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2019-2020年人教A版高中數(shù)學(xué) 高三一輪 第八章 平面解析幾何 8-2 兩直線的位置關(guān)系 《教案》 【教學(xué)目標(biāo)】 1.能根據(jù)兩條直線的斜率判定這兩條直線平行或垂直． 　2.能用解方程組的方法求兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)． 　3.掌握兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式， 會(huì)求兩條平行直線間的距離． 【重點(diǎn)難點(diǎn)】 1.教學(xué)重點(diǎn)：掌握兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式， 會(huì)求兩條平行直線間的距離; 2.教學(xué)難點(diǎn)：學(xué)會(huì)對(duì)知識(shí)進(jìn)行整理達(dá)到系統(tǒng)化，提高分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力； 【教學(xué)策略與方法】 自主學(xué)習(xí)、小組討論法、師生互動(dòng)法 【教學(xué)過(guò)程】 教學(xué)流程 教師活動(dòng) 學(xué)生活動(dòng) 設(shè)計(jì)意圖 環(huán)節(jié)二： 考綱傳真: 1.能根據(jù)兩條直線的斜率判定這兩條直線平行或垂直．2.能用解方程組的方法求兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)． 3.掌握兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式， 會(huì)求兩條平行直線間的距離． 真題再現(xiàn); 1．(xx天津高考)已知過(guò)點(diǎn)P(2,2)的直線與圓(x－1)2＋y2＝5相切，且與直線ax－y＋1＝0垂直，則a＝(　　) A．－　　　　 B．1　　　　 C．2　　　　 D. 【解析】　由題意知圓心為(1,0)，由圓的切線與直線ax－y＋1＝0垂直，可設(shè)圓的切線方程為x＋ay＋c＝0，由切線x＋ay＋c＝0過(guò)點(diǎn)P(2,2)，∴c＝－2－2a，∴＝，解得a＝2.【答案】　C 1．(xx湖北卷)直線l1：y＝x＋a和l2：y＝x＋b將單位圓C：x2＋y2＝1分成長(zhǎng)度相等的四段弧，則a2＋b2＝2． 【解析】：依題意，圓心C(0，0)到兩直線l1：y＝x＋a，l2：y＝x＋b的距離相等，且每段弧長(zhǎng)等于圓周的，即＝＝1sin 45＝，得|a|＝|b|＝1，故a2＋b2＝2. 知識(shí)梳理： 知識(shí)點(diǎn)1、直線與直線的位置關(guān)系 1．平行與垂直． (1)若直線l1和l2有斜截式方程l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，則 ①直線l1∥l2的充要條件是k1＝k2且b1≠b2． ②直線l1⊥l2的充要條件是k1k2＝－1． (2)若l1和l2都沒(méi)有斜率，則l1與l2平行或重合． (3)若l1和l2中有一條沒(méi)有斜率而另一條斜率為0，則(3)l1⊥l2． 知識(shí)點(diǎn)2　兩直線的交點(diǎn) 知識(shí)點(diǎn)3　三種距離 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)兩點(diǎn)之間的距離 |P1P2|＝ 點(diǎn)P0(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離 d＝ 平行線Ax＋By＋C1＝0與Ax＋By＋C2＝0間的距離 d＝ 1．必會(huì)結(jié)論;(1)直線A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0過(guò)定點(diǎn)P，則定點(diǎn)P即為直線A1x＋B1y＋C1＝0 與A2x＋B2y＋C2＝0的交點(diǎn)． (2)點(diǎn)P(x0，y0)關(guān)于A(a，b)的對(duì)稱點(diǎn)為P′(2a－x0,2b－y0)． (3)設(shè)點(diǎn)P(x0，y0)關(guān)于直線y＝kx＋b的對(duì)稱點(diǎn)為P′(x′，y′)，則有可求出x′，y′. 2．必清誤區(qū);在運(yùn)用兩平行直線間的距離公式d＝時(shí)，一定要注意將兩方程中x，y的系數(shù)化為相同的形式． 考點(diǎn)分項(xiàng)突破 考點(diǎn)一：直線的交點(diǎn) (1)當(dāng)00.即x<0，y>0，從而兩直線的交點(diǎn)在第二象限．【答案】　B (2)設(shè)直線l與l1的交點(diǎn)為A(x0，y0)，則直線l與l2的交點(diǎn)B(6－x0，－y0) 由題意知解得即A，從而直線l的斜率k＝＝8， 直線l的方程為y＝8(x－3)，即8x－y－24＝0. 跟蹤訓(xùn)練： 1.經(jīng)過(guò)直線l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交點(diǎn)，且垂直于直線l3：3x－5y＋6＝0的直線l的方程為_(kāi)_______． 【解析】　由方程組得l1，l2的交點(diǎn)坐標(biāo)為(－1,2)，∵l3的斜率為，∴l(xiāng)的斜率為－，則直線l的方程為y－2＝－(x＋1)，即5x＋3y－1＝0.【答案】　5x＋3y－1＝0 歸納；1．兩直線交點(diǎn)的求法;求兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，就是解由兩直線方程組成的方程組，以方程組的解為坐標(biāo)的點(diǎn)即為交點(diǎn)． 2．求過(guò)兩直線交點(diǎn)的直線方程的方法;求過(guò)兩直線交點(diǎn)的直線方程，先解方程組求出兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，再結(jié)合其他條件寫(xiě)出直線方程． 考點(diǎn)二: 三種距離公式的應(yīng)用 ●命題角度1　兩點(diǎn)間距離公式及應(yīng)用 1．已知點(diǎn)P在x軸上，且點(diǎn)P與點(diǎn)A(5,12)的距離為13，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為(　　) A．(0,0)或(0,10) B．(0,0)或(5,0) C．(0,0)或(10,0) D．(0,0)或(0,5) 【解析】　設(shè)P(x,0)，則|PA|＝＝13. 解得x＝0，或x＝10，故選C.【答案】　C 2．在直角三角形ABC中，C(0,0)，A(0，a)，B(b,0)，點(diǎn)D是斜邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P為線段CD的中點(diǎn)，則＝(　　) A．2 B．4 C．5 D．10 【解析】　由題意知，D，P，則|PA|2＝＋，|PB|2＝＋，|PC|2＝＋.所以|PA|2＋|PB|2＝(a2＋b2)，從而＝10，故選D. 【答案】　D ●命題角度2　點(diǎn)到直線的距離公式及應(yīng)用 3．已知直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，且點(diǎn)A(1,3)到直線l的距離為，則直線l的方程為_(kāi)_______． 【解析】　當(dāng)直線l過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)其方程為y＝kx，由＝，解得k＝－7或k＝1，直線l的方程為y＝－7x或y＝x，當(dāng)直線l不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，由題意，設(shè)其方程為＋＝1，即x＋y－a＝0，由＝得a＝6或a＝2.此時(shí)直線l的方程為x＋y－2＝0或x＋y－6＝0.【答案】　y＝x或y＝－7x或x＋y－2＝0或x＋y－6＝0 4．經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(1,2)引直線，使A(2,3)，B(0，－5)到它的距離相等，則直線方程為_(kāi)_______． 【解析】　法一　若直線斜率不存在，則直線方程為x＝1，符合要求．若直線斜率存在，設(shè)其方程為y－2＝k(x－1)，即kx－y＋2－k＝0.由題意知＝，即|k－1|＝|k－7|，解得k＝4，此時(shí)直線方程為4x－y－2＝0. 法二　由題意，所求直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,3)和(0，－5)的中點(diǎn)或與點(diǎn)(2,3)和(0，－5)所在直線平行． (1)當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2,3)和B(0，－5)的中點(diǎn)(1，－1)時(shí)，所求直線方程為x＝1. (2)當(dāng)所求直線與直線AB平行時(shí)，由kAB＝4得所求直線的方程y－2＝4(x－1)即4x－y－2＝0. 【答案】　4x－y－2＝0或x＝1 ●命題角度3　兩平行線間的距離公式及應(yīng)用 5．若動(dòng)點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)分別在直線l1：x－y－5＝0，l2：x－y－15＝0上移動(dòng)，則P1P2的中點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離的最小值是(　　) A. B．5 C. D．15 【解析】　由題意知l1∥l2，則P1P2的中點(diǎn)P在與直線l1，l2平行，且到l1，l2的距離相等的直線l上． 設(shè)直線l的方程為x－y＋C＝0，則＝， 解得C＝－10，則直線l的方程為x－y－10＝0. P1P2的中點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離的最小值就是原點(diǎn)到直線l的距離，且d＝＝5，故選B. 【答案】　B 歸納：距離的求法 1．點(diǎn)到直線的距離;可直接利用點(diǎn)到直線的距離公式來(lái)求，但要注意此時(shí)直線方程必須為一般式． 2．兩平行直線間的距離;(1)利用“化歸”法將兩條平行線間的距離轉(zhuǎn)化為一條直線上任意一點(diǎn)到另一條直線的距離； (2)利用兩平行線間的距離公式．在應(yīng)用兩條平行線間的距離公式時(shí)，應(yīng)把直線方程化為一般形式，且使x，y的系數(shù)分別相等． 考點(diǎn)三: 對(duì)稱問(wèn)題 1.已知直線l：2x－3y＋1＝0，點(diǎn)A(－1，－2)．求： (1)點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A′的坐標(biāo)； (2)直線m：3x－2y－6＝0關(guān)于直線l的對(duì)稱直線m′的方程； (3)直線l關(guān)于點(diǎn)A(－1，－2)對(duì)稱的直線l′的方程． 【解】　(1)設(shè)A′(x，y)，由已知得解得∴A′. (2)在直線m上取一點(diǎn)，如M(2,0)，則M(2,0)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)必在m′上．設(shè)對(duì)稱點(diǎn)為M′(a，b)，則 解得M′.設(shè)m與l的交點(diǎn)為N，則由得N(4,3)．又∵m′經(jīng)過(guò)點(diǎn)N(4,3)， ∴由兩點(diǎn)式得直線方程為9x－46y＋102＝0. (3)由題意知，l′∥l，設(shè)直線l′的方程為2x－3y＋C＝0(C≠1)， 則點(diǎn)A(－1，－2)到兩平行線的距離相等． 所以 ＝即＝，解得C＝－9.因此直線l′的方程為2x－3y－9＝0. 跟蹤訓(xùn)練：1．平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝2x＋1關(guān)于點(diǎn)(1,1)對(duì)稱的直線l的方程是(　　) A．y＝2x－1　　　　　　B．y＝－2x＋1 C．y＝－2x＋3 D．y＝2x－3 【解析】　由題意，l與直線y＝2x＋1平行，設(shè)l的方程為2x－y＋C＝0(C≠1)，則點(diǎn)(1,1)到兩平行線的距離相等．∴＝，解得C＝－3. 因此所求直線l的方程為y＝2x－3.【答案】　D 2．如圖，已知A(4,0)，B(0,4)，從點(diǎn)P(2,0)射出的光線經(jīng)直線AB反射后再射到直線OB上，最后經(jīng)直線OB反射后又回到P點(diǎn)，則光線所經(jīng)過(guò)的路程是(　　) A．3 B．6 C．2 D．2 【解析】　直線AB的方程為x＋y＝4，點(diǎn)P(2,0)關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)為D(4,2)，關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為C(－2,0)．則光線經(jīng)過(guò)的路程為|CD|＝＝2. 【答案】　C 歸納：1．中心對(duì)稱問(wèn)題的兩個(gè)類(lèi)型及求解方法 (1)點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱：若點(diǎn)M(x1，y1)及N(x，y)關(guān)于P(a，b)對(duì)稱，則由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得進(jìn)而求解． (2)直線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱，主要求解方法是： ①在已知直線上取兩點(diǎn)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出它們關(guān)于已知點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)坐標(biāo)，再由兩點(diǎn)式求出直線方程； ②求出一個(gè)對(duì)稱點(diǎn)，再利用兩對(duì)稱直線平行，由點(diǎn)斜式得到所求直線方程． 2．軸對(duì)稱問(wèn)題的兩個(gè)類(lèi)型及求解方法 (1)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱若兩點(diǎn)P1(x1，y1)與P2(x2，y2)關(guān)于直線l：Ax＋By＋C＝0對(duì)稱，由方程組可得到點(diǎn)P1關(guān)于l對(duì)稱的點(diǎn)P2的坐標(biāo)(x2，y2)(其中B≠0，x1≠x2)． (2)直線關(guān)于直線的對(duì)稱 一般轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱來(lái)解決，有兩種情況：一是已知直線與對(duì)稱軸相交；二是已知直線與對(duì)稱軸平行． 易錯(cuò)辨析 求直線方程時(shí)忽視斜率不存在的情況致誤 1.已知直線l過(guò)點(diǎn)P(5,10)，且原點(diǎn)到它的距離為5，則直線l的方程為_(kāi)_________________________． [錯(cuò)誤解法]　設(shè)直線l的方程為y－10＝k(x－5)，即kx－y＋10－5k＝0，由已知得＝5，解得k＝，故直線l的方程為x－y＋10－＝0，即3x－4y＋25＝0. [錯(cuò)解分析]　分析上面解題過(guò)程，你知道錯(cuò)在哪里嗎？提示：上面解題過(guò)程沒(méi)有討論直線l斜率不存在的情況，導(dǎo)致漏解． [自我糾正]　當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線方程是x＝5，滿足條件．當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y－10＝k(x－5)，即kx－y－5k＋10＝0. 由已知得＝5，解得k＝，故直線l的方程為x－y－＋10＝0，即3x－4y＋25＝0.綜上知，直線l的方程為x＝5或3x－4y＋25＝0. 【答案】　x＝5或3x－4y＋25＝0 。 學(xué)生通過(guò)對(duì)高考真題的解決，發(fā)現(xiàn)自己對(duì)知識(shí)的掌握情況。 學(xué)生通過(guò)對(duì)高考真題的解決，感受高考題的考察視角。 教師引導(dǎo)學(xué)生及時(shí)總結(jié)，以幫助學(xué)生形成完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。 引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的逐點(diǎn)掃描，來(lái)澄清概念，加強(qiáng)理解。從而為后面的練習(xí)奠定基礎(chǔ). 在解題中注意引導(dǎo)學(xué)生自主分析和解決問(wèn)題，教師及時(shí)點(diǎn)撥從而提高學(xué)生的解題能力和興趣。 教師引導(dǎo)學(xué)生及時(shí)總結(jié)，以幫助學(xué)生形成完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。 通過(guò)對(duì)考綱的解讀和分析。讓學(xué)生明確考試要求，做到有的放矢 由常見(jiàn)問(wèn)題的解決和總結(jié)，使學(xué)生形成解題模塊，提高模式識(shí)別能力和解題效率。 教師引導(dǎo)學(xué)生及時(shí)總結(jié)，以幫助學(xué)生形成完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。 引導(dǎo)學(xué)生對(duì)所學(xué)的知識(shí)進(jìn)行小結(jié)，由利于學(xué)生對(duì)已有的知識(shí)結(jié)構(gòu)進(jìn)行編碼處理，加強(qiáng)理解記憶，提高解題技能。 環(huán)節(jié)三： 課堂小結(jié)： 1.能根據(jù)兩條直線的斜率判定這兩條直線平行或垂直． 2.能用解方程組的方法求兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)． 3.掌握兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式， 會(huì)求兩條平行直線間的距離． 學(xué)生回顧，總結(jié). 引導(dǎo)學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)過(guò)程進(jìn)行反思，為在今后的學(xué)習(xí)中，進(jìn)行有效調(diào)控打下良好的基礎(chǔ)。 環(huán)節(jié)四： 課后作業(yè)：學(xué)生版練與測(cè) 學(xué)生通過(guò)作業(yè)進(jìn)行課外反思，通過(guò)思考發(fā)散鞏固所學(xué)的知識(shí)。