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課時分層作業(yè)(十)　拋物線的標準方程 (建議用時：40分鐘) [基礎達標練] 一、填空題 1．拋物線y＝2x2的焦點坐標是________． [解析]　∵拋物線y＝2x2的標準方程是x2＝y(tǒng)，∴2p＝，p＝，＝， ∴焦點坐標是. [答案]　 2．拋物線y2＝10x的焦點到準線的距離是________． [解析]　∵2p＝10，p＝5，∴焦點到準線的距離為5. [答案]　5 3．以原點為頂點，坐標軸為對稱軸，并且準線經(jīng)過P(－2，－4)的拋物線方程為________． [解析]　若拋物線的準線為x＝－2，則拋物線的方程為y2＝8x；若拋物線的準線為y＝－4，則拋物線的方程為x2＝16y. [答案]　y2＝8x或x2＝16y 4．已知拋物線y＝4x2上一點M到焦點的距離為1，則點M的坐標是________. 【導學號：71392094】 [解析]　設M(x0，y0)，把拋物線y＝4x2化為標準方程，得x2＝y(tǒng). 則其準線方程為y＝－，由拋物線的定義，可知y0－＝1，得y0＝，代入拋物線的方程，得x＝＝，解得x0＝，則M的坐標為. [答案]　 5．拋物線x2＝2y上的點M到其焦點F的距離MF＝，則點M的坐標是________． [解析]　設點M(x，y)，拋物線準線為y＝－，由拋物線定義， y－＝，y＝2，所以x2＝2y＝4，x＝2，所以點M的坐標為(2,2)． [答案]　(2,2) 6．已知F是拋物線y2＝x的焦點，A，B是該拋物線上的兩點，AF＋BF＝3，則線段AB的中點到y(tǒng)軸的距離為________． [解析]　如圖，由拋物線的定義知，AM＋BN＝AF＋BF＝3，CD＝，所以中點C的橫坐標為－＝，即C到y(tǒng)軸的距離為. [答案]　 7．若動圓與圓(x－2)2＋y2＝1外切，又與直線x＋1＝0相切，則動圓圓心的軌跡方程為________． [解析]　設動圓半徑為r，動圓圓心O′(x，y)到點(2,0)的距離為r＋1.O′到直線x＝－1的距離為r，∴O′到(2,0)的距離與O′到直線x＝－2的距離相等，由拋物線的定義知動圓圓心的軌跡方程為y2＝8x. [答案]　y2＝8x 8．若拋物線y2＝8x的焦點恰好是雙曲線－＝1(a＞0)的右焦點，則實數(shù)a的值為________． [解析]　拋物線y2＝8x的焦點為(2,0)，則雙曲線－＝1(a＞0)的右焦點也為(2,0)，從而a2＋3＝4，解得a＝1.因為a＞0，故舍去a＝－1，所以a＝1. [答案]　1 二、解答題 9．已知拋物線的頂點在原點，焦點在x軸上，拋物線上的點M(－3，m)到焦點的距離等于5，求拋物線的標準方程和m的值. 【導學號：71392095】 [解]　法一：由題意可設拋物線方程為y2＝－2px(p>0)，則焦點為F， 因為點M在拋物線上，且MF＝5，所以有 解得或 故所求的拋物線方程為y2＝－8x，m的值為2. 法二：由題可設拋物線方程為y2＝－2px(p>0)，則焦點為F，準線方程為x＝， 根據(jù)拋物線的定義，點M到焦點的距離等于5，也就是M到準線的距離為5， 則3＋＝5， ∴p＝4， ∴拋物線方程為y2＝－8x. 又點M(－3，m)在拋物線上， ∴m2＝24，∴m＝2. 10．求焦點在x軸上，且焦點在雙曲線－＝1上的拋物線的標準方程． [解]　由題意可設拋物線方程為y2＝2mx(m≠0)， 則焦點為. ∵焦點在雙曲線－＝1上， ∴＝1，求得m＝4， ∴所求拋物線方程為y2＝8x或y2＝－8x. [能力提升練] 1．設M(x0，y0)為拋物線C：x2＝8y上一點，F(xiàn)為拋物線C的焦點，以F為圓心，F(xiàn)M為半徑的圓和拋物線C的準線相交，則y0的取值范圍是________． [解析]　圓心到拋物線準線的距離為p＝4，根據(jù)已知，只要FM>4即可． 根據(jù)拋物線定義，F(xiàn)M＝y(tǒng)0＋2，由y0＋2>4，解得y0>2.故y0的取值范圍是(2，＋∞)． [答案]　(2，＋∞) 2．設斜率為2的直線l過拋物線y2＝ax(a≠0)的焦點F，且和y軸交于點A，若△OAF(O為坐標原點)的面積為4，則拋物線的方程為________． [解析]　因為拋物線y2＝ax(a≠0)的焦點F的坐標為，所以直線l的方程為y＝2，它與y軸的交點為A，則△OAF的面積為＝4，解得a＝8，故拋物線的方程為y2＝8x或y2＝－8x. [答案]　y2＝8x或y2＝－8x 3．已知點P是拋物線y2＝4x上的點，設點P到拋物線準線的距離為d1，到圓(x＋3)2＋(y－3)2＝1上的一動點Q的距離為d2，則d1＋d2的最小值是________． [解析]　由拋物線的定義得P到拋物線準線的距離為d1＝PF，d1＋d2的最小值即為拋物線的焦點F(1,0)到圓(x＋3)2＋(y－3)2＝1上的一動點Q的距離的最小值，最小值為F與圓心的距離減半徑，即為4，故填4. [答案]　4 4．如圖241所示，一隧道內(nèi)設雙行線公路，其截面由長方形的三條邊和拋物線的一段構(gòu)成，為保證安全，要求行駛車輛頂部(設為平頂)與隧道頂部在豎直方向上高度之差至少要有0.5米． 圖241 (1)以拋物線的頂點為原點O，其對稱軸所在的直線為y軸，建立平面直角坐標系(如圖)，求該拋物線的方程； (2)若行車道總寬度AB為7米，請計算通過隧道的車輛限制高度為多少米？(精確到0.1米) 【導學號：71392096】 [解]　如圖所示： (1)依題意，設該拋物線的方程為x2＝－2py(p＞0)， 因為點C(5，－5)在拋物線上，所以p＝. 所以該拋物線的方程為x2＝－5y. (2)設車輛高h，則DB＝h＋0.5， 故D(3.5，h－6.5)， 代入方程x2＝－5y，解得h＝4.05， 所以車輛通過隧道的限制高度為4.1米.