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2019-2020年人教版高中數(shù)學(xué)必修二教案：2-3-1 直線與平面垂直的判定 項目 內(nèi)容 課題 2.3.1 直線與平面垂直的判定 （1課時） 修改與創(chuàng)新 教學(xué) 目標(biāo) 1.探究直線與平面垂直的判定定理，培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力. 2.掌握直線與平面垂直的判定定理的應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力. 3.讓學(xué)生明確直線與平面垂直在立體幾何中的地位. 教學(xué)重、 難點(diǎn) 教學(xué)重點(diǎn):直線與平面垂直的判定. 教學(xué)難點(diǎn):靈活應(yīng)用直線與平面垂直判定定理解決問題. 教學(xué) 準(zhǔn)備 多媒體課件 教學(xué)過程 導(dǎo)入新課 如果一條直線垂直于一個平面的無數(shù)條直線，那么這條直線是否與這個平面垂直？舉例說明. 如圖1，直線AC1與直線BD、EF、GH等無數(shù)條直線垂直，但直線AC1與平面ABCD不垂直. 圖1 提出問題 ①探究直線與平面垂直的定義和畫法. ②探究直線與平面垂直的判定定理. ③用三種語言描述直線與平面垂直的判定定理. ④探究斜線在平面內(nèi)的射影，討論直線與平面所成的角. ⑤探究點(diǎn)到平面的距離. 活動:問題①引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合事例觀察探究. 問題②引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合事例實驗探究. 問題③引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行語言轉(zhuǎn)換. 問題④引導(dǎo)學(xué)生思考其合理性. 問題⑤引導(dǎo)學(xué)生回憶點(diǎn)到直線的距離得出點(diǎn)到平面的距離. 討論結(jié)果：①直線與平面垂直的定義和畫法： 教師演示實例并指出書脊（想象成一條直線）、各書頁與桌面的交線，由于書脊和書頁底邊（即與桌面接觸的一邊）垂直，得出書脊和桌面上所有直線都垂直，書脊和桌面的位置關(guān)系給了我們直線和平面垂直的形象.從而引入概念：一條直線和平面內(nèi)的任何一條直線都垂直，我們說這條直線和這個平面互相垂直，直線叫做平面的垂線，平面叫做直線的垂面.過一點(diǎn)有且只有一條直線和一個平面垂直；過一點(diǎn)有且只有一個平面和一條直線垂直.平面的垂線和平面一定相交，交點(diǎn)叫做垂足.直線和平面垂直的畫法及表示如下： 如圖2，表示方法為：a⊥α. 圖2 圖3 ②如圖3,請同學(xué)們準(zhǔn)備一塊三角形的紙片，我們一起做一個實驗：過△ABC的頂點(diǎn)A翻折紙片，得折痕AD，將翻折后的紙片豎起放置在桌面上（BD,DC與桌面接觸）. (1)折痕AD與桌面垂直嗎？ (2)如何翻折才能使折痕AD與桌面所在的平面α垂直？ 容易發(fā)現(xiàn)，當(dāng)且僅當(dāng)折痕AD是BC邊上的高時，AD所在直線與桌面所在的平面α垂直. 如圖4. (1) (2) 圖4 所以，當(dāng)折痕AD垂直平面內(nèi)的一條直線時，折痕AD與平面α不垂直，當(dāng)折痕AD垂直平面內(nèi)的兩條直線時，折痕AD與平面α垂直. ③直線和平面垂直的判定定理用文字語言表示為： 如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個平面. 直線和平面垂直的判定定理用符號語言表示為：l⊥α. 直線和平面垂直的判定定理用圖形語言表示為：如圖5, 圖5 圖6 ④斜線在平面內(nèi)的射影. 斜線：一條直線和一個平面相交，但不和這個平面垂直時，這條直線就叫做這個平面的斜線. 斜足：斜線和平面的交點(diǎn). 斜線在平面內(nèi)的射影：從斜線上斜足以外的一點(diǎn)向平面引垂線，過垂足和斜足的直線叫做斜線在這個平面內(nèi)的射影. 直線與平面相交，直線與平面的相互位置類同于兩條相交直線，也需要用角來表示，但過交點(diǎn)在平面內(nèi)可以作很多條直線.與平面相交的直線l與平面內(nèi)的線a、b…所成的角是不相等的.為了定義的確定性，我們必須找到一些角中有確定值的，又能準(zhǔn)確描述其位置的一個角，這就是由斜線與其在平面內(nèi)的射影所成的銳角作為直線和平面所成的角. 平面的一條斜線和它在這個平面內(nèi)的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個平面所成的角. 特別地：如果一條直線垂直于平面，我們說它們所成的角為直角. 一條直線和平面平行或在平面內(nèi)，我們說它們所成的角為0.如圖6，l是平面α的一條斜線，點(diǎn)O是斜足，A是l上任意一點(diǎn)，AB是α的垂線，點(diǎn)B是垂足，所以直線OB（記作l′）是l在α內(nèi)的射影，∠AOB（記作θ）是l與α所成的角. 直線和平面所成的角是一個非常重要的概念，在實際中有著廣泛的應(yīng)用，如發(fā)射炮彈時，當(dāng)炮筒和地面所成的角為多少度時，才能準(zhǔn)確地命中目標(biāo)，也即射程為多遠(yuǎn)？又如鉛球運(yùn)動員在投擲時，以多大的角度投擲，投出的距離最遠(yuǎn)？ ⑤點(diǎn)到平面的距離:經(jīng)過一點(diǎn)向平面引垂線，垂足叫做這點(diǎn)在這個平面內(nèi)的射影，點(diǎn)在平面內(nèi)的射影還是一個點(diǎn). 垂線段：上述的點(diǎn)與垂足間的線段叫做這點(diǎn)到這個平面的垂線段. 點(diǎn)到平面的距離：垂線段的長叫做點(diǎn)到平面的距離. 應(yīng)用示例 例1 如果兩條平行直線中的一條垂直于一個平面，那么另一條也垂直于同一個平面. 解：已知a∥b，a⊥α.求證：b⊥α. 圖7 證明：如圖7,在平面α內(nèi)作兩條相交直線m、n，設(shè)m∩n=A. ************ 變式訓(xùn)練 如圖8,已知點(diǎn)P為平面ABC外一點(diǎn)，PA⊥BC，PC⊥AB，求證：PB⊥AC. 圖8 證明：過P作PO⊥平面ABC于O，連接OA、OB、OC. ∵PO⊥平面ABC，BC平面ABC，∴PO⊥BC. 又∵PA⊥BC，∴BC⊥平面PAO. 又∵OA平面PAO，∴BC⊥OA. 同理,可證AB⊥OC.∴O是△ABC的垂心.∴OB⊥AC.可證PO⊥AC. ∴AC⊥平面PBO.又PB平面PBO，∴PB⊥AC. 點(diǎn)評：欲證線面垂直需要轉(zhuǎn)化為證明線線垂直，欲證線線垂直往往轉(zhuǎn)化為線面垂直.用符號語言證明問題顯得清晰、簡潔. 例2 如圖9,在正方體ABCD—A1B1C1D1中，求直線A1B和平面A1B1CD所成的角. 圖9 活動：先讓學(xué)生思考或討論后再回答，經(jīng)教師提示、點(diǎn)撥，對回答正確的學(xué)生及時表揚(yáng)，對回答不準(zhǔn)確的學(xué)生提示引導(dǎo)考慮問題的思路. 解：連接BC1交B1C于點(diǎn)O，連接A1O.設(shè)正方體的棱長為a， 因為A1B1⊥B1C1,A1B1⊥B1B,所以A1B1⊥平面BCC1B1. 所以A1B1⊥BC1. 又因為BC1⊥B1C，所以BC1⊥平面A1B1CD. 所以A1O為斜線A1B在平面A1B1CD內(nèi)的射影，∠BA1O為直線A1B與平面A1B1CD所成的角. 在Rt△A1BO中,A1B=,BO=,所以BO=,∠BA1O=30. 因此,直線A1B和平面A1B1CD所成的角為30. 變式訓(xùn)練 如圖10，四面體A—BCD的棱長都相等，Q是AD的中點(diǎn)，求CQ與平面DBC所成的角的正弦值. 圖10 解：過A作AO⊥面BCD，連接OD、OB、OC，則可證O是△BCD的中心, 作QP⊥OD,∵QP∥AO,∴QP⊥面BCD. 連接CP，則∠QCP即為所求的角. 設(shè)四面體的棱長為a，∵在正△ACD中，Q是AD的中點(diǎn),∴CQ=. ∵QP∥AO，Q是AD的中點(diǎn), ∴QP=，得 sin∠QCP=. 點(diǎn)評：求直線與平面所成的角，是本節(jié)的又一重點(diǎn)，作線面角的關(guān)鍵是找出平面的垂線. 課堂小結(jié) 知識總結(jié)：利用面面垂直的性質(zhì)定理找出平面的垂線，然后解決證明垂直問題、平行問題、求角問題、求距離問題等. 思想方法總結(jié)：轉(zhuǎn)化思想，即把面面關(guān)系轉(zhuǎn)化為線面關(guān)系，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題. 作業(yè) 課本習(xí)題2.2 B組3、4. 板書設(shè)計 教學(xué)反思