2019-2020年新人教a版高中數(shù)學（必修1）1.3《函數(shù)的基本性質(zhì)》教案2課時.doc
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課 題：函數(shù)的單調(diào)性 2019-2020年新人教a版高中數(shù)學（必修1）1.3《函數(shù)的基本性質(zhì)》教案2課時 【教學目標】 1．使學生從形與數(shù)兩方面理解函數(shù)單調(diào)性的概念，初步掌握利用函數(shù)圖象和單調(diào)性定義判斷、證明函數(shù)單調(diào)性的方法． 2．通過對函數(shù)單調(diào)性定義的探究，滲透數(shù)形結(jié)合數(shù)學思想方法，培養(yǎng)學生觀察、歸納、抽象的能力和語言表達能力；通過對函數(shù)單調(diào)性的證明，提高學生的推理論證能力． 3．通過知識的探究過程培養(yǎng)學生細心觀察、認真分析、嚴謹論證的良好思維習慣，讓學生經(jīng)歷從具體到抽象，從特殊到一般，從感性到理性的認知過程． 【教學重點】 函數(shù)單調(diào)性的概念、判斷及證明． 【教學難點】 歸納抽象函數(shù)單調(diào)性的定義以及根據(jù)定義證明函數(shù)的單調(diào)性． 【教學方法】 教師啟發(fā)講授，學生探究學習． 【教學手段】 計算機、投影儀． 【教學過程】 一、創(chuàng)設情境，引入課題 課前布置任務： (1) 由于某種原因，xx年北京奧運會開幕式時間由原定的7月25日推遲到8月8日，請查閱資料說明做出這個決定的主要原因. (2) 通過查閱歷史資料研究北京奧運會開幕式當天氣溫變化情況. 課上通過交流，可以了解到開幕式推遲主要是天氣的原因，北京的天氣到8月中旬，平均氣溫、平均降雨量和平均降雨天數(shù)等均開始下降，比較適宜大型國際體育賽事. 下圖是北京市今年8月8日一天24小時內(nèi)氣溫隨時間變化的曲線圖. 引導學生識圖，捕捉信息，啟發(fā)學生思考． 問題：觀察圖形，能得到什么信息？ 預案：(1)當天的最高溫度、最低溫度以及何時達到； (2)在某時刻的溫度； (3)某些時段溫度升高，某些時段溫度降低. 在生活中，我們關心很多數(shù)據(jù)的變化規(guī)律，了解這些數(shù)據(jù)的變化規(guī)律，對我們的生活是很有幫助的． 問題：還能舉出生活中其他的數(shù)據(jù)變化情況嗎？ 預案：水位高低、燃油價格、股票價格等． 歸納：用函數(shù)觀點看，其實就是隨著自變量的變化，函數(shù)值是變大還是變?。? 〖設計意圖〗由生活情境引入新課，激發(fā)興趣． 二、歸納探索，形成概念 對于自變量變化時，函數(shù)值是變大還是變小，初中同學們就有了一定的認識，但是沒有嚴格的定義，今天我們的任務首先就是建立函數(shù)單調(diào)性的嚴格定義. 1．借助圖象，直觀感知 問題1：分別作出函數(shù)的圖象，并且觀察自變量變化時，函數(shù)值有什么變化規(guī)律？ 預案：(1)函數(shù)在整個定義域內(nèi) y隨x的增大而增大；函數(shù)在整個定義域內(nèi) y隨x的增大而減小． (2)函數(shù)在上 y隨x的增大而增大，在上y隨x的增大而減?。? (3)函數(shù)在上 y隨x的增大而減小，在上y隨x的增大而減?。? 引導學生進行分類描述 (增函數(shù)、減函數(shù))．同時明確函數(shù)的單調(diào)性是對定義域內(nèi)某個區(qū)間而言的，是函數(shù)的局部性質(zhì)． 問題2：能不能根據(jù)自己的理解說說什么是增函數(shù)、減函數(shù)? 預案：如果函數(shù)在某個區(qū)間上隨自變量x的增大，y也越來越大，我們說函數(shù)在該區(qū)間上為增函數(shù)；如果函數(shù)在某個區(qū)間上隨自變量x的增大，y越來越小，我們說函數(shù)在該區(qū)間上為減函數(shù)． 教師指出：這種認識是從圖象的角度得到的，是對函數(shù)單調(diào)性的直觀，描述性的認識． 〖設計意圖〗從圖象直觀感知函數(shù)單調(diào)性，完成對函數(shù)單調(diào)性的第一次認識． 2．探究規(guī)律，理性認識 問題1：下圖是函數(shù)的圖象,能說出這個函數(shù)分別在哪個區(qū)間為增函數(shù)和減函數(shù)嗎？ 學生的困難是難以確定分界點的確切位置． 通過討論，使學生感受到用函數(shù)圖象判斷函數(shù)單調(diào)性雖然比較直觀，但有時不夠精確，需要結(jié)合解析式進行嚴密化、精確化的研究． 〖設計意圖〗使學生體會到用數(shù)量大小關系嚴格表述函數(shù)單調(diào)性的必要性． 問題2：如何從解析式的角度說明在為增函數(shù)？ 預案： (1) 在給定區(qū)間內(nèi)取兩個數(shù)，例如1和2，因為12<22,所以在為增函數(shù)． (2) 仿(1)，取很多組驗證均滿足，所以在為增函數(shù)． (3) 任取,因為,即，所以在為增函數(shù)． 對于學生錯誤的回答，引導學生分別用圖形語言和文字語言進行辨析,使學生認識到問題的根源在于自變量不可能被窮舉，從而引導學生在給定的區(qū)間內(nèi)任意取兩個自變量． 〖設計意圖〗把對單調(diào)性的認識由感性上升到理性認識的高度,完成對概念的第二次認識．事實上也給出了證明單調(diào)性的方法，為證明單調(diào)性做好鋪墊. 3．抽象思維，形成概念 問題：你能用準確的數(shù)學符號語言表述出增函數(shù)的定義嗎? 師生共同探究，得出增函數(shù)嚴格的定義，然后學生類比得出減函數(shù)的定義． (1)板書定義 (2)鞏固概念 判斷題： ①． ②若函數(shù)． ③若函數(shù)在區(qū)間和(2,3)上均為增函數(shù)，則函數(shù)在區(qū)間(1,3)上為增函數(shù)． ④因為函數(shù)在區(qū)間上都是減函數(shù)，所以在上是減函數(shù). 通過判斷題，強調(diào)三點： ①單調(diào)性是對定義域內(nèi)某個區(qū)間而言的，離開了定義域和相應區(qū)間就談不上單調(diào)性． ②對于某個具體函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，可以是整個定義域(如一次函數(shù))，可以是定義域內(nèi)某個區(qū)間(如二次函數(shù))，也可以根本不單調(diào)(如常函數(shù))． ③函數(shù)在定義域內(nèi)的兩個區(qū)間A,B上都是增（或減）函數(shù)，一般不能認為函數(shù)在上是增（或減）函數(shù)． 思考：如何說明一個函數(shù)在某個區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)? 〖設計意圖〗讓學生由特殊到一般，從具體到抽象歸納出單調(diào)性的定義，通過對判斷題的辨析，加深學生對定義的理解，完成對概念的第三次認識. 三、掌握證法，適當延展 例 證明函數(shù)在上是增函數(shù)． 1．分析解決問題 針對學生可能出現(xiàn)的問題，組織學生討論、交流． 證明：任取, 設元 求差 變形 , 斷號 ∴ ∴即 ∴函數(shù)在上是增函數(shù)． 定論 2．歸納解題步驟 引導學生歸納證明函數(shù)單調(diào)性的步驟：設元、作差、變形、斷號、定論． 練習：證明函數(shù)在上是增函數(shù)． 問題：要證明函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，除了用定義來證，如果可以證得對任意的，且有可以嗎? 引導學生分析這種敘述與定義的等價性．讓學生嘗試用這種等價形式證明函數(shù)在上是增函數(shù)． 〖設計意圖〗初步掌握根據(jù)定義證明函數(shù)單調(diào)性的方法和步驟．等價形式進一步發(fā)展可以得到導數(shù)法，為用導數(shù)方法研究函數(shù)單調(diào)性埋下伏筆． 四、歸納小結(jié)，提高認識 學生交流在本節(jié)課學習中的體會、收獲，交流學習過程中的體驗和感受，師生合作共同完成小結(jié)． 1．小結(jié) (1) 概念探究過程：直觀到抽象、特殊到一般、感性到理性． (2) 證明方法和步驟：設元、作差、變形、斷號、定論． (3) 數(shù)學思想方法和思維方法：數(shù)形結(jié)合，等價轉(zhuǎn)化，類比等． 2．作業(yè) 書面作業(yè)：課本第60頁 習題2.3 第4，5，6題． 課后探究： (1) 證明：函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)的充要條件是對任意的，且有． (2) 研究函數(shù)的單調(diào)性，并結(jié)合描點法畫出函數(shù)的草圖． 《函數(shù)的單調(diào)性》說課稿 北京景山學校 許云堯 一、 教學內(nèi)容的分析 1．教材的地位和作用 首先，從單調(diào)性知識本身來講.學生對于函數(shù)單調(diào)性的學習共分為三個階段，第一階段是在初中學習了一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)圖象的基礎上對增減性有一個初步的感性認識；第二階段是在高一進一步學習函數(shù)單調(diào)性的嚴格定義，從數(shù)和形兩個方面理解單調(diào)性的概念；第三階段則是在高三利用導數(shù)為工具研究函數(shù)的單調(diào)性.高一單調(diào)性的學習，既是初中學習的延續(xù)和深化，又為高三的學習奠定基礎． 其次，從函數(shù)角度來講. 函數(shù)的單調(diào)性是學生學習函數(shù)概念后學習的第一個函數(shù)性質(zhì)，也是第一個用數(shù)學符號語言來刻畫的概念.函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)的奇偶性、周期性一樣，都是研究自變量變化時，函數(shù)值的變化規(guī)律；學生對于這些概念的認識，都經(jīng)歷了直觀感受、文字描述和嚴格定義三個階段，即都從圖象觀察，以函數(shù)解析式為依據(jù)，經(jīng)歷用符號語言刻畫圖形語言，用定量分析解釋定性結(jié)果的過程.因此，函數(shù)單調(diào)性的學習為進一步學習函數(shù)的其它性質(zhì)提供了方法依據(jù). 最后，從學科角度來講.函數(shù)的單調(diào)性是學習不等式、極限、導數(shù)等其它數(shù)學知識的重要基礎，是解決數(shù)學問題的常用工具，也是培養(yǎng)學生邏輯推理能力和滲透數(shù)形結(jié)合思想的重要素材. 2．教學的重點和難點 對于函數(shù)的單調(diào)性,學生的認知困難主要在兩個方面: 首先，要求用準確的數(shù)學符號語言去刻畫圖象的上升與下降,把對單調(diào)性直觀感性的認識上升到理性的高度, 這種由形到數(shù)的翻譯,從直觀到抽象的轉(zhuǎn)變對高一的學生來說比較困難. 其次，單調(diào)性的證明是學生在函數(shù)學習中首次接觸到的代數(shù)論證內(nèi)容，而學生在代數(shù)方面的推理論證能力是比較薄弱的. 根據(jù)以上的分析和教學大綱對單調(diào)性的教學要求，本節(jié)課的教學重點是函數(shù)單調(diào)性的概念，判斷、證明函數(shù)的單調(diào)性；難點是引導學生歸納并抽象出函數(shù)單調(diào)性的定義以及根據(jù)定義證明函數(shù)的單調(diào)性. 二、 教學目標的確定 根據(jù)本課教材的特點、教學大綱對本節(jié)課的教學要求以及學生的認知水平，我從三個方面確定了以下教學目標： 1．學生能從形與數(shù)兩方面理解函數(shù)單調(diào)性的概念，初步掌握利用函數(shù)圖象和單調(diào)性定義判斷、證明函數(shù)單調(diào)性的方法． 2．通過對函數(shù)單調(diào)性定義的探究，滲透數(shù)形結(jié)合數(shù)學思想方法，培養(yǎng)觀察、歸納、抽象的能力和語言表達能力；通過對函數(shù)單調(diào)性的證明，提高推理論證能力． 3．通過知識的探究過程培養(yǎng)學生細心觀察、認真分析、嚴謹論證的良好思維習慣；經(jīng)歷從具體到抽象，從特殊到一般，從感性到理性的認知過程． 三、 教學方法的選擇 1．教學方法 本節(jié)課是函數(shù)單調(diào)性的起始課，根據(jù)教學內(nèi)容、教學目標和學生的認知水平，主要采取教師啟發(fā)講授，學生探究學習的教學方法.教學過程中，根據(jù)教材提供的線索，安排適當?shù)慕虒W情境，讓學生展示相應的數(shù)學思維過程，使學生有機會經(jīng)歷數(shù)學概念抽象的各個階段，引導學生獨立自主地開展思維活動，深入探究，從而創(chuàng)造性地解決問題，最終形成概念，獲得方法，培養(yǎng)能力. 2．教學手段 教學中使用了多媒體投影和計算機來輔助教學．目的是充分發(fā)揮其快捷、生動、形象的特點，為學生提供直觀感性的材料，有助于學生對問題的理解和認識． 四、 教學過程的設計 為達到本節(jié)課的教學目標，突出重點，突破難點，我把教學過程設計為四個階段：創(chuàng)設情境，引入課題；歸納探索，形成概念；掌握證法，適當延展；歸納小結(jié)，提高認識.具體過程如下： (一)創(chuàng)設情境，引入課題 概念的形成主要依靠對感性材料的抽象概括，只有學生對學習對象有了豐富具體經(jīng)驗以后，才能使學生對學習對象進行主動的、充分的理解，因此在本階段的教學中，我從具體材料 ——有關奧運會天氣的例子出發(fā)，而不是從抽象語言入手來引入函數(shù)的單調(diào)性.使學生體會到研究函數(shù)單調(diào)性的必要性，明確本課我們要研究和學習的課題，同時激發(fā)學生的學習興趣和主動探究的精神． 在課前，我給學生布置了兩個任務： (1) 由于某種原因，xx年北京奧運會開幕式時間由原定的7月25日推遲到8月8日，請查閱資料說明做出這個決定的主要原因. 課上通過交流，可以了解到開幕式推遲主要是天氣的原因，北京的天氣到8月中旬，平均氣溫、平均降雨量和平均降雨天數(shù)等均開始下降，比較適宜大型國際體育賽事. (2) 通過查閱歷史資料研究北京奧運會開幕式當天氣溫變化情況. 課上我引導學生觀察2006年8月8日的氣溫變化曲線圖，引導學生體會在某些時段溫度升高，某些時段溫度降低. 然后，我指出生活中我們關心很多數(shù)據(jù)的變化，并讓學生舉出一些實際例子（如燃油價格等）. 隨后進一步引導學生歸納：所有這些數(shù)據(jù)的變化，用函數(shù)觀點看，其實就是隨著自變量的變化，函數(shù)值是變大還是變小． (二)歸納探索，形成概念 在本階段的教學中，為使學生充分感受數(shù)學概念的發(fā)生與發(fā)展過程和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想，經(jīng)歷觀察、歸納、抽象的探究過程，加深對函數(shù)單調(diào)性的本質(zhì)的認識，我設計了三個環(huán)節(jié),引導學生分別完成對單調(diào)性定義的三次認識. 1．借助圖象，直觀感知 本環(huán)節(jié)的教學主要是從學生的已有認知出發(fā)，即從學生熟悉的常見函數(shù)的圖象出發(fā)，直觀感知函數(shù)的單調(diào)性，完成對函數(shù)單調(diào)性定義的第一次認識. 在本環(huán)節(jié)的教學中，我主要設計了兩個問題： 問題1：分別作出函數(shù)的圖象，并且觀察自變量變化時，函數(shù)值有什么變化規(guī)律？ 在學生畫圖的基礎上，引導學生觀察圖象，獲得信息：第一個圖象從左向右逐漸上升，y隨x的增大而增大；第二個圖象從左向右逐漸下降，y隨x的增大而減小.然后讓學生明確，對于自變量變化時，函數(shù)值具有這兩種變化規(guī)律的函數(shù)，我們分別稱為增函數(shù)和減函數(shù). 而后兩個函數(shù)圖象的上升與下降要分段說明，通過討論使學生明確函數(shù)的單調(diào)性是對定義域內(nèi)某個區(qū)間而言的，是函數(shù)的局部性質(zhì)． 對于概念教學，若學生能用自己的語言來表述概念的相關屬性，則能更好的理解和掌握概念，因此我設計了問題2. 問題2：能否根據(jù)自己的理解說說什么是增函數(shù)、減函數(shù)? 教學中，我引導學生用自己的語言描述增函數(shù)的定義： 如果函數(shù)在某個區(qū)間上的圖象從左向右逐漸上升，或者如果函數(shù)在某個區(qū)間上隨自變量x的增大，y也越來越大，我們說函數(shù)在該區(qū)間上為增函數(shù)． 然后讓學生類比描述減函數(shù)的定義.至此，學生對函數(shù)單調(diào)性就有了一個直觀、描述性的認識． 2．探究規(guī)律，理性認識 在此環(huán)節(jié)中，我設計了兩個問題，通過對兩個問題的研究、交流、討論，將函數(shù)的單調(diào)性研究從研究函數(shù)圖象過渡到研究函數(shù)的解析式，使學生對單調(diào)性的認識由感性認識上升到理性認識的高度，使學生完成對概念的第二次認識． 問題1：右圖是函數(shù)的 圖象,能說出這個函數(shù)分別在哪個區(qū)間為增 函數(shù)和減函數(shù)嗎？ 對于問題1，學生的困難是難以確定分界點的確切位置．通過討論，使學生感受到用函數(shù)圖象判斷函數(shù)單調(diào)性雖然比較直觀，但有時不夠精確，需要結(jié)合解析式進行嚴密化、精確化的研究,使學生體會到用數(shù)量大小關系嚴格表述函數(shù)單調(diào)性的必要性，從而將函數(shù)的單調(diào)性研究從研究函數(shù)圖象過渡到研究函數(shù)的解析式. 問題2：如何從解析式的角度說明在上為增函數(shù)？ 在前邊的鋪墊下，問題2是形成單調(diào)性概念的關鍵.在教學中，我組織學生先分組探究，然后全班交流，相互補充，并及時對學生的發(fā)言進行反饋，評價，對普遍出現(xiàn)的問題組織學生討論，在辨析中達成共識. 對于問題2，學生錯誤的回答主要有兩種： (1)在給定區(qū)間內(nèi)取兩個數(shù)，例如1和2，因為,所以在上為增函數(shù)． (2)仿(1)，取很多組驗證均滿足，所以在上為增函數(shù)． 對于這兩種錯誤，我鼓勵學生分別用圖形語言和文字語言進行辨析.引導學生明確問題的根源是兩個自變量不可能被窮舉.在充分討論的基礎上，引導學生從給定的區(qū)間內(nèi)任意取兩個自變量,然后求差比較函數(shù)值的大小，從而得到正確的回答: 任意取,有,即，所以在為增函數(shù)． 這種回答既揭示了單調(diào)性的本質(zhì)，也讓學生領悟到兩點：(1)兩自變量的取值具有任意性；(2)求差比較它們函數(shù)值的大小.事實上,這種回答也給出了證明單調(diào)性的方法，為后續(xù)用定義證明其他函數(shù)的單調(diào)性做好鋪墊,降低難度.至此，學生對函數(shù)單調(diào)性有了理性的認識. 3．抽象思維，形成概念 本環(huán)節(jié)在前面研究的基礎上，引導學生歸納、抽象出函數(shù)單調(diào)性的定義，使學生經(jīng)歷從特殊到一般，從具體到抽象的認知過程,完成對概念的第三次認識. 教學中，我引導學生用嚴格的數(shù)學符號語言歸納、抽象增函數(shù)的定義，并讓學生類比得到減函數(shù)的定義.然后我指導學生認真閱讀教材中有關單調(diào)性的概念,對定義中關鍵的地方進行強調(diào). 同時我設計了一組判斷題： 判斷題： ①． ②若函數(shù)滿足f(2)
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