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2019-2020年蘇教版選修2-3高中數(shù)學(xué)1.5《二項(xiàng)式定理》word導(dǎo)學(xué)案 學(xué)習(xí)目標(biāo) 重點(diǎn)、難點(diǎn) 1．理解并掌握二項(xiàng)式定理的項(xiàng)數(shù)、系數(shù)、二項(xiàng)式系數(shù)、通項(xiàng)的特征，熟記它的展開式； 2．能應(yīng)用展開式的通項(xiàng)公式求展開式中的特定項(xiàng)； 3．掌握二項(xiàng)展開式的有關(guān)性質(zhì)，能利用展開式的性質(zhì)計(jì)算和證明一些簡單問題. 重點(diǎn)：二項(xiàng)式定理及通項(xiàng)公式． 難點(diǎn)：二項(xiàng)式定理的實(shí)際應(yīng)用. 1．二項(xiàng)式定理 (a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋an－rbr＋…＋Cbn(n∈N*)． 這個公式叫做二項(xiàng)式定理，右邊的多項(xiàng)式叫做(a＋b)n的二項(xiàng)展開式，它一共n＋1項(xiàng)，其中an－rbr叫做二項(xiàng)展開式的第r＋1項(xiàng)(也稱通項(xiàng))，用Tr＋1表示，即Tr＋1＝an－rbr. (r＝0,1，…，n)叫做第r＋1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)． 預(yù)習(xí)交流1 你是如何理解和記憶二項(xiàng)式定理的？ 提示：二項(xiàng)式定理是一個恒等式，左邊是二項(xiàng)式冪的形式，右邊是二項(xiàng)式的展開式，各項(xiàng)的次數(shù)都等于二項(xiàng)式的冪的次數(shù)為n；字母a按降冪排列，次數(shù)由n遞減到0；字母b按升冪排列，次數(shù)由0遞增到n. 2．二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用 一般地，(a＋b)n展開式的二項(xiàng)式系數(shù)C，C，…，C有如下性質(zhì)： ①C＝C；②C＋C＝C；③當(dāng)r＜時，＜C，當(dāng)r＞時，C＜；④C＋C＋C＋…＋C＝2n. 預(yù)習(xí)交流2 如何說明C－C＋C－C＋…＋(－1)nC＝0. 提示：利用賦值法，令公式中的a＝1，b＝－1，展開就會得到上式． 在預(yù)習(xí)中，還有哪些問題需要你在聽課時加以關(guān)注？請?jiān)谙铝斜砀裰凶鰝€備忘吧！ 我的學(xué)困點(diǎn) 我的學(xué)疑點(diǎn) 一、二項(xiàng)式定理 求4的展開式． 思路分析：直接利用二項(xiàng)式定理展開，注意每一項(xiàng)都符合通項(xiàng)公式，也可先將原式變形后再展開． 解：解法一：4＝C(3)40＋C(3)31＋C(3)22＋C(3)3＋C(3)04＝81x2＋108x＋54＋＋. 解法二：4＝4＝＝(81x4＋108x3＋54x2＋12x＋1)＝81x2＋108x＋54＋＋. 求二項(xiàng)式10的展開式中的常數(shù)項(xiàng)． 解：設(shè)第r＋1項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，則(x2)10－rr＝ r(r＝0,1，…，10)， 令20－r＝0得r＝8，所以第9項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，常數(shù)項(xiàng)為C8＝. 利用二項(xiàng)式定理求展開式中某特定項(xiàng)，通常的做法是先確定通項(xiàng)公式中的r的值或取值范圍，但要注意區(qū)分二項(xiàng)式系數(shù)、項(xiàng)的系數(shù)及項(xiàng)的關(guān)系． 二、二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用 如果(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，那么a1＋a2＋…＋a7＝__________. 思路分析：比較展開式與a1＋a2＋…＋a7結(jié)構(gòu)，會發(fā)現(xiàn)當(dāng)x＝1時，含有a1＋a2＋…＋a7，即(1－2)7＝a0＋a1＋a2＋…＋a7＝－1，從而只要知道a0即可． 答案：－2 解析：令x＝0得(1－20)7＝a0，∴a0＝1. 再令x＝1，則有(1－21)7＝a0＋a1＋a2＋…＋a7， ∴a0＋a1＋a2＋…＋a7＝－1. ∴a1＋a2＋…＋a7＝－1－a0＝－1－1＝－2. 設(shè)(1－2x)2 012＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 012x2 012(x∈R)． (1)求a1＋a3＋a5＋…＋a2 011的值． (2)求|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2 012|的值． 解：(1)令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋…＋a2 012＝32 012.① 令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a2 012＝(－1)2 012＝1.② 由①②，得2(a1＋a3＋a5＋…＋a2 011)＝1－32 012， ∴a1＋a3＋a5＋…＋a2 011＝. (2)∵Tr＋1＝12 012－r(－2x)r＝(－1)r(2x)r， ∴a2k－1＜0(k∈N*)，a2k＞0(k∈N*)． ∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a2 012| ＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a2 012＝32 012. 求展開式的系數(shù)和關(guān)鍵是給字母賦值，賦值需根據(jù)展開式系數(shù)的特征來定，一般地，多項(xiàng)式f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn的各項(xiàng)系數(shù)和為f(1)，奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)和為，偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)的和為. 1．n(n∈N*)的展開式中，若存在常數(shù)項(xiàng)，則n的最小值為__________． 答案：5 解析：Tr＋1＝(2x3)n－rr＝2n－rx3n－5r. 令3n－5r＝0， 又∵0≤r≤n，r，n∈Z，∴n的最小值為5. 2．(1＋2)3(1－)5的展開式中x的系數(shù)是__________． 答案：2 解析：(1＋2)3(1－)5＝(1＋6＋12x＋8x)(1－)5， 故(1＋2)3(1－)5的展開式中含x的項(xiàng)為1C(－)3＋12xC＝－10x＋12x＝2x. 3．5(x∈R)展開式中x3的系數(shù)為10，則實(shí)數(shù)a等于__________． 答案：2 解析：Tr＋1＝xr5－r＝a5－rx2r－5，令2r－5＝3， ∴r＝4.∴Ca＝10，解得a＝2. 4．在20的展開式中，系數(shù)是有理數(shù)的項(xiàng)共有多少項(xiàng)？ 解：Tr＋1＝(x)20－rr＝r()20－rx20－r. ∵系數(shù)為有理數(shù)，∴()r與均為有理數(shù)． ∴r能被2整除，且20－r能被3整除． ∴r為偶數(shù)，20－r是3的倍數(shù)，0≤r≤20， ∴r＝2,8,14,20，∴符合題意的有4項(xiàng)． 5．m，n∈N*，f(x)＝(1＋x)m＋(1＋x)n展開式中x的系數(shù)為19，求x2的系數(shù)的最小值及此時展開式中x7的系數(shù)． 解：由題設(shè)知m＋n＝19，∵m，n∈N*， ∴… x2的系數(shù)為C＋C＝(m2－m)＋(n2－n)＝m2－19m＋171. ∴當(dāng)m＝9或10時，x2的系數(shù)取最小值81，此時x7的系數(shù)為C＋C＝156. 用精練的語言把你當(dāng)堂掌握的核心知識的精華部分和基本技能的要領(lǐng)部分寫下來，并進(jìn)行識記． 知識精華 技能要領(lǐng)