2018-2019年高中數(shù)學(xué) 第一章 計(jì)數(shù)原理 1.1 第一課時(shí) 兩個(gè)計(jì)數(shù)原理及其簡(jiǎn)單應(yīng)用 學(xué)案學(xué)案 新人教A版選修2-3.doc
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第一課時(shí) 兩個(gè)計(jì)數(shù)原理及其簡(jiǎn)單應(yīng)用 [教材研讀] 預(yù)習(xí)教材P2~12,思考以下問(wèn)題 1.什么是分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理? 2.分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理有怎樣的區(qū)別與聯(lián)系? [要點(diǎn)梳理] 1.分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理 2.分步乘法計(jì)數(shù)原理 3.兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的區(qū)別 [自我診斷] 判斷(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“”) 1.在分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理中,兩類(lèi)不同方案中的方法可以相同.( ) 2.在分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理中,每類(lèi)方案中的方法都能完成這件事.( ) 3.在分步乘法計(jì)數(shù)原理中,每個(gè)步驟中完成這個(gè)步驟的方法是各不相同的.( ) 4.在分步乘法計(jì)數(shù)原理中,事情若是分兩步完成的,那么其中任何一個(gè)單獨(dú)的步驟都不能完成這件事,只有兩個(gè)步驟都完成后,這件事情才算完成.( ) [答案] 1. 2.√ 3.√ 4.√ 思考:若完成一件事情有n類(lèi)不同的方案,在第1類(lèi)方案中有m1種不同方法,在第2類(lèi)方案中有m2種不同的方法,…,在第n類(lèi)方案中有mn種不同的方法,那么完成這件事共有多少種不同方法? 提示:完成這件事共有m1+m2+…+mn種不同方法. 某校高三共有三個(gè)班,其各班人數(shù)如下表 班級(jí) 男生數(shù) 女生數(shù) 總數(shù) 高三1班 30 20 50 高三2班 30 30 60 高三3班 35 20 55 (1)從三個(gè)班中選一名學(xué)生任學(xué)生會(huì)主席,有多少種不同的選法? (2)從1班、2班男生中或從3班女生中選一名學(xué)生任學(xué)生會(huì)生活部部長(zhǎng),有多少種不同的選法? [思路導(dǎo)引] 采用分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理求解時(shí),關(guān)鍵是找好每一類(lèi)方法中有多少種不同方法. [解] (1)從三個(gè)班中任選一名學(xué)生,可分三類(lèi): 第一類(lèi),從1班任選一名學(xué)生,有50種不同選法; 第二類(lèi),從2班任選一名學(xué)生,有60種不同選法; 第三類(lèi),從3班任選一名學(xué)生,有55種不同選法. 由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理知,不同的選法種數(shù)為 N=50+60+55=165. (2)由題設(shè)知共有三類(lèi)方案: 第一類(lèi),從1班男生中任選一名學(xué)生,有30種不同選法; 第二類(lèi),從2班男生中任選一名學(xué)生,有30種不同選法; 第三類(lèi),從3班女生中任選一名學(xué)生,有20種不同選法. 由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理知,不同的選法種數(shù)為 N=30+30+20=80. (1)能用分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理解決的問(wèn)題具有如下特點(diǎn): ①完成一件事有若干種方法,這些方法可以分成n類(lèi); ②用每一類(lèi)中的每一種方法都可以完成這件事; ③把各類(lèi)的方法數(shù)相加,就可以得到完成這件事的所有方法數(shù). (2)用分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理解題應(yīng)注意以下問(wèn)題: ①明確題目中所指的“完成一件事”是什么事,完成這件事可以有哪些辦法,怎樣才算完成這件事; ②分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理中的“分類(lèi)”要全面、不能遺漏,但也不能重復(fù)、交叉; ③若完成某件事情有n類(lèi)辦法,則它們兩兩的交集為空集,n類(lèi)的并集為全集. [跟蹤訓(xùn)練] 在所有的兩位數(shù)中,個(gè)位數(shù)字大于十位數(shù)字的兩位數(shù)的個(gè)數(shù)為_(kāi)_______. [解析] (1)解法一:根據(jù)題意,將十位上的數(shù)字按1,2,3,4,5,6,7,8的情況分成8類(lèi),在每一類(lèi)中滿(mǎn)足題目條件的兩位數(shù)分別是8個(gè),7個(gè),6個(gè),5個(gè),4個(gè),3個(gè),2個(gè),1個(gè).由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理知,符合條件的兩位數(shù)共有8+7+6+5+4+3+2+1=36(個(gè)). 解法二:分析個(gè)位數(shù)字,可分以下幾類(lèi): 個(gè)數(shù)是9,則十位可以是1,2,3,…,8中的一個(gè),故共有8個(gè); 個(gè)位是8,則十位可以是1,2,3,…,7中的一個(gè),故共有7個(gè); 同理,個(gè)位是7的有6個(gè); …… 個(gè)位是2的有1個(gè). 由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理知,符合條件的兩位數(shù)共有8+7+6+5+4+3+2+1=36(個(gè)). [答案] 36 [變式] 若本題條件變?yōu)閭€(gè)位數(shù)字小于十位數(shù)字且為偶數(shù),那么這樣的兩位數(shù)有多少個(gè). [解] 當(dāng)個(gè)位數(shù)字是8時(shí),十位數(shù)字取9,只有1個(gè). 當(dāng)個(gè)位數(shù)字是6時(shí),十位數(shù)字可取7,8,9,共3個(gè). 當(dāng)個(gè)位數(shù)字是4時(shí),十位數(shù)字可取5,6,7,8,9,共5個(gè). 同理可知,當(dāng)個(gè)位數(shù)字是2時(shí),共7個(gè), 當(dāng)個(gè)位數(shù)字是0時(shí),共9個(gè). 由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理知,符合條件的兩位數(shù)共有1+3+5+7+9=25(個(gè)). 題型二 分步乘法計(jì)數(shù)原理 思考:完成一件事需要n個(gè)步驟,做第1步有m1種不同的方法,做第2步有m2種不同的方法,…,做第n步有mn種不同的方法,則完成這件事共有多少種不同的方法? 提示:完成這件事共有m1m2…mn種不同的方法. 已知集合M={-3,-2,-1,0,1,2},P(a,b)(a,b∈M)表示平面上的點(diǎn).問(wèn): (1)點(diǎn)P可表示平面上多少個(gè)不同的點(diǎn)? (2)點(diǎn)P可表示平面上第二象限內(nèi)多少個(gè)不同的點(diǎn)? [思路導(dǎo)引] 利用分步乘法計(jì)數(shù)原理求解,在求解過(guò)程中注意完成每一步有多少種不同方法. [解] (1)確定平面上的點(diǎn)P(a,b),可分兩步完成:第1步確定a的值,有6種不同的結(jié)果;第2步確定b的值,也有6種不同的結(jié)果.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理,得到點(diǎn)P可表示平面上不同點(diǎn)的個(gè)數(shù)為66=36. (2)確定平面上第二象限內(nèi)的點(diǎn)P(a,b),可分兩步完成:第1步確定a的值,由于a<0,所以有3種不同的結(jié)果;第2步確定b的值,由于b>0,所以有2種不同的結(jié)果.由分步乘法計(jì)數(shù)原理,得到點(diǎn)P可表示平面上第二象限內(nèi)不同的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為32=6. (1)能用分步乘法計(jì)數(shù)原理解決的問(wèn)題具有如下特點(diǎn): ①完成一件事需要經(jīng)過(guò)n個(gè)步驟,缺一不可; ②完成每一步都有若干種方法; ③把各個(gè)步驟的方法數(shù)相乘,就可以得到完成這件事的所有方法數(shù). (2)利用分步乘法計(jì)數(shù)原理應(yīng)注意: ①要按事件發(fā)生的過(guò)程合理分步,即分步是有先后順序的; ②“步”與“步”之間是連續(xù)的、不間斷的、缺一不可的,但也不能重復(fù)、交叉; ③若完成某件事情需n步,則必須且只需依次完成這n個(gè)步驟后,這件事情才算完成. [跟蹤訓(xùn)練] 從1,2,3,4中選三個(gè)數(shù)字,組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的整數(shù),則分別滿(mǎn)足下列條件的數(shù)有多少個(gè)? (1)三位數(shù); (2)三位數(shù)的偶數(shù). [解] (1)三位數(shù)有三個(gè)數(shù)位, 故可分三個(gè)步驟完成: 第1步,排個(gè)位,從1,2,3,4中選1個(gè)數(shù)字,有4種方法; 第2步,排十位,從剩下的3個(gè)數(shù)字中選1個(gè),有3種方法; 第3步,排百位,從剩下的2個(gè)數(shù)字中選1個(gè),有2種方法.依據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理,共有432=24個(gè)滿(mǎn)足要求的三位數(shù). (2)分三個(gè)步驟完成: 第1步,排個(gè)位,從2,4中選1個(gè),有2種方法; 第2步,排十位,從余下的3個(gè)數(shù)字中選1個(gè),有3種方法; 第3步,排百位,只能從余下的2個(gè)數(shù)字中選1個(gè),有2種方法. 故共有232=12個(gè)三位數(shù)的偶數(shù). 思考:如何區(qū)分一個(gè)問(wèn)題是“分類(lèi)”還是“分步”? 提示:如果完成這件事,可以分幾種情況,每種情況中任何一種方法都能完成任務(wù),則是分類(lèi);而從其中一種情況中任取一種方法只能完成一部分任務(wù),且只有依次完成各種情況,才能完成這件事,則是分步. (鏈接教材P5—例3)王華同學(xué)有課外參考書(shū)若干本,其中有5本不同的外語(yǔ)書(shū),4本不同的數(shù)學(xué)書(shū),3本不同的物理書(shū),他欲帶參考書(shū)到圖書(shū)館閱讀. (1)若他從這些參考書(shū)中帶1本去圖書(shū)館,有多少種不同的帶法? (2)若帶外語(yǔ)、數(shù)學(xué)、物理參考書(shū)各1本,有多少種不同的帶法? (3)若從這些參考書(shū)中選2本不同學(xué)科的參考書(shū)帶到圖書(shū)館,有多少種不同的帶法? [思路導(dǎo)引] 解決兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用問(wèn)題,首先應(yīng)明確所需完成的事情是什么,再分析每一種做法完成后,是否完成整件事,從而區(qū)分分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理. [解] (1)要完成的事情是帶1本參考書(shū),無(wú)論是帶外語(yǔ)書(shū),還是帶數(shù)學(xué)書(shū)、物理書(shū),事情都可完成,從而根據(jù)分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理,共有5+4+3=12種不同的帶法. (2)要完成的事情是帶3本不同學(xué)科的參考書(shū),只有從外語(yǔ)、數(shù)學(xué)、物理書(shū)中各選1本后,才能完成這件事,因此根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理,共有543=60種不同的帶法. (3)選1本外語(yǔ)書(shū)和1本數(shù)學(xué)書(shū)應(yīng)用分步乘法計(jì)數(shù)原理,有54=20種選法;同樣,選外語(yǔ)書(shū)、物理書(shū)各1本,有53=15種選法;選數(shù)學(xué)書(shū)、物理書(shū)各1本,有43=12種選法.即有三類(lèi)情況,根據(jù)分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理,共有20+15+12=47種不同的帶法. 對(duì)于兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用問(wèn)題,一般是先分類(lèi)再分步,分類(lèi)時(shí)要設(shè)計(jì)好標(biāo)準(zhǔn),設(shè)計(jì)好分類(lèi)方案,防止重復(fù)和遺漏;分步時(shí)要注意步與步之間的連續(xù)性,同時(shí)應(yīng)合理設(shè)計(jì)步驟的順序,使各步互不干擾,也可以根據(jù)題意恰當(dāng)合理地畫(huà)出示意圖或者列出表格,使問(wèn)題的實(shí)質(zhì)直觀地顯現(xiàn)出來(lái),從而便于我們解題. [跟蹤訓(xùn)練] 某地政府召集5家企業(yè)的負(fù)責(zé)人開(kāi)會(huì),已知甲企業(yè)有2人到會(huì),其余4家企業(yè)各有1人到會(huì),會(huì)上有3人發(fā)言,則這3人來(lái)自3家不同企業(yè)的可能情況為多少種? [解] 分兩類(lèi):第一類(lèi)是甲企業(yè)有1人發(fā)言,有2種情況,另2個(gè)發(fā)言人來(lái)自其余4家企業(yè),有6種情況,根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可得共有26=12(種)情況; 另一類(lèi)是3人全來(lái)自其余4家企業(yè),共有4種情況.根據(jù)分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理可得共有12+4=16(種)情況. 1.本節(jié)課的重點(diǎn)是分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理,難點(diǎn)是兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的靈活應(yīng)用. 2.本節(jié)課要重點(diǎn)掌握的規(guī)律方法 (1)用分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理解決有關(guān)問(wèn)題,見(jiàn)典例1; (2)用分步乘法計(jì)數(shù)原理解決有關(guān)問(wèn)題,見(jiàn)典例2; (3)兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用,見(jiàn)典例3. 3.兩個(gè)原理的綜合應(yīng)用問(wèn)題應(yīng)先分類(lèi)后分步,分類(lèi)時(shí)應(yīng)“不重不漏”,分步時(shí)要做到步驟完整,這是本節(jié)課的易錯(cuò)點(diǎn).- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問(wèn)題本站不予受理。
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