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2019-2020年蘇教版高中數(shù)學(xué)（選修2-1）3.2《空間向量的應(yīng)用》word教案2篇 　　對于空間兩個非零向量a，b來說，如果它們的夾角，那么我們定義它們的數(shù)量積為．特別地，當(dāng)兩向量垂直時，．利用該結(jié)論，可以很好地解決立體幾何中線線垂直或線面垂直的問題． 　　1．證明直線與直線垂直，可以轉(zhuǎn)化為證明這兩條直線上的非零向量的數(shù)量積為零．反之亦成立． 　　例1　如圖1，已知空間四邊形ABCD中，AB⊥CD，且AD⊥BC，求證：AC⊥BD． 　　證明：設(shè)以空間一點O為起點，A、B、C、D為終點的向量分別記為a、b、c、d，由已知，AB⊥CD，且AD⊥BC， 　　所以． 　　∴，即． 　　因此，AC⊥BD 　　評述：本題的結(jié)論是說，三棱錐中若兩對對棱互相垂直，則第三對對棱也互相垂直．它的傳統(tǒng)證法是過A點作平面BCD的垂線，通過三垂線定理及其逆定理來證明．以上用空間向量數(shù)量積作為工具，將幾何問題代數(shù)化、程序化地解決 　　2．證明直線與平面垂直，可以轉(zhuǎn)化為證明這條直線上的非零向量與平面內(nèi)兩相交直線上的非零向量的數(shù)量積都為零． 　　例2　直線l與平面相交于點O，求證：若直線l與平面內(nèi)的過O點的三條射線所成的角相等，則直線l⊥平面 　　證明：如圖2，在直線l上任取一點P（Ｐ點不與Ｏ點重合），在平面內(nèi)過O點的三條射線上分別取點A、B、C，使OA=OB=OC≠０， 　　設(shè)∠POA=∠POB=∠POC=，則易得 　　， 　　所以， 　　所以， 　　由于BA、BC是平面內(nèi)的兩條相交直線， 　　因此，直線l⊥平面． 3．證明兩個平面垂直，可以轉(zhuǎn)化為證明這兩個平面的法向量的數(shù)量積為零． 例3　如圖3，在正方體中，E、F分別是、CD的中點，求證：平面AED⊥平面． 證明：設(shè)，且 則． 設(shè)是平面AED的一個法向量，則 ，即． ， 即． 因此，可以?。? 于是，． 同理，設(shè)是平面的一個法向量，則 ，即． ，所以， 不防取， 從而， 所以平面AED⊥平面． 應(yīng)用求線段長度 由空間向量的數(shù)量積公式容易得到公式：，應(yīng)用這個公式可以解決空間問題中兩點之間的距離，即空間的距離問題可以轉(zhuǎn)化為求向量的數(shù)量積加以解決．事實上公式在計算空間線段長度方面的應(yīng)用非常廣泛，下面舉例加以說明． 例1　如圖1，三棱錐中，PA=PB，CB⊥面PAB，M、N分別在PC、AB上，且PM=MC，AN=3NB， （1）求證：MN⊥AB； （2）當(dāng)∠APB=90，BC=2，AB=4時，求MN的長． 簡解：（1）設(shè)， 則，且，，， ，，， ∴， ∴ ∴AB⊥MN； （2）∵∠APB=90，BC=2，AB=4， 則且，， ∴ 即MN的長為． 例2　如圖2，有一長方形的紙片ABCD，長AB＝4cm，寬AD＝3cm，現(xiàn)沿它的一條對角線AC把它折疊成120的二面角，求折疊后BD的長． 簡解：作DE⊥AC，BF⊥AC，點E、F為垂足， 　　則5cm， cm， cm， cm． 折疊后，DE、EF、FB的長度保持不變，且 ∴cm． 運用向量法求解立體幾何探索性問題 　　立體幾何探索性問題是近年高考或各地模擬考試中的熱點題型．向量作為一種工具，在解決立體幾何探索性問題中有著無比的優(yōu)越性．運用向量法解題，可使幾何問題代數(shù)化，大大簡化思維程序，使解題思路直觀明了．下面舉例說明向量法在求解兩類立體幾何探索性問題中的運用． 　　一、條件探索型 　　所謂“條件探索型”是指給出了問題的明確結(jié)論，但條件不足或未知，需要解題者探求、尋找使結(jié)論成立的條件的一類問題，這類問題的常用解法是逆推法，利用結(jié)論探求條件． 　　例1　如圖1，棱長為１的正方體，E是BC的中點，F(xiàn)是棱CD上的動點（非C、D兩點），設(shè)二面角的大小為．試確定F點的位置，使得． 　　解析：以A為坐標原點，建立如圖1所示的直角坐標系， 則．設(shè)， 易知． 設(shè)是平面的一個法向量， 則 令，則． 　　又是平面的一個法向量， ∴． 結(jié)合條件知可取， 故，解得或（舍）． 故當(dāng)是CD的中點時，． 二、存在型 所謂“存在型”是指結(jié)論不確定的問題，即在數(shù)學(xué)命題中，結(jié)論常以“是否存在”的形式出現(xiàn)，其結(jié)果可能存在，需要找出來；可能不存在，則需要說明理由．解答這一類問題時，先假設(shè)結(jié)論存在，若推證無矛盾，則結(jié)論存在；若推證出矛盾，則結(jié)論不存在． 例2　已知正三棱柱的側(cè)棱長為2，底面邊長為1，M是BC的中點．在直線上是否存在一點Ｎ，使得？若存在，請你求出它的位置；若不存在，請說明理由． 解：假設(shè)在直線上存在一點Ｎ，使得． 如圖2，建立空間直角坐標系， 有 ∴． ∵， ∴， 解得，，即時，． 用法向量求距離 一、求異面直線間的距離 如圖1，若是異面直線的公垂線段，分別為上的任決兩點．令向量，則． 分析：， ． ， ． ． 兩異面直線間的距離為（其中與垂直，分別為兩異面直線上的任意兩點） 例1 如圖2，在正方體中，為的中點且正方體棱長為2．求異面直線和間的距離． 解析：以為原點，建立如圖2所示的空間直角坐標系， 則． 設(shè)和公垂線段上的向量為， 則即 ． 又，， 所以異面直線和間的距離為． 二、求點到平面的距離 如圖3，已知為平面的一條斜線段，為平面的法向量． 求證：點到平面的距離． 分析：， ． 例2 如圖4，已知是各條棱長均等于的正三棱柱，是側(cè)棱的中點．求點到平面的距離． 解析：為正方形， ． 易得平面平面， 面， 是平面的一個法向量． 設(shè)點到平面的距離為， 則． 三、求直線到平面的距離 例3 如圖5，已知邊長為的正三角形中，分別為和的中點，面，且，設(shè)平面過且與平行．求與平面間的距離． 解析：設(shè)的單位向量分別為，選取作為空間向量的一個基底． 易知， ，，，． 設(shè)是平面的一個法向量， 則，． 即 解得． 直線與平面間的距離． 四、求兩平行平面間的距離 例4 如圖6，在棱長為1的正方體中． 求平面與平面間的距離． 解析：建立如圖所示的空間直角坐標系，易知平面與平面平行． 設(shè)平面的一個法向量， 則即 ． 平面與平面間的距離．