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課時29 曲線與方程 模擬訓(xùn)練（分值：60分 建議用時：30分鐘） 1．與兩圓x2＋y2＝1及x2＋y2－8x＋12＝0都外切的圓的圓心在(　　) A．一個橢圓上 B．雙曲線的一支上 C．一條拋物線上 D．一個圓上 【答案】B 【解析】圓x2＋y2－8x＋12＝0的圓心為(4,0)，半徑為2，動圓的圓心到(4,0)減去到(0,0)的距離等于1，由此可知，動圓的圓心在雙曲線的一支上． 2．方程(x－y)2＋(xy－1)2＝0的曲線是(　　) A．一條直線和一條雙曲線 B．兩條雙曲線 C．兩個點 D．以上答案都不對 【答案】C 【解析】由條件得∴或. 3．設(shè)過點P(x，y)的直線分別與x軸的正半軸和y軸的正半軸交于A，B兩點，點Q與點P關(guān)于y軸對稱，O為坐標(biāo)原點，若＝2，且＝1，則點P的軌跡方程是(　　) A.x2＋3y2＝1(x>0，y>0) B.x2－3y2＝1(x>0，y>0) C．3x2－y2＝1(x>0，y>0) D．3x2＋y2＝1(x>0，y>0) 【答案】A 4．已知||＝3，A、B分別在y軸和x軸上運動，O為原點，＝＋，則動點P的軌跡方程是(　　) A.＋y2＝1 B．x2＋＝1 C.＋y2＝1 D．x2＋＝1 【答案】A　 【解析】 設(shè)A(0，a)，B(b,0)，則由||＝3得a2＋b2＝9.設(shè)P(x，y)，由＝＋得(x，y)＝(0，a)＋(b,0)，由此得b＝x，a＝3y，代入a2＋b2＝9得9y2＋x2＝9?＋y2＝1. 5．如圖所示，A是圓O內(nèi)一定點，B是圓周上一個動點，AB的中垂線CD與OB交于E，則點E的軌跡是(　　) A．圓　　　　　　　　　　　　B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線 【答案】B 【解析】由題意知，|EA|＋|EO|＝|EB|＋|EO|＝R(R為圓的半徑)且R>|OA|，故E的軌跡為橢圓． 6．已知A(0,7)，B(0，－7)，C(12,2)，以C為一個焦點作過A，B的橢圓，橢圓的另一個焦點F的軌跡方程是(　　) A．y2－＝1(y≤－1) B．y2－＝1(y≥1) C．x2－＝1(x≤－1) D．x2－＝1(x≥1) 【答案】A 7．直線＋＝1與x、y軸交點的中點的軌跡方程是__________． [答案]x＋y＝1(x≠0，x≠1) 【解析】(參數(shù)法)設(shè)直線＋＝1與x、y軸交點為A(a,0)、B(0,2－a)，A、B中點為M(x，y)，則x＝，y＝1－，消去a，得x＋y＝1，∵a≠0，a≠2，∴x≠0，x≠1. 8．已知直線l：2x＋4y＋3＝0，P為l上的動點，O為坐標(biāo)原點．若2＝，則點Q的軌跡方程是________． [答案]2x＋4y＋1＝0 【解析】設(shè)點Q的坐標(biāo)為(x，y)，點P的坐標(biāo)為(x1，y1)．根據(jù)2＝得2(x，y)＝(x1－x，y1－y)，即∵點P在直線l上，∴2x1＋4y1＋3＝0，把x1＝3x，y1＝3y代入上式并化簡，得2x＋4y＋1＝0，即為所求軌跡方程． 9．已知圓F1：(x＋1)2＋y2＝16，定點F2(1,0)，動圓M過點F2且與圓F1相內(nèi)切． (1)求點M的軌跡C的方程； (2)若過原點的直線l與(1)中的曲線C交于A，B兩點，且△ABF1的面積為，求直線l的方程． 10．如圖，過圓x2＋y2＝4與x軸的兩個交點A、B，作圓的切線AC、BD，再過圓上任意一點H作圓的切線，交AC、BD于C、D兩點，設(shè)AD、BC的交點為R. (1)求動點R的軌跡E的方程； (2)過曲線E的右焦點F作直線l交曲線E于M、N兩點，交y軸于P點，且記＝λ1，＝λ2，求證：λ1＋λ2為定值． 【解析】(1)設(shè)點H的坐標(biāo)為(x0，y0)，則x＋y＝4. 由題意可知y0≠0，且以H為切點的圓的切線的斜率為：－， 故切線方程為：y－y0＝－(x－x0)， 展開得x0x＋y0y＝x＋y＝4. 即以H為切點的圓的切線方程為：x0x＋y0y＝4， ∵A(－2,0)，B(2,0)，將x＝2代入上述方程可得點C，D的坐標(biāo)分別為C(－2，)，D(2，)， 則lAD：＝?、?，及l(fā)BC：＝　②. 將兩式相乘并化簡可得動點R的軌跡E的方程為： x2＋4y2＝4，即＋y2＝1. (2)由(1)知軌跡E為焦點在x軸上的橢圓且其右焦點為F(，0)． (ⅰ)當(dāng)直線l的斜率為0時，M、N、P三點在x軸上，不妨設(shè)M(2,0)，N(－2,0)，且P(0,0)．此時有|PM|＝2，|MF|＝2－，|PN|＝2，|NF|＝2＋， [新題訓(xùn)練] （分值：15分 建議用時：10分鐘） 11．（5分）動點P(x，y)到定點A(3,4)的距離比P到x軸的距離多一個單位長度，則動點P的軌跡方程為(　　) A．x2－6x－10y＋24＝0 B．x2－6x－6y＋24＝0 C．x2－6x－10y＋24＝0或x2－6x－6y＝0 D．x2－8x－8y＋24＝0 【答案】A 【解析】本題滿足條件|PA|＝|y|＋1，即＝|y|＋1，當(dāng)y>0時，整理得x2－6x－10y＋24＝0；當(dāng)y≤0時，整理得x2－6x－6y＋24＝0，變?yōu)?x－3)2＋15＝6y，此方程無軌跡． 12．（10分）已知圓x2＋y2＝4上一定點A(2,0)，B(1,1)為圓內(nèi)一點，P，Q為圓上的動點． (1)求線段AP中點的軌跡方程； (2)若∠PBQ＝90，求PQ中點的軌跡方程．