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2019-2020年高一數(shù)學(xué)上冊(cè)必修12.5《不等式的證明》教案 一、教學(xué)內(nèi)容分析 有關(guān)不等式的證明問題一直是數(shù)學(xué)中的難點(diǎn)，除一些基本方法外還牽涉到相當(dāng)多的技巧問題.作為高一的不等式證明重在基本證明思路、方法的介紹，所以教材中也不牽涉過多的技巧問題，主要涉及利用不等式基本性質(zhì)以及基本不等式來進(jìn)行證明. 二、教學(xué)目標(biāo)設(shè)計(jì) 1、掌握用比較法、綜合法和分析法證明不等式的基本思路. 2、能利用比較法、綜合法和分析法進(jìn)行簡(jiǎn)單不等式的證明. 3、在證明的過程中，加強(qiáng)不等式性質(zhì)及基本不等式的應(yīng)用. 4、代數(shù)證明基本能力的提升以及邏輯推理水平的進(jìn)一步加強(qiáng)。 三、教學(xué)重點(diǎn)及難點(diǎn) 重點(diǎn) 利用比較法、綜合法和分析法進(jìn)行簡(jiǎn)單不等式的證明. 難點(diǎn) 分析法的基本思路及其表達(dá). 四、教學(xué)過程設(shè)計(jì) 一、比較法 比較法有兩種： （1）比差法：求差與比. （2）比商法：求商與比，要注意討論分母的符號(hào). 例1 求證：（1）. （2）. 證明：（1）因?yàn)椋? 所以，. （2）因?yàn)椋? 所以，. [說明] 本例的幾何意義. （1）的圖像在的下方，如圖所示（A點(diǎn)比B點(diǎn)低1個(gè)單位）. （2）的圖像在的圖像上方，如圖所示（A點(diǎn)比B點(diǎn)高）. 例2 設(shè)，，求證：.（補(bǔ)充） 證明： 因?yàn)椋?，又，，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立， 所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.故 . 另證：因?yàn)?，，所以，則 .當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立. 又，，故 .當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立. [說明] 此例采用了比差和比商兩種方法給出證明，由證明過程體會(huì)兩種方法各自的“優(yōu)點(diǎn)”. 二、綜合法 從已知條件出發(fā)，利用各種已知的定理和運(yùn)算性質(zhì)作為依據(jù)，推導(dǎo)出要證的結(jié)論.這種證明方法稱為綜合法. 例3 已知、、均為正數(shù)，求證：. 證明： ， 因?yàn)椤?、均為正?shù)，由基本不等式2和不等式性質(zhì)得： 即，. 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立. 所以，不等式成立. 例4 已知、，求證：. 證明：.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.所以不等式成立. 例5 求證：. 證明：因?yàn)?，由基本不等式得? .當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立. 所以，不等式成立. [說明] 此例給出了如何利用基本不等式求函數(shù)最值的一種方法. 例6 求證：. 證明：一方面， . 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立. 另一方面，.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立. 所以，，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)同時(shí)成立. [說明] 利用基本不等式證明此例有一定難度，可適當(dāng)選用. 三、分析法 從要證的結(jié)論出發(fā)，經(jīng)過適當(dāng)?shù)淖冃危治龀鍪惯@個(gè)結(jié)論成立的條件，把證明結(jié)論轉(zhuǎn)化為判定這些條件是否成立的問題，如果能夠判定這些條件都成立，那么就可以斷定原結(jié)論成立.這種證明方法稱為分析法. 分析法也可以如下敘述為： 欲證結(jié)論，需先證得， 欲要證得，需先證得， 欲要證得，需先證得， ……………………………， 欲要證得，需先證得. 當(dāng)成立時(shí)，若以上步步可逆，則結(jié)論成立.用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述，必須保證下述過程成立 …，因?yàn)槌闪?，所以結(jié)論成立. [說明] 分析法的證明過程即是不斷尋找充分條件的過程.由于分析法要求的是步步逆向成立，所以需慎重使用. 例7 求證：. 證明：因?yàn)?，，則要證成立， 即證成立， 即證成立. 即證成立，即證成立，即證成立. 因?yàn)槌闪?，且以上步步可逆，所以? 例8 已知：，求證：. 證明：要證成立， 即證成立 即證成立， 即證成立， 由成立，且以上步步可逆，故有 . 例9 設(shè)、，求證：，并指出等號(hào)成立的條件. 證：先證“”. 注意到，，則對(duì)于任意、，要證成 即證成立， 即證成立， 即證成立， 由絕對(duì)值定義知，任意、，都有，且以上步步可逆，因而，且等號(hào)成立. 再證；“”. 由，，則對(duì)于任意、，要證成立， 即證成立， 即證成立， 即證成立， 即證成立， 由絕對(duì)值定義知，任意、，都有，且以上步步可逆，因而，且等號(hào)成立； 綜上可得，任意、，不等式成立. 例9證明的不等式對(duì)任意的實(shí)數(shù)、成立，以換得到的不等式，即也成立，此時(shí)，右端等號(hào)成立，左端等號(hào)成立. 以上證得的兩個(gè)不等式，是絕對(duì)值不等式的重要性質(zhì)，稱之為 三角不等式 對(duì)于任意、， （1），左端等號(hào)成立，右端等號(hào)成立 （2），左端等號(hào)成立，右端等號(hào)成立. [說明] 有關(guān)三角不等式的教學(xué)是講全還是選講其中部分，可適學(xué)生的具體情況而定. 例10 已知，，求證：. 證明：由三角不等式可得： .所以，. [說明] 此例為練習(xí)2.4（5）中的一題. 四、課堂小結(jié) 五、作業(yè)布置 選用練習(xí)2.4（4）（5）（6）、習(xí)題2.3中的部分練習(xí). 五、教學(xué)目標(biāo)說明 有關(guān)不等式的證明可分為兩個(gè)課時(shí)進(jìn)行.第一課時(shí)為比較法、綜合法；第二課時(shí)為分析法. 有關(guān)不等式證明問題的教學(xué)應(yīng)側(cè)重于基本思路與基本方法的講解，難度不易過高，特別是在證明的技巧性上需嚴(yán)格控制，只需對(duì)不等式的基本性質(zhì)以及基本不等式做適當(dāng)應(yīng)用即可. 教學(xué)中的難點(diǎn)為分析法的講解，一定要慎重.講清思路以及它的理論依據(jù)，特別在書寫格式上應(yīng)提出嚴(yán)格的要求，防止學(xué)生出現(xiàn)證明過程由結(jié)論推至條件的嚴(yán)重錯(cuò)誤. 三種方法介紹完之后，師生應(yīng)有所歸納與小結(jié)，理清證明思路.事實(shí)上，一題往往會(huì)有多種證法，關(guān)鍵在于對(duì)題目的分析，選用哪種證法更為合適顯得尤為重要.