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2019-2020年高一數(shù)學上冊必修12.4《基本不等式及其應用》教案2篇 一、教學內(nèi)容分析 基本不等式及其應用是高中教材中的一個重要內(nèi)容.盡管基本不等式本身的證明并不困難，但它卻是今后學習諸如不等式證明、求函數(shù)最值等時的有力工具，因此牢固掌握這兩個基本不等式的形成、關系和變式等都是十分重要的. 二、教學目標設計 1、掌握兩個基本不等式：（、）、（、為任意正數(shù)），并能用于解決一些簡單問題. 2、理解兩個基本不等式相應的幾何解釋.初步理解代換的數(shù)學方法. 3、在公式的探求過程中，領悟數(shù)形結合的數(shù)學思想，進一步體會事物之間互相聯(lián)系及一定條件下互相轉化等辨證唯物主義觀點. 三、教學重點及難點 重點 兩個基本不等式的知識發(fā)生過程和證明；基本不等式的應用. 難點 基本不等式的應用. 四、教學用具準備 電腦、投影儀 五、教學流程設計 新課引入 基本不等式1及其證明 基本不等式1的圖形解釋 圖形引入基本不等式2 基本不等式2的證明 基本不等式的簡單應用（探索） 課堂小結 作業(yè)布置（含課外思考） 六、教學過程設計 一、新課引入 在客觀世界中，有些量的大小關系是永遠成立的. 例如，、（）、三角形任意兩邊之和大于第三邊、三角形任意兩邊之差小于第三邊等等. 二、新課講授 1、基本不等式1 基本不等式1 對于任意實數(shù)和，有，當且僅當時等號成立. （1）基本不等式1的證明 證明：因為，所以. 當時，.當時，. 所以，當且僅當時，的等號成立. （2）基本不等式1的幾何解釋 ① 解釋1 邊長為的正方形面積與邊長為的正方形面積之和大于等于以、為鄰邊長的矩形面積的2倍（當且僅當時等號成立） 已知正方形，分別在邊、邊上取點、，使得.分別過點、作、，垂足為、.和交于點. 由幾何畫板進行動態(tài)計算演示，得到陰影部分的面積 剩余部分的面積，當且僅當點移至中點時等號成立. ② 解釋2 某屆數(shù)學大會的會徽怎樣的？ 三國時期趙爽在《勾股方圓圖注》中對勾股定理的證明可用現(xiàn)代數(shù)學表述為： 如圖所示，以、、分別表示勾、股、弦，那么，表示“弦圖”中兩塊“朱實”的面積，表示“中黃實”的面積. 于是，從圖中可明顯看出，四塊“朱實”的面積加上一個“中黃實”的面積就等于以為邊長的正方形“弦實”的面積，即 這就是勾股定理的一般表達式. 由圖可知： 以為邊長的正方形“弦實”的面積 四塊“朱實”的面積即，（當且僅當時等號成立）. 2、基本不等式2 觀察下面這個幾何圖形. 已知半圓，是半圓上任一點，是直徑. 過作，垂足為. 顯然有線段的長度大于等于垂線段的長度. 設，，請用、來表示上述這個不等關系.（ 即，當且僅當時等號成立.） 基本不等式2 對于任意正數(shù)、，有，當且僅當時等號成立. 我們把和分別叫做正數(shù)、的算術平均數(shù)和幾何平均數(shù).因此基本不等式2也可敘述為：兩個正數(shù)的算術平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù). （1）基本不等式2的證明 證明：因為，所以. 當時，.當時，. 所以，當且僅當時，的等號成立. 另證：因為、為正數(shù)，所以、均存在. 由基本不等式1，得，當且僅當時等號成立. 即，當且僅當時等號成立. （2）基本不等式2的擴充 對于任意非負數(shù)、，有，當且僅當時等號成立. 例1 已知，求證：，并指出等號成立的條件. 證明：因為，所以 、同號，并有，. 所以，.當且僅當 ，即時等號成立. [說明] 1、體會代換的方法. 2、用語言表述上述結論. 3、思考：若，則代數(shù)式的取值范圍是什么？（，當且僅當時等號成立.） 3、兩個基本不等式的簡單應用 （1）幾何問題 例2 在周長保持不變的條件下，何時矩形的面積最大？ 猜想：由幾何畫板電腦演示得出. 解：設矩形的長、寬分別為、（、）且（定值），則同樣周長的正方形的邊長為. 矩形面積，正方形面積 由基本不等式2，得，又由不等式的性質得，即. 由題意，（定值），所以（定值）.當且僅當，即矩形為正方形時，矩形的面積最大. [說明] 當兩個正數(shù)的和為定值時，它們的積有最大值. 例如，若時，有，當且僅當時等號成立.（事實上，由（），得，當且僅當時等號成立.） 三、課堂小結 略 四、作業(yè)布置 1、練習2.4（1） 2、思考題 （1）通過查閱資料，了解這兩個基本不等式其它的幾何解釋. （2）在面積保持不變的條件下，正方形的周長與矩形的周長之間有什么大小關系？ （3）整理一些基本不等式的常用變式并給出證明. 七、教學設計說明 本堂課是《基本不等式及其應用》的第一節(jié)課，在學生熟練掌握不等式性質的前提下，介紹了兩個基本不等式及其初步應用.盡管對于基本不等式而言證明不困難，但它卻是今后學習諸如不等式證明、求函數(shù)最值等時的有力工具，因此牢固掌握這兩個基本不等式是十分重要的. 為了避免單純地講授基本不等式，本堂課借助計算機軟件，采用以幾何圖形輔助代數(shù)知識講授，由數(shù)到形，再由形到數(shù)的設計思路，將兩個基本不等式的證明、解釋及其在應用時的注意點穿插其中，并通過幾何解釋加強對基本不等式的感性認識，從而達到較好的教學效果.整堂課主要采用 “觀察 —— 猜測 —— 歸納 —— 證明”的探索流程，讓學生通過觀察兩式的大小關系、幾何圖形中線段的長度來猜測相應的結論，最后再由討論、歸納得出兩個基本不等式. 在教學過程中始終“關注學生的思維發(fā)展”.例如，將教科書上例1的證明題改成了一道探索題，通過對有關過程的設計，進而培養(yǎng)學生自行探索、解決問題的能力.此外，為了培養(yǎng)學生“觀察 —— 猜測”的能力，借用了幾何畫板的有關功能，幫助學生進行有關的猜想與驗證，使學生始終處于自我發(fā)現(xiàn)、自我探索的過程中. 通過整堂課的教學，不僅要求學生對有關知識點的掌握，此外還對應初步理解代換的數(shù)學方法有一定要求，并在公式的探求過程中，繼續(xù)領悟數(shù)形結合的數(shù)學思想. 2.4（2）基本不等式及其應用 一、教學目標設計 1、進一步掌握兩個基本不等式：（、）、（、為任意正數(shù)） 2、利用基本不等式解決一些簡單問題，如求最值或求取值范圍的簡單問題以及簡單不等式的證明. 3、進一步理解代換的數(shù)學方法. 二、教學重點及難點 基本不等式的簡單應用. 三、教學流程設計 復習回顧 基本不等式的應用（幾何問題） 基本不等式的應用（代數(shù)證明） 拓廣引申 作業(yè)布置（含課外思考） 課堂小結 四、教學過程設計 一、復習 基本不等式1 對于任意實數(shù)和，有，當且僅當時等號成立. 基本不等式2 對于任意正數(shù)、，有，當且僅當時等號成立. 我們把和分別叫做正數(shù)、的算術平均數(shù)和幾何平均數(shù).因此基本不等式2也可敘述為：兩個正數(shù)的算術平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù). [說明] 復習過程中需強調(diào)三點： 1、兩個基本不等式各自適用的范圍. 2、兩個基本不等式各自等號成立的條件. 3、兩個基本不等式之間的聯(lián)系. 二、新課講授 （2）幾何問題 根據(jù)上節(jié)課的討論，我們知道在周長保持不變的條件下，當且僅當矩形相鄰兩邊相等即為正方形時，其面積最大.很自然我們會考慮下面的問題. 例3 在面積保持不變的條件下，何時矩形的周長最??？ 解：設矩形的長、寬分別為、（、）且（定值），則同樣面積的正方形的邊長為. 矩形周長，正方形周長. 由基本不等式2，得，又由不等式的性質得，即. 由題意，（定值），所以（定值）.當且僅當，即矩形為正方形時，矩形的周長最小. [說明] 當兩個正數(shù)的積為定值時，它們的和有最小值. 例如，若時，，當且僅當時等號成立.（一方面當時，有，當且僅當時等號成立.另一方面當時，有，即，當且僅當時等號成立.） 兩個正數(shù)的和為定值，則它們的積有最大值；兩個正數(shù)的積為定值，則它們的和有最小值.這兩個結論常常用于求解最值問題.在具體應用時，要注意“一正、二定、三等號”. （2）代數(shù)證明 例4 求證：對于任意實數(shù)、、，有，當且僅當時等號成立 證明：由基本不等式1，得 ，，， 把上述三個式子的兩邊分別相加，得，即，當且僅當時等號成立. 另證： . 即，當且僅當時等號成立. 例5 均值不等式鏈 設、，則（調(diào)和均值幾何均值算術均值平方均值），當且僅當時等號成立. 證明：（1）由、，得，當且僅當時等號成立 （2），當且僅當時等號成立，已證. （3）由 . 所以，當、時，有，當且僅當時等號成立. 綜合（1）、（2）、（3）得，當、時，有，當且僅當時等號成立. [說明] 事實上當、時，有： ① ，當且僅當時等號成立. ② . 證明：① 由，當且僅當 時等號成立. ② 由 . 即，. 不等式等號成立當且僅當. 不等式等號成立當且僅當. 不等式等號成立當且僅當. 例6 甲、乙兩人同時從A地出發(fā)，沿同一條路線行到B地。甲在前一半時間的行走速度為，后一半時間的行走速度為；乙用速度走完前半段路程，用速度走完后半段路程；問：誰先到達B地？ 解：設A、B兩地的距離為，甲、乙兩人用時分別為、，則。 因此。 所以，當時，，甲、乙兩人同時到達B地；當時，，甲先到B地。 另解：設A、B兩地的距離為，甲、乙兩人用時分別為、，平均速度分別為、，則 。 因而，當時，，甲、乙兩人同時到達B地；當時，，甲先到B地。 三、課堂小結 略 四、作業(yè)布置 1、習題2.4 1、2、4、7 2、思考題 均值不等式鏈的幾何解釋. 五、教學設計說明 本堂課是《基本不等式及其應用》的第二節(jié)課，在學生掌握兩個基本不等式的前提下，介紹了基本不等式的簡單應用. 從上堂課的最后一個幾何問題入手，得出例3的結論，并在此基礎上歸納出利用基本不等式求最值（最大值、最小值）的基本方法. 在講解完例4有關利用不等式進行簡單代數(shù)證明后，結合上堂課留給學生的思考題（整理一些基本不等式的常用變式并給出證明）給出“基本不等式鏈”.有關“基本不等式鏈”的證明應由學生給出，一方面作為課堂練習，另一方面也給出了一個重要的不等式結論，這個結論在以后的學習中還會用到.對于說明中的相關內(nèi)容，視學生的情況而定，可由教師做適當引導，也可留為課后思考. 整堂課的教學重在兩個基本不等式的應用.在如何使用基本不等式解決問題（幾何、代數(shù)）的同時，需對兩個不等式適用的范圍以及各自等號成立的條件做反復強調(diào).