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2019-2020年蘇教版高中數(shù)學必修一2.5.2《用二分法求方程的近似解》教案 課 題：2.5.2用二分法求方程的近似解 教學目標：1.引導學生探究發(fā)現(xiàn)求一元方程近似解的常用方法——二分法; 2.鼓勵學生運用二分法解決有關問題; 3.培養(yǎng)學生探究問題的能力,能夠初步理解算法思想. 重點難點：重點——運用二分法解決有關問題; 難點——理解二分法的解題思想. 教學教程：一、問題情境 問題1: 從上海到美國舊金山的海底電纜有15個接點,現(xiàn)在某接點發(fā)生故障,需及時修理,為了盡快斷定故障發(fā)生點,一般至少需要檢查幾個接點？ 9 1 2 3 4 5 6 7 8 10 11 12 13 14 15 二、學生活動 思考,討論,分小組提出解決方案,在課堂上相互交流.如果有用到二分法思想的解決方案,就由此引入課題;如果沒有類似方案,老師可以適當引導,引入課題. 三、建構數(shù)學 問題2: 1.能否求解以下幾個方程 ⑴x2－2x－1＝0 ⑵2x＝4－x ⑶x3+3x－1＝0 2.不解方程,能否解出它們的近似解？ 解:用配方法可以求得方程x2－2x－1＝0的解,但無法求解另外兩個方程. 在生產(chǎn)實踐中,很多情況下,只需要求出近似解,本課就來學習求解方程近似解的一種方法——二分法. x y 1 2 0 3 y=x2-2x-1 -1 例1不解方程,如何求方程x2－2x－1＝0的一個正的近似解(精確到0.1)? 分析:畫出y＝x2－2x－1的圖象,如圖 由圖象可得：方程x2－2x－1＝0一個根x1在區(qū)間(2,3)內,另一個根x2在區(qū)間(－1,0)內 由此可知：借助函數(shù)f(x)＝ x2－2x－1的圖象,我們發(fā)現(xiàn)f(2)＝－1<0,f(3)＝2>0,這表明此函圖象在區(qū)間(2,3)上穿過x軸一次,可得出方程在區(qū)間(2,3)上有惟一解. 思考:如何進一步有效縮小根所在的區(qū)間? 取區(qū)間(2,3)的中點2.5,計算f(2.5)＝0.25>0 又∵f(2)＝－1<0 ∴方程根在區(qū)間(2,2.5)內 這樣不斷地縮小根所在區(qū)間,由電腦演示出所求近似解x＝2.4 引導學生口述解題過程. 解:設f (x)＝x2－2x－1,設x1為其正的零點 f(2)<0, f(3)>0 ＝> x1∈(2,3) f(2)<0,f(2.5)＝0.25>0 ＝> x1∈(2,2.5) f(2.25)<0, f(2.5)>0 ＝> x1∈(2.25,2.5) f(2.375)<0, f(2.5)>0 ＝> x1∈(2.375,2.5) f(2.375)<0, f(2.4375)>0 ＝> x1∈(2.375,2.4375) ∵ 2.375與2.4375的近似值都是2.4, ∴x1≈2.4 對于在區(qū)間[a,b]上連續(xù)不斷,且f (a)f (b)<0的函數(shù)y＝f (x),通過不斷地把函數(shù)f(x)的零點所在的區(qū)間一分為二,使區(qū)間的兩端點逐步逼近零點,進而得到零點(或對應方程的根)近似解的方法叫做二分法. 注意: 1.函數(shù)y＝f (x)在[a,b]上連續(xù)不斷; 2.y＝f (x)滿足 f (a)f (b)<0. 二分法求解方程f(x)＝0(或g(x)＝h(x))近似解的基本步驟: 1.尋找解所在的區(qū)間: ⑴圖象法;⑵函數(shù)狀態(tài)法(利用f (m)f (n)<0,則在(m,n)內必有零點); 2.不斷將解所在的區(qū)間一分為二; 3.根據(jù)精確度得出近似解. 困難在哪里?確定第一個區(qū)間! 四、數(shù)學運用 1．例題 1 2 x y 4 0 4 y=2x y=4－x 1 例2:利用計算器,求方程2x＝4－x的近似解(精確到0.1) 在同一坐標系內畫函數(shù)y＝2x與y＝4－x的圖象,如圖: 得方程有一個解x0∈(0,2) 解：設函數(shù)f (x)＝2x+x－4 則f (x)在R上是增函數(shù) ∵f (0)＝－3<0, f (2)＝2>0 ∴ f (x)在(0,2)內有惟一零點, ∴方程2x+x－4＝0在(0,2)內有惟一解x0. 由f (1)＝－1<0, f (2)＝2>0得:x0∈(1,2) 由f (1.5)＝0.33>0, f (1)＝－1<0得:x0∈(1,1.5) 由f (1.25)＝－0.37<0, f (1.5)>0得:x0∈(1.25,1.5) 由f (1.375)＝－0.031<0, f (1.5)>0得:x0∈(1.375,1.5) 由f (1.4375)＝0.146>0, f (1.375)<0得:x0∈(1.375,1.4375) ∵ 1.375與1.4375的近似值都是1.4, ∴x0≈1.4 2.練習:求方程x3+3x－1＝0的一個近似解(精確到0.01). (畫y＝x3+3x－1的圖象比較困難,變形為x3＝1－3x,畫兩個函數(shù)的圖象,有惟一解x0∈(0,1)) 五、回顧小結 回顧小結:本課學習了 1.二分法的解題思想,知道了二分法是一種求一元方程近似解的方法; 2.了解了二分法的解題步驟,學會用二分法求某些一元方程的近似解. 六、課外作業(yè) 作業(yè):P81 習題2.5 3 5⑴ 2.預習課本P82~84 2.6函數(shù)模型及應用 預習題:認真閱讀本節(jié)的三個例題,理解其解法. 江蘇省淮州中學 曾寧江