9,5,7,8,7,6,8,6,7,7. 觀察上述樣本數(shù)據(jù),你能判斷哪個(gè)運(yùn)動(dòng)員發(fā)揮得更穩(wěn)定些嗎？為了從整體上更好地把握總體的規(guī)律,我們要通過(guò)樣本的數(shù)據(jù)對(duì)總體的數(shù)字特征進(jìn)行研究.——用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征.(板書(shū)課題) 思路2 在日常生活中,我們往往并不需要了解總體的分布形態(tài),而是更關(guān)心總體的某一數(shù)字特征,例如：買(mǎi)燈泡時(shí),我們希望知道燈泡的平均使用壽命,我們?cè)鯓恿私鉄襞莸氖褂脡勖?？?dāng)然不能把所有燈泡一一測(cè)試,因?yàn)闇y(cè)試后燈泡則報(bào)廢了.于是,需要通過(guò)隨機(jī)抽樣,把這批燈泡的壽命看作總體,從中隨機(jī)取出若干個(gè)個(gè)體作為樣本,算出樣本的數(shù)字特征,用樣本的數(shù)字特征來(lái)估計(jì)總體的數(shù)字特征. 推進(jìn)新課 新知探究 提出問(wèn)題 (1)什么是眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)？ (1)如何繪制頻率分布直方圖？ (3)如何從頻率分布直方圖中估計(jì)眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)？ 活動(dòng):那么學(xué)生回憶初中所學(xué)的一些統(tǒng)計(jì)知識(shí),思考后展開(kāi)討論,教師提示引導(dǎo). 討論結(jié)果： (1)初中我們?cè)?jīng)學(xué)過(guò)眾數(shù)（在一組數(shù)據(jù)中,出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)稱(chēng)為眾數(shù)）、中位數(shù)（在按大小順序排列的一組數(shù)據(jù)中,居于中間的數(shù)稱(chēng)為中位數(shù)）、平均數(shù)（一般是一組數(shù)據(jù)和的算術(shù)平均數(shù)）等各種數(shù)字特征,應(yīng)當(dāng)說(shuō),這些數(shù)字都能夠?yàn)槲覀兲峁╆P(guān)于樣本數(shù)據(jù)的特征信息. (2)畫(huà)頻率分布直方圖的一般步驟為：計(jì)算一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差,即求極差；決定組距與組數(shù)；將數(shù)據(jù)分組；列頻率分布表；畫(huà)頻率分布直方圖. (3)教材前面一節(jié)在調(diào)查100位居民的月均用水量的問(wèn)題中,從這些樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖可以看出,月均用水量的眾數(shù)是2.25 t（最高的矩形的中點(diǎn)）,它告訴我們,該市的月均用水量為2.25 t的居民數(shù)比月均用水量為其他值的居民數(shù)多,但它并沒(méi)有告訴我們到底多多少. 請(qǐng)大家翻回到課本看看原來(lái)抽樣的數(shù)據(jù),有沒(méi)有2.25 這個(gè)數(shù)值呢？根據(jù)眾數(shù)的定義,2.25怎么會(huì)是眾數(shù)呢？為什么？（請(qǐng)大家思考作答） 分析：這是因?yàn)闃颖緮?shù)據(jù)的頻率分布直方圖把原始的一些數(shù)據(jù)給遺失了,而2.25是由樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖得來(lái)的,所以存在一些偏差. 提問(wèn)：那么如何從頻率分布直方圖中估計(jì)中位數(shù)呢？ 分析：在樣本數(shù)據(jù)中,有50%的個(gè)體小于或等于中位數(shù),也有50%的個(gè)體大于或等于中位數(shù).因此,在頻率分布直方圖中,矩形的面積大小正好表示頻率的大小,即中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應(yīng)該相等.由此可以估計(jì)出中位數(shù)的值為2.02. 思考：2.02這個(gè)中位數(shù)的估計(jì)值,與樣本的中位數(shù)值2.0不一樣,你能解釋其中的原因嗎？（原因同上：樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖把原始的一些數(shù)據(jù)給遺失了） 課本顯示,大部分居民的月均用水量在中部（2.02 t左右）,但是也有少數(shù)居民的月均用水量特別高,顯然,對(duì)這部分居民的用水量作出限制是非常合理的. 思考：中位數(shù)不受少數(shù)幾個(gè)極端值的影響,這在某些情況下是一個(gè)優(yōu)點(diǎn),但是它對(duì)極端值的不敏感有時(shí)也會(huì)成為缺點(diǎn),你能舉例說(shuō)明嗎？（讓學(xué)生討論,并舉例） 對(duì)極端值不敏感有利的例子：考察課本中表21中的數(shù)據(jù),如果把最后一個(gè)數(shù)據(jù)錯(cuò)寫(xiě)成22,并不會(huì)對(duì)樣本中位數(shù)產(chǎn)生影響.也就是說(shuō)對(duì)極端數(shù)據(jù)不敏感的方法能夠有效地預(yù)防錯(cuò)誤數(shù)據(jù)的影響,而在實(shí)際應(yīng)用中,人為操作的失誤經(jīng)常造成錯(cuò)誤數(shù)據(jù). 對(duì)極端值不敏感有弊的例子:某人具有初級(jí)計(jì)算機(jī)專(zhuān)業(yè)技術(shù)水平,想找一份收入好的工作,這時(shí)如果采用各個(gè)公司計(jì)算機(jī)專(zhuān)業(yè)技術(shù)人員收入的中位數(shù)作為選擇工作的參考指標(biāo)就會(huì)冒這樣的風(fēng)險(xiǎn):很可能所選擇公司的初級(jí)計(jì)算機(jī)專(zhuān)業(yè)技術(shù)水平人員的收入很低,其原因是中位數(shù)對(duì)極小的數(shù)據(jù)不敏感.這里更好的方法是同時(shí)用平均工資和中位數(shù)來(lái)作為參考指標(biāo),選擇平均工資較高且中位數(shù)較大的公司就業(yè).對(duì)極端值不敏感的方法,不能反映數(shù)據(jù)中的極端情況. 同樣的,可以從頻率分布直方圖中估計(jì)平均數(shù),上圖就顯示了居民用水的平均數(shù),它等于頻率分布直方圖中每個(gè)小矩形的面積乘以小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和.由估計(jì)可知,居民的月均用水量的平均值為2.02 t. 顯示了居民月均用水量的平均數(shù),它是頻率分布直方圖的“重心”.由于平均數(shù)與每一個(gè)樣本數(shù)據(jù)有關(guān),所以,任何一個(gè)樣本數(shù)據(jù)的改變都會(huì)引起平均數(shù)的改變.這是中位數(shù)、眾數(shù)都不具有的性質(zhì).也正因?yàn)檫@個(gè)原因,與眾數(shù)、中位數(shù)比較起來(lái),平均數(shù)可以反映出更多的關(guān)于樣本數(shù)據(jù)全體的信息.從圖上可以看出,用水量最多的幾個(gè)居民對(duì)平均數(shù)影響較大,這是因?yàn)樗麄兊脑戮盟颗c平均數(shù)相差太多了. 利用頻率分布直方圖估計(jì)眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)： 估計(jì)眾數(shù)：頻率分布直方圖面積最大的方條的橫軸中點(diǎn)數(shù)字.（最高矩形的中點(diǎn)） 估計(jì)中位數(shù)：中位數(shù)把頻率分布直方圖分成左右兩邊面積相等. 估計(jì)平均數(shù)：頻率分布直方圖中每個(gè)小矩形的面積乘以小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和. 總之,眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)都是對(duì)數(shù)據(jù)中心位置的描述,可以作為總體相應(yīng)特征的估計(jì).樣本眾數(shù)易計(jì)算,但只能表達(dá)樣本數(shù)據(jù)中的很少一部分信息,不一定唯一；中位數(shù)僅利用了數(shù)據(jù)中排在中間數(shù)據(jù)的信息,與數(shù)據(jù)的排列位置有關(guān)；平均數(shù)受樣本中的每一個(gè)數(shù)據(jù)的影響,絕對(duì)值越大的數(shù)據(jù),對(duì)平均數(shù)的影響也越大．三者相比,平均數(shù)代表了數(shù)據(jù)更多的信息,描述了數(shù)據(jù)的平均水平,是一組數(shù)據(jù)的“重心”. 應(yīng)用示例 例1 （1）若M個(gè)數(shù)的平均數(shù)是X,N個(gè)數(shù)的平均數(shù)是Y,則這M+N個(gè)數(shù)的平均數(shù)是___________； （2）如果兩組數(shù)x1,x2,…,xn和y1,y2,…,yn的樣本平均數(shù)分別是x和y,那么一組數(shù)x1+y1,x2+y2,…,xn+yn的平均數(shù)是___________． 活動(dòng)：學(xué)生思考或交流,教師提示,根據(jù)平均數(shù)的定義得到結(jié)論. 解：（1）； （2）. 例2 某校高一年級(jí)的甲、乙兩個(gè)班級(jí)（均為50人）的語(yǔ)文測(cè)試成績(jī)?nèi)缦拢偡郑?50分）,試確定這次考試中,哪個(gè)班的語(yǔ)文成績(jī)更好一些． 甲班： 112 86 106 84 100 105 98 102 94 107 87 112 94 94 99 90 120 98 95 119 108 100 96 115 111 104 95 108 111 105 104 107 119 107 93 102 98 112 112 99 92 102 93 84 94 94 100 90 84 114 乙班： 116 95 109 96 106 98 108 99 110 103 94 98 105 101 115 104 112 101 113 96 108 100 110 98 107 87 108 106 103 97 107 106 111 121 97 107 114 122 101 107 107 111 114 106 104 104 95 111 111 110 分析：我們可用一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)衡量這組數(shù)據(jù)的集中水平,因此,分別求出甲、乙兩個(gè)班的平均分即可． 解：用計(jì)算器分別求出甲班的平均分為101.1,乙班的平均分為105.4,故這次考試乙班成績(jī)要好于甲班． 知能訓(xùn)練 從甲、乙兩個(gè)公司各隨機(jī)抽取50名員工月工資： 甲公司： 800 800 800 800 800 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 0001 2001 2001 200 1 200 1 200 1 200 1 200 1 200 1 200 1 200 1 200 1 200 1 200 1 200 1 200 1 200 1 200 1 200 1 200 1 200 1 500 1 500 1 500 1 500 1 500 1 500 1 500 2 000 2 000 2 000 2 000 2 000 2 500 2 500 2 500 乙公司： 700 700 700 700 700 700 700 700 700 700 700 700 700 700 700 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 6 000 8 000 10 000 試計(jì)算這兩個(gè)公司50名員工月工資平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù),并估計(jì)這兩個(gè)企業(yè)員工平均工資. 答案：甲公司：?jiǎn)T工月工資平均數(shù)1 240,眾數(shù)1 200,中位數(shù)1 200； 乙公司：?jiǎn)T工月工資平均數(shù)1 330,眾數(shù)1 000,中位數(shù)1 000；從總體上看乙公司員工月工資比甲公司少,原因是乙公司有幾個(gè)收入特高的員工影響了工資平均數(shù). 拓展提升 “用數(shù)據(jù)說(shuō)話(huà)”, 這是我們經(jīng)?？梢月?tīng)到的一句話(huà).但是,數(shù)據(jù)有時(shí)也會(huì)被利用,從而產(chǎn)生誤導(dǎo).例如,一個(gè)企業(yè)中,絕大多數(shù)是一線工人,他們的年收入可能是一萬(wàn)元左右,另有一些經(jīng)理層次的人,年收入可以達(dá)到幾十萬(wàn)元.這時(shí),年收入的平均數(shù)會(huì)比中位數(shù)大得多.盡管這時(shí)中位數(shù)比平均數(shù)更合理些,但是這個(gè)企業(yè)的老板到人力市場(chǎng)去招聘工人時(shí),也許更可能用平均數(shù)來(lái)回答有關(guān)工資待遇方面的提問(wèn). 你認(rèn)為“我們單位的收入水平比別的單位高”這句話(huà)應(yīng)當(dāng)怎么解釋? 這句話(huà)的目的是謹(jǐn)防利用人們對(duì)統(tǒng)計(jì)術(shù)語(yǔ)的模糊認(rèn)識(shí)進(jìn)行誤導(dǎo)(蒙騙).使學(xué)生能夠正確理解在日常生活中像“我們單位的收入水平比別的單位高”這類(lèi)話(huà)的模糊性,這里的“收入水平”是指員工收入數(shù)據(jù)的某個(gè)中心點(diǎn),即可以是中位數(shù)、平均數(shù)或眾數(shù),不同的解釋有不同的含義. 在這里應(yīng)該注意以下幾點(diǎn): 1.樣本眾數(shù)通常用來(lái)表示分類(lèi)變量的中心值,容易計(jì)算,但是它只能表達(dá)樣本數(shù)據(jù)中的很少一部分信息,通常用于描述分類(lèi)變量的中心位置. 2.中位數(shù)不受少數(shù)幾個(gè)極端數(shù)據(jù)(即排序靠前或排序靠后的數(shù)據(jù))的影響,容易計(jì)算,它僅利用了數(shù)據(jù)中排在中間數(shù)據(jù)的信息.當(dāng)樣本數(shù)據(jù)質(zhì)量比較差,即存在一些錯(cuò)誤數(shù)據(jù)(如數(shù)據(jù)的錄入錯(cuò)誤、測(cè)量錯(cuò)誤等)時(shí),應(yīng)該用抗極端數(shù)據(jù)強(qiáng)的中位數(shù)表示數(shù)據(jù)的中心值,可以利用計(jì)算機(jī)模擬樣本,向?qū)W生展示錯(cuò)誤數(shù)據(jù)對(duì)樣本中位數(shù)的影響程度. 3.平均數(shù)受樣本中的每一個(gè)數(shù)據(jù)的影響,“越離群”的數(shù)據(jù),對(duì)平均數(shù)的影響也越大.與眾數(shù)和中位數(shù)相比,平均數(shù)代表了數(shù)據(jù)更多的信息.當(dāng)樣本數(shù)據(jù)質(zhì)量比較差時(shí),使用平均數(shù)描述數(shù)據(jù)的中心位置可能與實(shí)際情況產(chǎn)生較大的誤差.可以利用計(jì)算機(jī)模擬樣本,向?qū)W生展示錯(cuò)誤數(shù)據(jù)對(duì)樣本平均數(shù)的影響程度.在體育、文藝等各種比賽的評(píng)分中,使用的是平均數(shù).計(jì)分過(guò)程中采用“去掉一個(gè)最高分,去掉一個(gè)最低分”的方法,就是為了防止個(gè)別裁判的人為因素而給出過(guò)高或過(guò)低的分?jǐn)?shù)對(duì)選手的得分造成較大的影響,從而降低誤差,盡量保證公平性. 4.如果樣本平均數(shù)大于樣本中位數(shù),說(shuō)明數(shù)據(jù)中存在許多較大的極端值;反之,說(shuō)明數(shù)據(jù)中存在許多較小的極端值.在實(shí)際應(yīng)用中,如果同時(shí)知道樣本中位數(shù)和樣本平均數(shù),可以使我們了解樣本數(shù)據(jù)中極端數(shù)據(jù)的信息,幫助我們作出決策. 5.使用者常根據(jù)自己的利益去選取使用中位數(shù)或平均數(shù)來(lái)描述數(shù)據(jù)的中心位置,從而產(chǎn)生一些誤導(dǎo)作用. 課堂小結(jié) 1．能根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的需要合理地選取樣本,從樣本數(shù)據(jù)中提取基本的數(shù)字特征（平均數(shù)）,會(huì)用樣本的基本數(shù)字特征估計(jì)總體的基本數(shù)字特征； 2．平均數(shù)對(duì)數(shù)據(jù)有“取齊”的作用,代表一組數(shù)據(jù)的平均水平； 3．形成對(duì)數(shù)據(jù)處理過(guò)程進(jìn)行初步評(píng)價(jià)的意識(shí)． 作業(yè) 習(xí)題2.2A組3. 第2課時(shí) 標(biāo)準(zhǔn)差 導(dǎo)入新課 在一次射擊選拔比賽中,甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員各射擊10次,命中環(huán)數(shù)如下﹕ 甲運(yùn)動(dòng)員:7,8,7,9,5,4,9,10,7,4； 乙運(yùn)動(dòng)員:9,5,7,8,7,6,8,6,7,7. 觀察上述樣本數(shù)據(jù),你能判斷哪個(gè)運(yùn)動(dòng)員發(fā)揮得更穩(wěn)定些嗎？如果你是教練,選哪位選手去參加正式比賽？ 我們知道,x甲=7，x乙=7.兩個(gè)人射擊的平均成績(jī)是一樣的.那么,是否兩個(gè)人就沒(méi)有水平差距呢？ 從上圖直觀上看,還是有差異的.很明顯,甲的成績(jī)比較分散,乙的成績(jī)相對(duì)集中,因此我們從另外的角度來(lái)考察這兩組數(shù)據(jù)——標(biāo)準(zhǔn)差. 推進(jìn)新課 新知探究 提出問(wèn)題 (1)如何通過(guò)頻率分布直方圖估計(jì)數(shù)字特征（中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)）？ (2)有甲、乙兩種鋼筋,現(xiàn)從中各抽取一個(gè)標(biāo)本（如下表）檢查它們的抗拉強(qiáng)度（單位：kg/mm2）,通過(guò)計(jì)算發(fā)現(xiàn),兩個(gè)樣本的平均數(shù)均為125. 甲 110 120 130 125 120 125 135 125 135 125 乙 115 100 125 130 115 125 125 145 125 145 哪種鋼筋的質(zhì)量較好？ (3)某種子公司為了在當(dāng)?shù)赝菩袃煞N新水稻品種,對(duì)甲、乙兩種水稻進(jìn)行了連續(xù)7年的種植對(duì)比實(shí)驗(yàn),年畝產(chǎn)量分別如下:(千克) 甲：600, 880, 880, 620, 960, 570, 900(平均773) 乙：800, 860, 850, 750, 750, 800, 700(平均787) 請(qǐng)你用所學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)的知識(shí),說(shuō)明選擇哪種品種推廣更好? (4)全面建設(shè)小康社會(huì)是我們黨和政府的工作重心,某市按當(dāng)?shù)匚飪r(jià)水平計(jì)算,人均年收入達(dá)到1.5萬(wàn)元的家庭即達(dá)到小康生活水平.民政局對(duì)該市100戶(hù)家庭進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計(jì),它們的人均收入達(dá)到了1.6萬(wàn)元,民政局即宣布該市民生活水平已達(dá)到小康水平,你認(rèn)為這樣的結(jié)論是否符合實(shí)際? (5)如何考查樣本數(shù)據(jù)的分散程度的大小呢?把數(shù)據(jù)在坐標(biāo)系中刻畫(huà)出來(lái),是否能直觀地判斷數(shù)據(jù)的離散程度? 討論結(jié)果： (1)利用頻率分布直方圖估計(jì)眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)： 估計(jì)眾數(shù)：頻率分布直方圖面積最大的方條的橫軸中點(diǎn)數(shù)字.（最高矩形的中點(diǎn)） 估計(jì)中位數(shù)：中位數(shù)把頻率分布直方圖分成左右兩邊面積相等. 估計(jì)平均數(shù)：頻率分布直方圖中每個(gè)小矩形的面積乘以小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和. (2) 由上圖可以看出,乙樣本的最小值100低于甲樣本的最小值110,乙樣本的最大值145高于甲樣本的最大值135,這說(shuō)明乙種鋼筋沒(méi)有甲種鋼筋的抗拉強(qiáng)度穩(wěn)定. 我們把一組數(shù)據(jù)的最大值與最小值的差稱(chēng)為極差（range）.由上圖可以看出,乙的極差較大,數(shù)據(jù)點(diǎn)較分散；甲的極差小,數(shù)據(jù)點(diǎn)較集中,這說(shuō)明甲比乙穩(wěn)定.運(yùn)用極差對(duì)兩組數(shù)據(jù)進(jìn)行比較,操作簡(jiǎn)單方便,但如果兩組數(shù)據(jù)的集中程度差異不大時(shí),就不容易得出結(jié)論. (3)選擇的依據(jù)應(yīng)該是,產(chǎn)量高且穩(wěn)產(chǎn)的品種,所以選擇乙更為合理. (4)不符合實(shí)際. 樣本太小,沒(méi)有代表性.若樣本里有個(gè)別高收入者與多數(shù)低收入者差別太大.在統(tǒng)計(jì)學(xué)里,對(duì)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的分析,需要結(jié)合實(shí)際,側(cè)重于考察總體的相關(guān)數(shù)據(jù)特征.比如,市民平均收入問(wèn)題,都是考察數(shù)據(jù)的分散程度. (5)把問(wèn)題(3)中的數(shù)據(jù)在坐標(biāo)系中刻畫(huà)出來(lái).我們可以很直觀地知道,乙組數(shù)據(jù)比甲組數(shù)據(jù)更集中在平均數(shù)的附近,即乙的分散程度小, 如何用數(shù)字去刻畫(huà)這種分散程度呢? 考察樣本數(shù)據(jù)的分散程度的大小,最常用的統(tǒng)計(jì)量是方差和標(biāo)準(zhǔn)差. 標(biāo)準(zhǔn)差： 考察樣本數(shù)據(jù)的分散程度的大小,最常用的統(tǒng)計(jì)量是標(biāo)準(zhǔn)差(standard deviation).標(biāo)準(zhǔn)差是樣本數(shù)據(jù)到平均數(shù)的一種平均距離,一般用s表示. 所謂“平均距離”,其含義可作如下理解: 假設(shè)樣本數(shù)據(jù)是x1,x2,…,xn,表示這組數(shù)據(jù)的平均數(shù).xi到的距離是|xi-|(i=1,2,…,n). 于是,樣本數(shù)據(jù)x1,x2,…,xn到的“平均距離”是S=. 由于上式含有絕對(duì)值,運(yùn)算不太方便,因此,通常改用如下公式來(lái)計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差: s=. 意義：標(biāo)準(zhǔn)差用來(lái)表示穩(wěn)定性,標(biāo)準(zhǔn)差越大,數(shù)據(jù)的離散程度就越大,也就越不穩(wěn)定.標(biāo)準(zhǔn)差越小,數(shù)據(jù)的離散程度就越小,也就越穩(wěn)定.從標(biāo)準(zhǔn)差的定義可以看出,標(biāo)準(zhǔn)差s≥0,當(dāng)s=0時(shí),意味著所有的樣本數(shù)據(jù)都等于樣本平均數(shù). 標(biāo)準(zhǔn)差還可以用于對(duì)樣本數(shù)據(jù)的另外一種解釋.例如, 在關(guān)于居民月均用水量的例子中,平均數(shù)=1.973，標(biāo)準(zhǔn)差s=0.868，所以 +s=2.841,+2s=3.709； -s=1.105,-2s=0.237. 這100個(gè)數(shù)據(jù)中，在區(qū)間［-2s,+2s］=［0.237, 3.709］外的只有4個(gè)，也就是說(shuō)，［-2s, +2s］幾乎包含了所有樣本數(shù)據(jù). 從數(shù)學(xué)的角度考慮，人們有時(shí)用標(biāo)準(zhǔn)差的平方s2——方差來(lái)代替標(biāo)準(zhǔn)差，作為測(cè)量樣本數(shù)據(jù)分散程度的工具： s2=［(x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2］. 顯然，在刻畫(huà)樣本數(shù)據(jù)的離散程度上，方差與標(biāo)準(zhǔn)差是一樣的.但在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，一般多采用標(biāo)準(zhǔn)差. 需要指出的是,現(xiàn)實(shí)中的總體所包含的個(gè)體數(shù)往往是很多的,總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差是不知道的.如何求得總體的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差呢?通常的做法是用樣本的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差去估計(jì)總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差.這與前面用樣本的頻率分布來(lái)近似地代替總體分布是類(lèi)似的.只要樣本的代表性好,這樣做就是合理的,也是可以接受的. 兩者都是描述一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動(dòng)的大小,實(shí)際應(yīng)用中比較廣泛的是標(biāo)準(zhǔn)差.如導(dǎo)入中的運(yùn)動(dòng)員成績(jī)的標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算器計(jì)算. 用計(jì)算器計(jì)算運(yùn)動(dòng)員甲的成績(jī)的標(biāo)準(zhǔn)差的過(guò)程如下： 即s甲=2. 用類(lèi)似的方法，可得s乙≈1.095. 由s甲>s乙可以知道,甲的成績(jī)離散程度大,乙的成績(jī)離散程度小.由此可以估計(jì),乙比甲的射擊成績(jī)穩(wěn)定. 應(yīng)用示例 例1 畫(huà)出下列四組樣本數(shù)據(jù)的條形圖,說(shuō)明它們的異同點(diǎn). (1)5,5,5,5,5,5,5,5,5； (2)4,4,4,5,5,5,6,6,6； (3)3,3,4,4,5,6,6,7,7； (4)2,2,2,2,5,8,8,8,8. 分析：先畫(huà)出數(shù)據(jù)的條形圖,根據(jù)樣本數(shù)據(jù)算出樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù),利用標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算公式即可算出每一組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差. 解：四組樣本數(shù)據(jù)的條形圖如下： 四組數(shù)據(jù)的平均數(shù)都是5.0,標(biāo)準(zhǔn)差分別是：0.00,0.82,1.49,2.83. 它們有相同的平均數(shù),但它們有不同的標(biāo)準(zhǔn)差,說(shuō)明數(shù)據(jù)的分散程度是不一樣的. 例2 甲、乙兩人同時(shí)生產(chǎn)內(nèi)徑為25.40 mm的一種零件.為了對(duì)兩人的生產(chǎn)質(zhì)量進(jìn)行評(píng)比,從他們生產(chǎn)的零件中各抽出20件,量得其內(nèi)徑尺寸如下(單位:mm): 甲 25.46 25.32 25.45 25.39 25.36 25.34 25.42 25.45 25.38 25.42 25.39 25.43 25.39 25.40 25.44 25.40 25.42 25.35 25.41 25.39 乙 25.40 25.43 25.44 25.48 25.48 25.47 25.49 25.49 25.36 25.34 25.33 25.43 25.43 25.32 25.47 25.31 25.32 25.32 25.32 25.48 從生產(chǎn)的零件內(nèi)徑的尺寸看，誰(shuí)生產(chǎn)的質(zhì)量較高? 分析:每一個(gè)工人生產(chǎn)的所有零件的內(nèi)徑尺寸組成一個(gè)總體.由于零件的生產(chǎn)標(biāo)準(zhǔn)已經(jīng)給出(內(nèi)徑25.40 mm),生產(chǎn)質(zhì)量可以從總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差兩個(gè)角度來(lái)衡量.總體的平均數(shù)與內(nèi)徑標(biāo)準(zhǔn)尺寸25.40 mm的差異大時(shí)質(zhì)量低,差異小時(shí)質(zhì)量高;當(dāng)總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)尺寸很接近時(shí),總體的標(biāo)準(zhǔn)差小的時(shí)候質(zhì)量高,標(biāo)準(zhǔn)差大的時(shí)候質(zhì)量低.這樣,比較兩人的生產(chǎn)質(zhì)量,只要比較他們所生產(chǎn)的零件內(nèi)徑尺寸所組成的兩個(gè)總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差的大小即可.但是,這兩個(gè)總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差都是不知道的,根據(jù)用樣本估計(jì)總體的思想,我們可以通過(guò)抽樣分別獲得相應(yīng)的樣本數(shù)據(jù),然后比較這兩個(gè)樣本的平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差,以此作為兩個(gè)總體之間差異的估計(jì)值. 解：用計(jì)算器計(jì)算可得 ≈25.401，≈25.406; s甲≈0.037,s乙≈0.068. 從樣本平均數(shù)看,甲生產(chǎn)的零件內(nèi)徑比乙的更接近內(nèi)徑標(biāo)準(zhǔn)(25.40 mm),但是差異很小;從樣本標(biāo)準(zhǔn)差看,由于s甲下載提示(請(qǐng)認(rèn)真閱讀)
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