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第2講 萬有引力與航天
一、選擇題(本大題共8小題,每小題8分,共64分.第1～5題只有一項(xiàng)符合題目要求,第6～8題有多項(xiàng)符合題目要求)
1.(2018宿遷模擬)許多科學(xué)家在經(jīng)典物理學(xué)發(fā)展中作出了重要貢獻(xiàn),下列敘述中符合史實(shí)的是( D )
A.哥白尼提出了日心說并發(fā)現(xiàn)了行星沿橢圓軌道運(yùn)行的規(guī)律
B.開普勒在前人研究的基礎(chǔ)上,提出了萬有引力定律
C.牛頓提出了萬有引力定律,并通過實(shí)驗(yàn)測(cè)出了萬有引力常量
D.卡文迪許通過扭秤實(shí)驗(yàn)測(cè)出了萬有引力常量
解析:哥白尼提出了日心說,而開普勒發(fā)現(xiàn)了行星沿橢圓軌道運(yùn)行的規(guī)律,故A錯(cuò)誤;牛頓在前人研究的基礎(chǔ)上,提出萬有引力定律,故B錯(cuò)誤;牛頓提出了萬有引力定律,卡文迪許通過扭秤實(shí)驗(yàn)測(cè)出了萬有引力常量,故C錯(cuò)誤,D正確.
2.(2018寶雞一模)在同一軌道平面上的兩顆人造地球衛(wèi)星A,B同向繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng),周期分別為TA,TB,軌道半徑rB>rA,某時(shí)刻A,B和地球恰好在同一條
直線上,從此時(shí)刻開始到A,B和地球再次共線的時(shí)間間隔為t,下列說法中正確的是( D )
A.A,B衛(wèi)星的線速度vA
vB,故A錯(cuò)誤;由a=GMr2知,衛(wèi)星的軌道半徑越大,向心加速度越小,故B錯(cuò)誤;由幾何關(guān)系可知,若開始A,B在地球同側(cè),則A比B多轉(zhuǎn)一圈,則有tTA-tTB=1,則t>TA;若開始A,B在地球兩側(cè),則A比B多轉(zhuǎn)12圈,有tTA-tTB=12,得t>TA2,總之,t一定大于TA2,故C錯(cuò)誤,D
正確.
3.(2018永州三模)2018年3月30日01時(shí)56分,我國在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心用長征三號(hào)乙運(yùn)載火箭(及遠(yuǎn)征一號(hào)上面級(jí)),以“一箭雙星”方式成功發(fā)射第三十、三十一顆北斗導(dǎo)航衛(wèi)星.這兩顆衛(wèi)星屬于中圓地球軌道衛(wèi)星,是我國北斗三號(hào)第七、八顆組網(wǎng)衛(wèi)星.北斗導(dǎo)航衛(wèi)星的軌道有三種:地球靜止軌道(高度35 809 km)、傾斜地球同步軌道(高度35 809 km)、中圓地球軌道(高度21 607 km),如圖所示.已知地球半徑為6 370 km,下列說法正確的是( D )
A.中圓地球軌道衛(wèi)星的周期一定比靜止軌道衛(wèi)星的周期長
B.中圓地球軌道衛(wèi)星受到的萬有引力一定比靜止軌道衛(wèi)星受到的萬有引力大
C.傾斜同步軌道衛(wèi)星的線速度為4 km/s
D.傾斜同步軌道衛(wèi)星每天在固定的時(shí)間經(jīng)過同一地區(qū)的正上方
解析:衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng),萬有引力提供向心力,根據(jù)牛頓第二定律,有GMmr2=m4π2T2r,解得T=2πr3GM,故中圓地球軌道的衛(wèi)星的周期小于靜止軌道的衛(wèi)星的周期,故A錯(cuò)誤;中圓地球軌道的衛(wèi)星與靜止軌道的衛(wèi)星的質(zhì)量關(guān)系未知,故無法比較萬有引力大小,故B錯(cuò)誤;傾斜同步軌道衛(wèi)星的軌道半徑與靜止軌道衛(wèi)星的軌道半徑相等,故公轉(zhuǎn)周期相等,線速度v=2πrT=23.14(6 370+35 809)103243 600 m/s≈3 066 m/s,故C錯(cuò)誤;傾斜同步軌道衛(wèi)星周期為24 h,則衛(wèi)星每天在固定的時(shí)間經(jīng)過同一地區(qū)的正上方,故D正確.
4.(2018朝陽一模)2017年12月11日0時(shí)40分,我國在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心用長征三號(hào)乙運(yùn)載火箭,成功將阿爾及利亞一號(hào)通信衛(wèi)星送入如圖所示的地球同步轉(zhuǎn)移軌道.該軌道的近地點(diǎn)為M,遠(yuǎn)地點(diǎn)為N,忽略空氣阻力,則下列說法正確的是( B )
A.衛(wèi)星經(jīng)過M點(diǎn)時(shí)的速度最小
B.衛(wèi)星經(jīng)過N點(diǎn)時(shí)的速度最小
C.衛(wèi)星在M點(diǎn)的加速度最小
D.衛(wèi)星在從M到N的過程中機(jī)械能減小
解析:依據(jù)開普勒第二定律,可知衛(wèi)星在M點(diǎn)的速度大于在N點(diǎn)的速度,故A錯(cuò)誤,B正確;根據(jù)引力產(chǎn)生加速度可知在M點(diǎn)的加速度最大,故C錯(cuò)誤;衛(wèi)星只在引力作用下做橢圓運(yùn)動(dòng),機(jī)械能守恒,故D錯(cuò)誤.
5.(2018廈門一模)由中山大學(xué)發(fā)起的空間引力波探測(cè)工程“天琴計(jì)劃”于2015年啟動(dòng),對(duì)一個(gè)超緊湊雙白矮星系統(tǒng)產(chǎn)生的引力波進(jìn)行探測(cè).該計(jì)劃采用三顆相同的衛(wèi)星(SC1,SC2,SC3)構(gòu)成一個(gè)等邊三角形陣列,三角形邊長約為地球半徑的27倍,地球恰好處于三角形中心,衛(wèi)星將在以地球?yàn)橹行牡膱A軌道上運(yùn)行,如圖所示(只考慮衛(wèi)星和地球之間的引力作用),對(duì)該計(jì)劃中的衛(wèi)星,下列說法正確的是( A )
A.運(yùn)行的周期大于近地衛(wèi)星的運(yùn)行周期
B.運(yùn)行的向心加速度大于近地衛(wèi)星的向心加速度
C.運(yùn)行的速度等于第一宇宙速度
D.發(fā)射速度應(yīng)大于第二宇宙速度
解析:根據(jù)GMmr2=m4π2rT2得T=4π2r3GM,則半徑越大,周期越大,由于該計(jì)劃中的衛(wèi)星繞地球運(yùn)行的半徑大于近地衛(wèi)星的運(yùn)行半徑,則運(yùn)行的周期大于近地衛(wèi)星的運(yùn)行周期,故A正確;根據(jù)GMmr2=ma,解得a=GMr2,則該計(jì)劃中的衛(wèi)星繞地球運(yùn)行的向心加速度小于近地衛(wèi)星的向心加速度,故B錯(cuò)誤;第一宇宙速度是繞地球運(yùn)動(dòng)的最大速度,則三顆衛(wèi)星線速度都小于第一宇宙速度,故C錯(cuò)誤;三顆衛(wèi)星圍繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng),則發(fā)射速度小于第二宇宙速度,故D錯(cuò)誤.
6.(2018濟(jì)寧二模)我國探月工程三期返回飛行試驗(yàn)器創(chuàng)造了我國航天工程的多個(gè)第一,其中包括跳躍式返回技術(shù).跳躍式返回技術(shù)指航天器在關(guān)閉發(fā)動(dòng)機(jī)后進(jìn)入大氣層,依靠大氣升力再次沖出大氣層,降低速度后再進(jìn)入大氣層.如圖所示,虛線為大氣層的邊界,已知地球半徑為R,地心到d點(diǎn)距離為r,地球表面重力加速度為g.下列說法中正確的是( BC )
A.飛行試驗(yàn)器在b點(diǎn)處于完全失重狀態(tài)
B.飛行試驗(yàn)器在d點(diǎn)的加速度等于gR2r2
C.飛行試驗(yàn)器在a點(diǎn)的速率大于在c點(diǎn)的速率
D.飛行試驗(yàn)器在c點(diǎn)的速率大于在e點(diǎn)的速率
解析:飛行試驗(yàn)器在進(jìn)入大氣層后受到空氣阻力和地球引力,從a到b加速度方向背離地心,在b點(diǎn)處于超重狀態(tài),故A錯(cuò)誤;飛行試驗(yàn)器在d點(diǎn)受到的萬有引力F=GMmr2,在地球表面有mg=GMmR2,根據(jù)牛頓第二定律a=Fm=GMr2=gR2r2,故B正確;a到c的過程中,飛行試驗(yàn)器克服大氣層的阻力做功,所以機(jī)械能減小,a點(diǎn)的速率大于c點(diǎn)的速率,故C正確;飛行試驗(yàn)器在大氣層外運(yùn)動(dòng)的過程中機(jī)械能守恒,c點(diǎn)和e點(diǎn)到地球球心的距離相等,引力勢(shì)能相等,所以速率也相等,故D錯(cuò)誤.
7.(2018吉林模擬)氣象衛(wèi)星是用來拍攝云層照片、觀測(cè)氣象資料和測(cè)量氣象數(shù)據(jù)的.我國先后自行成功研制和發(fā)射了“風(fēng)云Ⅰ號(hào)”和“風(fēng)云Ⅱ號(hào)”兩顆氣象衛(wèi)星,“風(fēng)云Ⅰ號(hào)”衛(wèi)星軌道與赤道平面垂直并且通過兩極,稱為“極地圓軌道”,每12 h巡視地球一周.“風(fēng)云Ⅱ號(hào)”氣象衛(wèi)星軌道平面在赤道平面內(nèi),稱為“地球同步軌道”,每24 h巡視地球一周,則“風(fēng)云Ⅰ號(hào)”衛(wèi)星比“風(fēng)云Ⅱ號(hào)”衛(wèi)星( BD )
A.角速度小 B.線速度大
C.萬有引力小 D.向心加速度大
解析:由萬有引力提供向心力GMmr2=mr4π2T2,得T=2πr3GM,而ω=2πT,可知周期大的半徑大,角速度小,“風(fēng)云Ⅰ號(hào)”的半徑小,則角速度大,選項(xiàng)A錯(cuò)誤;由v=GMr,則半徑小的線速度大,選項(xiàng)B正確;因引力與質(zhì)量有關(guān),而質(zhì)量大小不知,則不能確定引力大小,選項(xiàng)C錯(cuò)誤;由GMmr2=ma得向心加速度a=GMr2,則半徑小的向心加速度大,選項(xiàng)D正確.
8.(2018福建省廈門雙十中學(xué)高三熱身)地面衛(wèi)星監(jiān)測(cè)技術(shù)在軍事、工業(yè)、農(nóng)業(yè)、生產(chǎn)、生活等方面發(fā)揮著巨大作用,對(duì)地面上的重要目標(biāo)需要衛(wèi)星不間斷地進(jìn)行跟蹤監(jiān)測(cè)是一項(xiàng)重要任務(wù).假設(shè)在赤道上有一個(gè)需跟蹤監(jiān)測(cè)的目標(biāo),某監(jiān)測(cè)衛(wèi)星位于赤道平面內(nèi),離地面的飛行高度為R,飛行方向與地球自轉(zhuǎn)方向相同,設(shè)地球的自轉(zhuǎn)周期為T,地球半徑為R,地球表面的重力加速度為g,忽略大氣層對(duì)光線傳播的影響,則此衛(wèi)星在一個(gè)運(yùn)動(dòng)周期內(nèi)對(duì)目標(biāo)連續(xù)監(jiān)測(cè)的最長時(shí)間為t,衛(wèi)星的運(yùn)轉(zhuǎn)周期為T′,則( AC )
A.T′=4πR2RGM B.T′=2πRRGM
C.t=2π3(g8R-2πT) D.t=πg(shù)8R-2πT
解析:根據(jù)GMm(2R)2=m2R4π2T2,得衛(wèi)星的周期T′=4πR2RGM,故A正確,B錯(cuò)誤;如圖所示,衛(wèi)星從A到B,地球自轉(zhuǎn)從C到D,根據(jù)幾何關(guān)系,衛(wèi)星在t時(shí)間內(nèi)比地球自轉(zhuǎn)的角度多120度,則有ωt-2πTt=23π,而衛(wèi)星的角速度ω=2πT=1RGM8R,由GM=gR2得ω=g8R,解得t=2π3(g8R-2πT),故C正確,D錯(cuò)誤.
二、非選擇題(本大題共2小題,共36分)
9.(18分)(2018江西模擬)開普勒第三定律指出:行星繞太陽運(yùn)動(dòng)的橢圓軌道的半長軸a的三次方與它的公轉(zhuǎn)周期T的二次方成正比,即a3T2=k,k是一個(gè)對(duì)所有行星都相同的常量.
(1)將行星繞太陽的運(yùn)動(dòng)按圓周運(yùn)動(dòng)處理,請(qǐng)你推導(dǎo)出太陽系中該常量k的表達(dá)式.已知引力常量為G,太陽的質(zhì)量為M太.
(2)開普勒行星運(yùn)動(dòng)定律不僅適用于太陽系,它對(duì)一切具有中心天體的引力系統(tǒng)(如地月系統(tǒng))都成立.經(jīng)測(cè)定地月距離為3.84108 m,月球繞地球運(yùn)動(dòng)的周期為2.36106 s,試計(jì)算地球的質(zhì)量M地.(G=
6.6710-11 Nm2/kg2,結(jié)果保留一位有效數(shù)字)
解析:(1)因行星繞太陽做勻速圓周運(yùn)動(dòng),于是軌道的半長軸a即為軌道半徑r.根據(jù)萬有引力定律和牛頓第二定律有Gm行M太r2=m行（2πT）2r,于是有r3T2=G4π2M太,
即k=G4π2M太.
(2)在地月系統(tǒng)中,設(shè)月球繞地球運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為R,周期為T′,由(1)可得R3T2=G4π2M地,解得M地=61024 kg.
答案:(1)k=G4π2M太 (2)61024 kg
10.(18分)(2018遼寧五校聯(lián)考)閱讀如下材料,并根據(jù)材料中的有關(guān)信息回答問題.
表中是地球和太陽的有關(guān)數(shù)據(jù):
平均半徑
R地=6.371103 km
R日=110R地
質(zhì)量
M地
M日=333 000M地
平均密度
ρ地
ρ日=14ρ地
已知物體繞地球表面做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的速度為v=7.9 km/s,引力常量G=6.6710-11 Nm2/kg2,光速c=3108 ms-1.
大約200年前,法國數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家拉普拉斯曾預(yù)言一個(gè)直徑如地球,質(zhì)量為太陽250倍的發(fā)光星體由于其引力作用將不允許任何光線離開它,其逃逸速度大于真空中的光速(逃逸速度為第一宇宙速度的2倍),這一奇怪的星體就叫做黑洞.
在下列問題中,把星體(包括黑洞)看成是一個(gè)質(zhì)量均勻分布的球體.
[(1)(2)的計(jì)算結(jié)果用科學(xué)計(jì)數(shù)法表示,且保留一位有效數(shù)字;(3)的推導(dǎo)結(jié)論用字母表示]
(1)試估算地球的質(zhì)量;
(2)試估算太陽表面的重力加速度;
(3)已知某星體演變?yōu)楹诙磿r(shí)的質(zhì)量為M,求該星體演變?yōu)楹诙磿r(shí)的臨界半徑R.
解析:(1)物體繞地球表面做勻速圓周運(yùn)動(dòng),
GM地mR地2=mv2R地,
解得M地=R地v2G=61024 kg.
(2)在地球表面,有GM地mR地2=mg地,
解得g地=GM地R地2,
同理,在太陽表面,有g(shù)日=GM日R日2,
得g日=M日R地2M地R日2g地=3102 m/s2.
(3)由第一宇宙速度的定義得GMmR2=mv12R,
第二宇宙速度v2=c=2v1,
聯(lián)立解得R=2GMc2.
答案:(1)61024 kg (2)3102 m/s2 (3)2GMc2
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