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2019-2020年人教版數(shù)學(xué)必修第二冊上《點到直線的距離》說課教案 課題：點到直線的距離 教材：人教版全日制普通高級中學(xué)教科書（必修）《數(shù)學(xué)》第二冊（上）第七章第3節(jié) 教學(xué)目標(biāo)： (1) 至少掌握點到直線的距離公式的一種推導(dǎo)方法，能用公式來求點到直線距離。 (2) 培養(yǎng)學(xué)生探究能力和由特殊到一般的研究問題的能力。 (3) 認識事物（知識）之間相互聯(lián)系、互相轉(zhuǎn)化的辯證法思想，培養(yǎng)學(xué)生轉(zhuǎn)化的思想和綜合應(yīng)用知識分析問題解決問題的能力。 (4) 培養(yǎng)學(xué)生團隊合作精神，培養(yǎng)學(xué)生個性品質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生勇于探究的科學(xué)精神。 教學(xué)重點：點到直線的距離公式推導(dǎo)及公式的應(yīng)用 教學(xué)難點：點到直線的距離公式的推導(dǎo) 教學(xué)方法：啟發(fā)引導(dǎo)法、討論法 學(xué)習(xí)方法：任務(wù)驅(qū)動下的研究性學(xué)習(xí) 教學(xué)時間：45分鐘 教學(xué)過程： 1 .教師提出問題，引發(fā)認知沖突（約5分鐘） 問題：假定在直角坐標(biāo)系上，已知一個定點P（x0 ,y0）和一條定直線l： Ax+By+C=0，那么如何求點P到直線l的距離d？請學(xué)生思考并回答。 學(xué)生1：先過點P作直線l的垂線，垂足為Q，則|PQ|就是點P到直線l的距離d；然后用點斜式寫出垂線方程，并與原直線方程聯(lián)立方程組，此方程組的解就是點Q的坐標(biāo)；最后利用兩點間距離公式求出|PQ|。 接著，教師用投影出示下列5道題(嘗試性題組)，請5位學(xué)生上黑板練習(xí)（第（4）題請一位運算能力強的同學(xué)，其余學(xué)生在下面自己練習(xí)，每做完一題立即講評）： (1)求P（1 ,2）到直線l：x=3的距離d;（答案：d=2） (2)求P（x0 ,y0）到直線l：By+C=0（B≠0）的距離d；（答案：） (3) 求P（x0 ,y0）到直線l：Ax+C=0（A≠0）的距離d；（答案：） (4) 求P（6 ,7）到直線l：3x-4y+5=0的距離d；（答案：d=1） (5) 求P（x0 ,y0）到直線l：Ax+By+C=0（AB≠0）的距離d。 第（1）容易、（2）和（3）題雖然含有字母參數(shù)，但由于直線的位置比較特殊，學(xué)生不難得出正確結(jié)論；第（4）題雖然運算量較大，但按照剛才學(xué)生1回答的方法與步驟，也能順利解出正確答案；第（5）題雖然思路清晰，但由于字母參數(shù)過多、運算量太大行不通。學(xué)生們陷入了困境。 2．教師啟發(fā)引導(dǎo)，學(xué)生走出困境（約8分鐘） 教師：根據(jù)以上5位學(xué)生的運算結(jié)果，你能得到什么啟示？ 學(xué)生2：當(dāng)直線的位置比較特殊（水平或豎直）時，點到直線的距離容易求得，而當(dāng)直線是傾斜位置時則較難；含有多個字母時雖然想起來思路很自然，但具體操作起來因計算量很大而無法得出結(jié)果。 P(x0,y0) Q 圖1 教師：那么，練習(xí)（5）有沒有運算量小一點的推導(dǎo)方法呢？我們能不能根據(jù)剛才的第（2）、（3）的啟示，借助水平、豎直情形和平面幾何知識來解決傾斜即一般情況呢？請同學(xué)們思考。 學(xué)生3：能！如圖1，過點P作x、y 軸的垂線分別交直線l于S、R，則由三角形面積公式可得 |PQ|=（|PR||PS|）/|RS| 教師：|PR|怎么求？|PS|又怎么求？ 學(xué)生3：設(shè)R（x1 ,y0），則由Ax1+By0+C=0， 得x1= —（By0+C）／A， ∴|PR|=| x0- x1|=|Ax0+By0+C|／|A|； 同理：|PS|=|Ax0+By0+C|／|B|。 教師：|RS|怎么求？ 學(xué)生3：|RS|==（/|AB|）|Ax0+By0+C|。 教師：|PQ|結(jié)果是什么？ 學(xué)生3：|PQ|=。 教師：公式的這種推導(dǎo)方法是否需要作補充說明？ 學(xué)生4：當(dāng)A=0或B=0時，ΔPRS不存在，故應(yīng)說明公式當(dāng)A=0或B=0時是否適用？ 由（2）、（3）檢驗可知公式依然成立，即公式對任意直線都適用。 3 .教師提出問題，學(xué)生分組討論（約10分鐘） 教師：推導(dǎo)點到直線的距離公式的方法不少。前面我們學(xué)了函數(shù)、三角函數(shù)、向量、不等式等數(shù)學(xué)知識，你能用所學(xué)過的知識從不同角度、采用不同方法來推導(dǎo)這個公式嗎？請同學(xué)們先獨立思考，然后在小組上進行討論交流，由組長負責(zé)記錄。10分鐘后每組推選一名代表對本組找到的最好的一種推導(dǎo)方法通過實物投影進行“成果”交流。 學(xué)生們積極探討；教師來回巡視，回答各研究小組的詢問…… 4.學(xué)生交流“成果”，教師點評小結(jié)（約16分鐘） 經(jīng)過約十分鐘的研討，各小組都找到了新的推導(dǎo)方法。于是教師請4名代表依次上講臺（讓準備成熟的先講），借助實物投影介紹本組的“成果”。由于時間關(guān)系，每組只要求講一種方法，用時不超過4分鐘，且各組的方法不能重復(fù)。 學(xué)生5：我們用的是“設(shè)而不求，整體代換”的數(shù)學(xué)思想。請看投影屏幕： 設(shè)Q的坐標(biāo)為（x1 ,y1），則直線PQ的斜率k1=，又直線l的斜率k= -，于是由PQ⊥ l得, k1k= -1即B(x1- x0)-A(y1- y0)=0 ① 又因為Ax1+By1+C=0， 即Ax1+By1=-C 兩邊同減Ax0+By0得 A(x1-x0)+B(y1-y0)= - (Ax0+By0+C) ②　 于是①2+②2得, (A2+B2)[(x1-x0)2+(y1-y0)2]= (Ax0+By0+C)2, 即 (A2+B2) d2= (Ax0+By0+C)2 　　　　　所以 d=。 教師：“設(shè)而不求，整體代換”，真是奧妙無窮，這是解析幾何減少運算量的有效途徑，同時也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的內(nèi)在美，妙不可言。 學(xué)生6：我們小組向大家介紹一種獨特的方法——向量法，請看投影屏幕： T(x1,y1) P(x0,y0) Q 圖2 如圖2，設(shè)T（x1 ,y1）為直線l上的任意一點，則Ax1+By1+C=0，=（x1-x0，y1-y0） ∵PQ⊥直線l ， ∴平行于直線l的法向量=（A，B） 另設(shè)與的夾角為θ，則=cosθ 即|A(x1-x0)+B(y1-y0)|= ||| cosθ| 即|Ax0+By0+C|=d ∴d=。 教師：向量是數(shù)量與圖形的有機結(jié)合，解析幾何是用代數(shù)的方法解決幾何問題，兩者都體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想，第三小組的推導(dǎo)方法證明了這一點，也再次說明了向量具有很強的實用性與工具性，用向量法解解析幾何題確實行之有效。 學(xué)生7：：我們小組向大家介紹向量的另一種方法，妙用向量數(shù)量積的性質(zhì)．請看投影屏幕： 如圖3，設(shè)垂足是點H(m,n)， 直線l的法向量共線， 這是相當(dāng)簡單的方法了。 教師：巧妙利用向量數(shù)量積的性質(zhì)來求距離，簡直是“巧奪天工”，與其他方法相比，這種方法有絕對優(yōu)勢，我們必須重視對向量工具性的研究和應(yīng)用。 學(xué)生8：剛才三個小組的證明方法確實精彩，我們也發(fā)現(xiàn)了一種巧妙的方法，把它稱為“柯西不等式法”，請看投影屏幕： 我們知道，P點到直線l的距離,實質(zhì)上是點P與直線l上任意一點T的距離的最小值，于是我們設(shè)T（x1 ,y1）為直線l上的任一點（如圖2），則Ax1+By1+C=0， 而d=|PT|min，于是|PT|= =， 利用柯西不等式，便有|PT|≥=， 所以d=，此時，即PT垂直于直線l。 教師：這一證法果然十分巧妙，包含的數(shù)學(xué)思想十分豐富。由點到直線的距想到最小值，又由最小值想到不等式，在一步步“轉(zhuǎn)化”中問題得到圓滿解決。同時也體現(xiàn)了不等式的工具作用。 5.公式應(yīng)用（學(xué)生練習(xí)，約3分鐘） （1） 求P（6 ,7）到直線l：3x-4y+5=0的距離d. （直接代公式得答案：d=1，檢驗嘗試性題組第（4）的答案） （2）求P（-1,1）到直線l：的距離d. （先化直線方程為一般式再代公式得答案：） 6.教師小結(jié)并布置作業(yè)（約1分鐘） 這節(jié)課我們學(xué)習(xí)了點到直線的距離公式，在公式的推導(dǎo)中學(xué)到了許多重要的數(shù)學(xué)思想和方法，感受到了數(shù)學(xué)的奧妙，也感受到了成功的喜悅。其實這個公式的推導(dǎo)方法不下十種，由于課堂上時間緊，許多同學(xué)有創(chuàng)造性的推導(dǎo)方法不能進行展示、交流，請同學(xué)們撰寫一篇題為《點到直線距離公式的多種推導(dǎo)方法》的數(shù)學(xué)小論文，作為本節(jié)課的作業(yè)，允許三到四人合作完成。 設(shè)計說明： 數(shù)學(xué)公式的教學(xué)應(yīng)包含兩個部分：公式的推導(dǎo)和公式的運用。由于受應(yīng)試教育的影響，前者往往被“輕描淡寫”，而后者卻搞得“轟轟烈烈”，這顯然與“重結(jié)論，但更重過程”的現(xiàn)代教育理念相違背。其實數(shù)學(xué)公式的推導(dǎo)都蘊含著豐富的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法，誰忽視了這個“產(chǎn)生過程”，誰就忽視了數(shù)學(xué)的“精髓”，誰就忽視了學(xué)生探究性思維品質(zhì)的培養(yǎng)。 這節(jié)課把研究性學(xué)習(xí)引入公式的教學(xué)，讓學(xué)生真正成為課堂的主人。在推導(dǎo)公式的過程中，學(xué)生通過克服困難的經(jīng)歷，以及獲得成功的體驗，鍛煉了意志，增強了信心。其實所有公式的教學(xué)、定理的教學(xué)都應(yīng)向這個方向努力。 數(shù)學(xué)教學(xué)，從根本上講就是提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)的有效途徑有二：其一，使學(xué)生善于總結(jié)，使零亂的知識系統(tǒng)化、綜合化；其二，使學(xué)生善于聯(lián)想，培養(yǎng)發(fā)散性思維。本節(jié)課使學(xué)會從不同的角度思考問題，加強知識間的聯(lián)系，正是鍛練、提高學(xué)生運用知識分析問題和解決問題的能力，從而提高數(shù)學(xué)素質(zhì)。 通過公式求點到直線的距離并不困難，但這個公式的推導(dǎo)方法不下十種，且各種推導(dǎo)都蘊含著重要的數(shù)學(xué)思想、方法，由于課堂上時間緊，許多同學(xué)的有創(chuàng)造性的推導(dǎo)方法不能進行展示、交流，故課外請同學(xué)們撰寫一篇題為《點到直線距離公式的多種推導(dǎo)方法》的數(shù)學(xué)小論文作為本節(jié)課的作業(yè)。考慮到同學(xué)的個體差異，故允許三到四人合作完成。同時通過學(xué)生小論文的完成情況對這節(jié)課的教學(xué)效果作出評價。 本課設(shè)計有一定的彈性，實際教學(xué)中，學(xué)生想到的推導(dǎo)方法不一定是上述幾種，我將針對每一種方法的特點進行適當(dāng)?shù)狞c評。進行交流的學(xué)生不一定是四人，若時間不夠，公式應(yīng)用留到下節(jié)課，本節(jié)課只完成公式推導(dǎo)。