2020高考數(shù)學(xué)刷題首選卷 第五章 不等式、推理與證明、算法初步與復(fù)數(shù) 考點測試37 直接證明與間接證明 文(含解析).docx
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考點測試37 直接證明與間接證明 高考概覽 考綱研讀 1.了解直接證明的兩種基本方法——分析法和綜合法;了解分析法和綜合法的思考過程和特點 2.了解反證法的思考過程和特點 一、基礎(chǔ)小題 1.命題“對于任意角θ,cos4θ-sin4θ=cos2θ”的證明:“cos4θ-sin4θ=(cos2θ-sin2θ)(cos2θ+sin2θ)=cos2θ-sin2θ=cos2θ”過程應(yīng)用了( ) A.分析法 B.綜合法 C.綜合法、分析法綜合使用 D.間接證明法 答案 B 解析 因為證明過程是“從左往右”,即由條件?結(jié)論. 2.用反證法證明結(jié)論“三角形內(nèi)角至少有一個不大于60”,應(yīng)假設(shè)( ) A.三個內(nèi)角至多有一個大于60 B.三個內(nèi)角都不大于60 C.三個內(nèi)角都大于60 D.三個內(nèi)角至多有兩個大于60 答案 C 解析 “三角形內(nèi)角至少有一個不大于60”即“三個內(nèi)角至少有一個小于等于60”,其否定為“三角形內(nèi)角都大于60”.故選C. 3.若a,b,c是不全相等的實數(shù),求證:a2+b2+c2>ab+bc+ca. 證明過程如下: ∵a,b,c∈R,∴a2+b2≥2ab, b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ac. 又∵a,b,c不全相等, ∴以上三式至少有一個“=”不成立. ∴將以上三式相加得2(a2+b2+c2)>2(ab+bc+ac). ∴a2+b2+c2>ab+bc+ca. 此證法是( ) A.分析法 B.綜合法 C.分析法與綜合法并用 D.反證法 答案 B 解析 由已知條件入手證明結(jié)論成立,滿足綜合法的定義. 4.分析法又稱執(zhí)果索因法,若用分析法證明:“設(shè)a>b>c,且a+b+c=0,求證0 B.a(chǎn)-c>0 C.(a-b)(a-c)>0 D.(a-b)(a-c)<0 答案 C 解析 0 ?(a-c)(2a+c)>0?(a-c)(a-b)>0. 5.若P=+,Q=+,a≥0,則P,Q的大小關(guān)系是( ) A.P>Q B.P=Q C.Pb,ab>0,m=-,n=,則m,n的大小關(guān)系是________. 答案 n>m 解析 解法一(取特殊值法):取a=2,b=1,則m?a0,顯然成立. 一、高考大題 1.(2018北京高考)設(shè)n為正整數(shù),集合A={α|α=(t1,t2,…,tn),tk∈{0,1},k=1,2,…,n}.對于集合A中的任意元素α=(x1,x2,…,xn)和β=(y1,y2,…,yn),記M(α,β)=[(x1+y1-|x1-y1|)+(x2+y2-|x2-y2|)+…+(xn+yn-|xn-yn|)]. (1)當n=3時,若α=(1,1,0),β=(0,1,1),求M(α,α)和M(α,β)的值; (2)當n=4時,設(shè)B是A的子集,且滿足:對于B中的任意元素α,β,當α,β相同時,M(α,β)是奇數(shù);當α,β不同時,M(α,β)是偶數(shù).求集合B中元素個數(shù)的最大值; (3)給定不小于2的n,設(shè)B是A的子集,且滿足:對于B中的任意兩個不同的元素α,β,M(α,β)=0.寫出一個集合B,使其元素個數(shù)最多,并說明理由. 解 (1)因為α=(1,1,0),β=(0,1,1), 所以M(α,α)=[(1+1-|1-1|)+(1+1-|1-1|)+(0+0-|0-0|)]=2, M(α,β)=[(1+0-|1-0|)+(1+1-|1-1|)+(0+1-|0-1|)]=1. (2)設(shè)α=(x1,x2,x3,x4)∈B, 則M(α,α)=x1+x2+x3+x4. 由題意知x1,x2,x3,x4∈{0,1},且M(α,α)為奇數(shù), 所以x1,x2,x3,x4中1的個數(shù)為1或3. 所以B?{(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1),(0,1,1,1),(1,0,1,1),(1,1,0,1),(1,1,1,0)}. 將上述集合中的元素分成如下四組: (1,0,0,0),(1,1,1,0);(0,1,0,0),(1,1,0,1);(0,0,1,0),(1,0,1,1);(0,0,0,1),(0,1,1,1). 經(jīng)驗證,對于每組中兩個元素α,β均有M(α,β)=1. 所以每組中的兩個元素不可能同時是集合B的元素. 所以集合B中元素的個數(shù)不超過4. 又集合{(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)}滿足條件, 所以集合B中元素個數(shù)的最大值為4. (3)設(shè)Sk={(x1,x2,…,xn)|(x1,x2,…,xn)∈A, xk=1,x1=x2=…=xk-1=0}(k=1,2,…,n), Sn+1={(x1,x2,…,xn)|x1=x2=…=xn=0}, 所以A=S1∪S2∪…∪Sn+1. 對于Sk(k=1,2,…,n-1)中的不同元素α,β,經(jīng)驗證,M(α,β)≥1. 所以Sk(k=1,2,…,n-1)中的兩個元素不可能同時是集合B的元素. 所以B中元素的個數(shù)不超過n+1. 取ek=(x1,x2,…,xn)∈Sk且xk+1=…=xn=0(k=1,2,…,n-1). 令B={e1,e2,…,en-1}∪Sn∪Sn+1,則集合B的元素個數(shù)為n+1,且滿足條件. 故B是一個滿足條件且元素個數(shù)最多的集合. 2.(2018江蘇高考)記f′(x),g′(x)分別為函數(shù)f(x),g(x)的導(dǎo)函數(shù),若存在x0∈R,滿足f(x0)=g(x0)且f′(x0)=g′(x0),則稱x0為函數(shù)f(x)與g(x)的一個“S點”. (1)證明:函數(shù)f(x)=x與g(x)=x2+2x-2不存在“S點”; (2)若函數(shù)f(x)=ax2-1與g(x)=ln x存在“S點”,求實數(shù)a的值; (3)已知函數(shù)f(x)=-x2+a,g(x)=,對任意a>0,判斷是否存在b>0,使函數(shù)f(x)與g(x)在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)存在“S點”,并說明理由. 解 (1)證明:函數(shù)f(x)=x,g(x)=x2+2x-2, 則f′(x)=1,g′(x)=2x+2, 由f(x)=g(x)且f′(x)=g′(x), 得此方程組無解. 因此,f(x)=x與g(x)=x2+2x-2不存在“S點”. (2)函數(shù)f(x)=ax2-1,g(x)=ln x, 則f′(x)=2ax,g′(x)=, 設(shè)x0為f(x)與g(x)的“S點”,由f(x0)=g(x0)且f′(x0)=g′(x0),得 即(*) 得ln x0=-,即x0=e-,則a==. 當a=時,x0=e-滿足方程組(*), 即x0為f(x)與g(x)的“S點”,因此,a的值為. (3)f′(x)=-2x,g′(x)=,x≠0, f′(x0)=g′(x0)?bex0=->0?x0∈(0,1), f(x0)=g(x0)?-x+a==-? a=x-, 令h(x)=x2--a=, x∈(0,1),a>0, 設(shè)m(x)=-x3+3x2+ax-a,x∈(0,1),a>0, 則m(0)=-a<0,m(1)=2>0?m(0)m(1)<0, 又m(x)的圖象在(0,1)上連續(xù)不斷, ∴m(x)在(0,1)上有零點,則h(x)在(0,1)上有零點.因此,對任意a>0,存在b>0,使函數(shù)f(x)與g(x)在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)存在“S點”. 二、模擬大題 3.(2018貴州安順調(diào)研)已知函數(shù)f(x)=3x-2x,求證:對于任意的x1,x2∈R,均有≥f. 證明 要證明≥f, 即證明≥3-2, 因此只要證明-(x1+x2)≥3-(x1+x2), 即證明≥3, 因此只要證明≥, 由于x1,x2∈R時,3x1>0,3x2>0, 由基本不等式知≥(當且僅當x1=x2時,等號成立)顯然成立, 故原結(jié)論成立. 4.(2018山東臨沂三校聯(lián)考)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且滿足an+Sn=2. (1)求數(shù)列{an}的通項公式; (2)求證:數(shù)列{an}中不存在三項按原來順序成等差數(shù)列. 解 (1)當n=1時,a1+S1=2a1=2,則a1=1. 又an+Sn=2,所以an+1+Sn+1=2, 兩式相減得an+1=an,所以{an}是首項為1,公比為的等比數(shù)列,所以an=. (2)證明:(反證法)假設(shè)存在三項按原來順序成等差數(shù)列,記為ap+1,aq+1,ar+1(p 下載提示(請認真閱讀)
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