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章末綜合測(cè)評(píng)(二) 推理與證明 (時(shí)間：120分鐘，滿分：150分) 一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的) 1．根據(jù)偶函數(shù)定義可推得“函數(shù)f(x)＝x2在R上是偶函數(shù)”的推理過程是(　　) A．歸納推理　　　　 B．類比推理 C．演繹推理 D．非以上答案 C　[根據(jù)演繹推理的定義知，推理過程是演繹推理，故選C.] 2．在△ABC中，E、F分別為AB、AC的中點(diǎn)，則有EF∥BC，這個(gè)問題的大前提為(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：48662104】 A．三角形的中位線平行于第三邊 B．三角形的中位線等于第三邊的一半 C．EF為中位線 D．EF∥BC A　[這個(gè)三段論推理的形式為：大前提：三角形的中位線平行于第三邊；小前提：EF為△ABC的中位線；結(jié)論：EF∥BC.] 3．在△ABC中，tan AtanB＞1，則△ABC是(　　) A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．不確定 A　[∵tan AtanB＞1，∴A，B只能都是銳角， ∴tan A＞0，tanB＞0,1－tan AtanB＜0. ∴tan (A＋B)＝＜0. ∴A＋B是鈍角．∴角C為銳角．故選A.] 4．下列推理正確的是(　　) A．把a(bǔ)(b＋c)與loga(x＋y)類比，則有l(wèi)oga(x＋y)＝logax＋logay B．把a(bǔ)(b＋c)與sin (x＋y)類比，則有sin (x＋y)＝sin x＋sin y C．把a(bǔ)(b＋c)與ax＋y類比，則有ax＋y＝ax＋ay D．把(a＋b)＋c與(xy)z類比，則有(xy)z＝x(yz) D　[(xy)z＝x(yz)是乘法的結(jié)合律，正確．] 5．已知a＋b＋c＝0，則ab＋bc＋ca的值(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：48662105】 A．大于0 B．小于0 C．不小于0 D．不大于0 D　[因?yàn)閍＋b＋c＝0， 所以a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc＝0， 所以ab＋bc＋ca＝－≤0.故選D.] 6．對(duì)“a，b，c是不全相等的正數(shù)”，給出下列判斷： ①(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0； ②a＝b與b＝c及a＝c中至少有一個(gè)成立； ③a≠c，b≠c，a≠b不能同時(shí)成立． 其中判斷正確的個(gè)數(shù)為(　　) A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè) B　[若(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2＝0，則a＝b＝c，與“a，b，c是不全相等的正數(shù)”矛盾，故①正確．a(chǎn)＝b與b＝c及a＝c中最多只能有一個(gè)成立，故②不正確．由于“a，b，c是不全相等的正數(shù)”，有兩種情形：至多有兩個(gè)數(shù)相等或三個(gè)數(shù)都互不相等，故③不正確．] 7．我們把平面幾何里相似形的概念推廣到空間：如果兩個(gè)幾何體大小不一定相等，但形狀完全相同，就把它們叫做相似體．下列幾何體中，一定屬于相似體的有(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：48662106】 ①兩個(gè)球體；②兩個(gè)長(zhǎng)方體；③兩個(gè)正四面體；④兩個(gè)正三棱柱；⑤兩個(gè)正四棱錐． A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè) C　[類比相似形中的對(duì)應(yīng)邊成比例知，①③屬于相似體．] 8．觀察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，則a10＋b10＝(　　) A．28 B．76 C．123 D．199 C　[利用歸納法，a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4＝3＋1，a4＋b4＝4＋3＝7，a5＋b5＝7＋4＝11，a6＋b6＝11＋7＝18，a7＋b7＝18＋11＝29，a8＋b8＝29＋18＝47，a9＋b9＝47＋29＝76，a10＋b10＝76＋47＝123，規(guī)律為從第三組開始，其結(jié)果為前兩組結(jié)果的和．] 9．對(duì)任意的銳角α，β，下列不等式中正確的是(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：48662107】 A．sin (α＋β)＞sin α＋sin β B．sin (α＋β)＞cos α＋cos β C．cos (α＋β)＞sin α＋sin β D．cos (α＋β)＜cos α＋cos β D　[因?yàn)棣?，β為銳角，所以0＜α＜α＋β＜π，所以cos α＞cos(α＋β)．又cos β＞0，所以cos α＋cos β＞cos(α＋β)．] 10．在等差數(shù)列{an}中，若a10＝0，則有等式a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n(n<19且n∈N*)成立，類比上述性質(zhì)，在等比數(shù)列{bn}中，若b11＝1，則有(　　) A．b1b2…bn＝b1b2…b19－n B．b1b2…bn＝b1b2…b21－n C．b1＋b2＋…＋bn＝b1＋b2＋…＋b19－n D．b1＋b2＋…＋bn＝b1＋b2＋…＋b21－n B　[令n＝10時(shí)，驗(yàn)證即知選B.] 11．將石子擺成如圖1的梯形形狀．稱數(shù)列5,9,14,20，…為“梯形數(shù)”．根據(jù)圖形的構(gòu)成，此數(shù)列的第2 018項(xiàng)與5的差，即a2 018－5＝(　　) 圖1 A．20232018 B．20232017 C．10122016 D．10122017 D　[an－5表示第n個(gè)梯形有n－1層點(diǎn)，最上面一層為4個(gè)，最下面一層為n＋2個(gè)． ∴an－5＝，∴a2 018－5＝＝2 0171 012.] 12．如圖2中(1)，在△ABC中，AB⊥AC于點(diǎn)A，AD⊥BC于點(diǎn)D，則有AB2＝BDBC，類似地有命題：如圖(2)，在三棱錐A－BCD中，AD⊥面ABC，若A在△BCD內(nèi)的射影為O，則S＝S△BCOS△BCD，那么上述命題(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：48662108】 圖2 A．是真命題 B．增加條件“AB⊥AC”后才是真命題 C．是假命題 D．增加條件“三棱錐A－BCD是正三棱錐”后才是真命題 A　[由已知垂直關(guān)系，不妨進(jìn)行如下類比：將題圖(2)中的△ABC，△BCO，△BDC分別與題圖(1)中的AB，BD，BC進(jìn)行類比即可．嚴(yán)格推理如下：連結(jié)DO并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)E，連結(jié)AE(圖略)，則DE⊥BC，AE⊥BC.因?yàn)锳D⊥面ABC，所以AD⊥AE.又因?yàn)锳O⊥DE，所以AE2＝EOED，所以S＝(BCEA)2＝(BCEO)(BCED)＝S△BCOS△BCD.故選A.] 二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中橫線上) 13．已知x，y∈R，且x＋y>2，則x，y中至少有一個(gè)大于1，在用反證法證明時(shí)，假設(shè)應(yīng)為________． x，y均不大于1(或者x≤1且y≤1)　[“至少有一個(gè)”的反面為“一個(gè)也沒有”，即“x，y均不大于1”，亦即“x≤1且y≤1”．] 14．當(dāng)n＝1時(shí)，有(a－b)(a＋b)＝a2－b2，當(dāng)n＝2時(shí)，有(a－b)(a2＋ab＋b2)＝a3－b3，當(dāng)n＝3時(shí)，有(a－b)(a3＋a2b＋ab2＋b3)＝a4－b4，當(dāng)n∈N*時(shí)，你能得到的結(jié)論是________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：48662109】 (a－b)(an＋an－1b＋…＋abn－1＋bn)＝an＋1－bn＋1　[根據(jù)題意，由于當(dāng)n＝1時(shí)，有(a－b)(a＋b)＝a2－b2，當(dāng)n＝2時(shí)，有(a－b)(a2＋ab＋b2)＝a3－b3，當(dāng)n＝3時(shí)，有(a－b)(a3＋a2b＋ab2＋b3)＝a4－b4，當(dāng)n∈N*時(shí)，左邊第二個(gè)因式可知為an＋an－1b＋…＋abn－1＋bn，那么對(duì)應(yīng)的表達(dá)式為(a－b)(an＋an－1b＋…＋abn－1＋bn)＝an＋1－bn＋1.] 15．有三張卡片，分別寫有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一張卡片，甲看了乙的卡片后說：“我與乙的卡片上相同的數(shù)字不是2”，乙看了丙的卡片后說：“我與丙的卡片上相同的數(shù)字不是1”，丙說：“我的卡片上的數(shù)字之和不是5”，則甲的卡片上的數(shù)字是________． 1和3　[法一：由題意得丙的卡片上的數(shù)字不是2和3. 若丙的卡片上的數(shù)字是1和2，則由乙的說法知乙的卡片上的數(shù)字是2和3，則甲的卡片上的數(shù)字是1和3，滿足題意； 若丙的卡片上的數(shù)字是1和3，則由乙的說法知乙的卡片上的數(shù)字是2和3，則甲的卡片上的數(shù)字是1和2，不滿足甲的說法． 故甲的卡片上的數(shù)字是1和3. 法二：因?yàn)榧着c乙的卡片上相同的數(shù)字不是2，所以丙的卡片上必有數(shù)字2.又丙的卡片上的數(shù)字之和不是5，所以丙的卡片上的數(shù)字是1和2.因?yàn)橐遗c丙的卡片上相同的數(shù)字不是1，所以乙的卡片上的數(shù)字是2和3，所以甲的卡片上的數(shù)字是1和3.] 16．現(xiàn)有一個(gè)關(guān)于平面圖形的命題：同一平面內(nèi)有兩個(gè)邊長(zhǎng)都是a的正方形，其中一個(gè)的某頂點(diǎn)在另一個(gè)的中心，則這兩個(gè)正方形重疊部分的面積恒為.類比到空間，有兩個(gè)棱長(zhǎng)為a的正方體，其中一個(gè)的某頂點(diǎn)在另一個(gè)的中心，則這兩個(gè)正方體重疊部分的體積恒為________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：48662110】 　[解法的類比(特殊化)，易得兩個(gè)正方體重疊部分的體積為.] 三、解答題(本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟) 17．(本小題滿分10分)用綜合法或分析法證明： (1)如果a，b>0，則lg ≥； (2)＋>2＋2. [證明]　(1)當(dāng)a，b>0時(shí)，有≥， ∴l(xiāng)g ≥lg ， ∴l(xiāng)g ≥lg ab＝. (2)要證＋>2＋2， 只要證(＋)2>(2＋2)2， 即2>2，這是顯然成立的， 所以，原不等式成立． 18．(本小題滿分12分)下列推理是否正確？若不正確，指出錯(cuò)誤之處． (1)求證：四邊形的內(nèi)角和等于360. 證明：設(shè)四邊形ABCD是矩形，則它的四個(gè)角都是直角，有∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝90＋90＋90＋90＝360，所以四邊形的內(nèi)角和為360. (2)已知和都是無理數(shù)，試證：＋也是無理數(shù)． 證明：依題設(shè)和都是無理數(shù)，而無理數(shù)與無理數(shù)之和是無理數(shù)，所以＋必是無理數(shù)． (3)已知實(shí)數(shù)m滿足不等式(2m＋1)(m＋2)<0，用反證法證明：關(guān)于x的方程x2＋2x＋5－m2＝0無實(shí)根． 證明：假設(shè)方程x2＋2x＋5－m2＝0有實(shí)根．由已知實(shí)數(shù)m滿足不等式(2m＋1)(m＋2)＜0，解得－2＜m＜－，而關(guān)于x的方程x2＋2x＋5－m2＝0的判別式Δ＝4(m2－4)，∵－21)． (1)證明：函數(shù)f(x)在(－1，＋∞)上為增函數(shù)； (2)用反證法證明方程f(x)＝0沒有負(fù)數(shù)根. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：48662112】 [證明]　(1)法一：任取x1、x2∈(－1，＋∞)，不妨設(shè)x10，ax2－x1>1且ax1>0， ∴ax2－ax1＝ax1(ax2－x1－1)>0， 又∵x1＋1>0，x2＋1>0， ∴－＝ ＝>0， 于是f(x2)－f(x1)＝ax2－ax1＋－>0， 故函數(shù)f(x)在(－1，＋∞)上為增函數(shù)． 法二：f′(x)＝axln a＋＝axln a＋ ∵a>1，∴l(xiāng)n a>0，∴axln a＋>0， f′(x)>0在(－1，＋∞)上恒成立， 即f(x)在(－1，＋∞)上為增函數(shù)． (2)設(shè)存在x0<0(x0≠－1)滿足f(x0)＝0， 則ax0＝－，且0b>0)與x軸交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓C上異于A、B的任意一點(diǎn)，直線PA、PB分別與y軸交于點(diǎn)M、N，求證：為定值b2－a2. (2)類比(1)可得如下真命題：雙曲線－＝1(a>0，b>0)與x軸交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P是雙曲線C上異于A、B的任意一點(diǎn)，直線PA、PB分別與y軸交于點(diǎn)M、N，求證：為定值，請(qǐng)寫出這個(gè)定值(不要求寫出解題過程). 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：48662113】 [解]　(1)證明如下：設(shè)點(diǎn)P(x0，y0)，(x0≠a)． 依題意，得A(－a,0)，B(a,0)， 所以直線PA的方程為y＝(x＋a)， 令x＝0，得yM＝.同理得yN＝－. 所以yMyN＝. 又點(diǎn)P(x0，y0)在橢圓上，所以＋＝1， 因此y＝(a2－x)． 所以yMyN＝＝b2. 因?yàn)椋絳a，yN}，＝(－a，yM)， 所以＝－a2＋yMyN＝b2－a2. (2)－(a2＋b2)．