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2019-2020年高三數(shù)學《數(shù)學歸納法》教學設計 考綱要求： 1. 了解數(shù)學歸納法的原理； 2. 能用數(shù)學歸納法證明一些簡單的命題. 高考回顧： 數(shù)學歸納法是高考考查的重點內容之一 類比與猜想是應用數(shù)學歸納法所體現(xiàn)的比較突出的思想，抽象與概括，從特殊到一般是應用的一種主要思想方法. 基礎知識過關： 1． 數(shù)學歸納法：設是一個與自然數(shù)相關的命題集合，如果（1）證明起始命題 成立；（2）在假設 成立的前提下，推出也成立，那么可以斷定，對一切正整數(shù)（或自然數(shù)）成立。 2． 數(shù)學歸納法證題的步驟：（1）（歸納奠定）證明當n第一個值 時，命題成立。（2）（歸納遞推）假設 時命題成立，證明當 時命題也成立。 只要完成這兩個步驟就可以斷定命題對從開始的所有正整數(shù)n成立。 答案： 1. 2. n=k n=k+1 高考題型歸納： 題型1.證明代數(shù)恒等式 用數(shù)學歸納法證明與正整數(shù)有關的一些等式，要弄清等式兩邊的結構，弄清等式兩邊各有多少項，項數(shù)與的取值是否有關系，由n=k到n=k+1時，等式兩邊各增加了多少項，增加了怎樣的項等問題。 例1.歸納法證明下述等式問題： . 分析：主要注意從n=k到n=k+1左邊項的變化. [證明] . 當時，左邊，右邊，∴左邊=右邊，時等式成立； . 假設時等式成立，即 ， ∴當時， 左邊 =右邊，即時等式成立， 根據(jù)，等式對都正確. 點評：等式問題是比較基本的問題，的證明的技巧一般都不高，而且在高考中出現(xiàn)得不多. 題型2.證明不等式 用數(shù)學歸納法證明與正整數(shù)n有關的不等式，是數(shù)學歸納法學習重點，也是考試中的重點題型之一. 例2. 用數(shù)學歸納法證明下述不等式； 分析：一般與自然數(shù)n有關的不等式問題可以應用數(shù)學歸納法來證明，證明過程中特別要主要項的變化. 證明: 當n=2時，左邊， ∴當n=2時，不等式正確； . 假設當不等式正確，即， ∴當時，左邊 ， ∴當時不等式也正確； 根據(jù)知對，且，不等式都正確. 點評：在的證明過程中還需要熟練運用不等式證明的一些技巧，有時有一定的難度，不過必須注意，不是所有的與正整數(shù)n有關的不等式證明都能用數(shù)學歸納法證明成功. 題型3.證明整除問題 在高考難度范圍內，整除問題并不多見，如果與正整數(shù)n有關的整除問題，在教材的范圍內一般只有用數(shù)學歸納法解決. 例3. 用數(shù)學歸納法證明：能被6 整除. 分析：對于多項式A、B,如果A=BC，C也是多項式，那么A能被B整除，若A與B均能被C整除，則A+B,A-B也能被C整除. 證明：.1.時，13+51=6能被6整除，命題正確； . 假設時命題正確，即能被6整除， ∴當時， ， ∵兩個連續(xù)的整數(shù)的乘積是偶數(shù)，能被6整除， 能被6整除，即當時命題也正確， 由知命題時都正確. 點評：用數(shù)學歸納法證明整除問題，在的證明過程中應首先考慮拼湊出“歸納假設”，然后再想辦法證明剩余部分. 題型4.解決數(shù)列問題 歸納——猜想——證明是高考的重點內容之一，數(shù)列是定義在N*上的函數(shù)，這與數(shù)學歸納法運用的范圍是一致的，并且數(shù)列的遞推公式與歸納法的原理實質是一樣的，所以數(shù)列中許多問題常用到數(shù)學歸納法證明。而中學學習歸納法的主要用途就是用來解決數(shù)列問題. 例4. 在數(shù)列{an}中，a1=1，當n≥2時，an,Sn,Sn－成等比數(shù)列 (1)求a2,a3,a4，并推出an的表達式； (2)用數(shù)學歸納法證明所得的結論； 分析：查了數(shù)列、數(shù)學歸納法等基礎知識 等比數(shù)列的性質及數(shù)學歸納法的一般步驟 采用的方法是歸納、猜想、證明 求通項可證明{}是以{}為首項，為公差的等差數(shù)列，進而求得通項公式 解析 ∵an,Sn,Sn－成等比數(shù)列， ∴Sn2=an(Sn－)(n≥2) (*) (1)由a1=1,S2=a1+a2=1+a2,代入(*)式得:a2=－ 由a1=1，a2=－,S3=+a3代入(*)式得 a3=－ 同理可得 a4=－,由此可推出 an= (2)①當n=1,2,3,4時，由(*)知猜想成立 ②假設n=k(k≥2)時，ak=－成立 故Sk2=－(Sk－) ∴(2k－3)(2k－1)Sk2+2Sk－1=0 ∴Sk= (舍) 由Sk+12=ak+1(Sk+1－),得(Sk+ak+1)2=ak+1(ak+1+Sk－) 由①②知，an=對一切n∈N成立 點評：數(shù)學歸納法作為一種證明方法，其基本思想史遞推思想，是用要點可概括為：兩個步驟一結論，遞推基礎不可少，歸納假設要用到，結論寫明莫忘掉。特別是第二步，必須要以第一步為基礎. 過關訓練: 6.4 數(shù)學歸納法 一選擇題 1.已知f(n)=(2n+7)3n+9,存在自然數(shù)m,使得對任意n∈N,都能使m整除f(n)，則最大的m的值為( ) A.30 B.26 C.36 D.6 2.用數(shù)學歸納法證明3k≥n3(n≥3,n∈N)第一步應驗證( ) A.n=1 B.n=2 C.n=3 D.n=4 3．滿足12+23+34+…+n（n+1）=3n2-3n+2的自然數(shù)等于 （ ） A．1；B。1或2；C.1,2,3; D.1,2,3,4; 4在數(shù)列｛an｝中, an=1-…則ak+1= （ ） A．ak+；B.ak+ C.ak+.D.ak+. 5用數(shù)學歸納法證明“當n為正奇數(shù)時，xn+yn能被x+整除”的第二步是 ( ) A.假使n=2k+1時正確,再推n=2k+3正確; B假使n=2k-時正確,再推n=2k+1正確; C. 假使n=k時正確,再推n=k+1正確;D假使n≤k(k≥1),再推n=k+2時正確(以上k∈Z) 6在應用數(shù)學歸納法證明凸n邊形的對角線為n(n-3)條時,第一步驗證n等于 ( ) A.1 B.2; C.3; D.0; 7. 用數(shù)學歸納法證明,在驗證成立時,左邊所得的項為( ) A. 1 B. 1+ C. D. 8.欲用數(shù)學歸納法證明：對于足夠大的自然數(shù)n,總有，那么驗證不等式成立所取的第一個n的最小值應該是 （ ） A. 1 B.9 C.10 D. 9.用數(shù)學歸納法證明（n+1）(n+2)……（n+n）=,從k到k+1，左端需要乘的代數(shù)式為（ ） A.2k+1 B.2(2k+1) C. D. 10.數(shù)列｛an｝中，已知，依次計算后，猜想的表達式為（ ） A.3n-2 B. C. D.4n-3 11.用數(shù)學歸納法證明，則當n=k+1時左端應在n=k的基礎上加上（ ） A. B. C. D. 12.用數(shù)學歸納法證明,能 被9整除，要利用歸納假設證n=k+1時的情況，只需展開（ ） A. B. C. D. 二、填空題 13.觀察下列式子：…則可歸納出_________. 14.已知a1=,an+1=,則a2,a3,a4,a5的值分別為_________，由此猜想an=_________. 15用數(shù)學歸納法證明:1+2+3+…+n2=則n=k+1時左端在n=k時的左端加上_________ 16用數(shù)學歸納法證明“當n為正偶數(shù)為xn-yn能被x+y整除”第一步應驗證n=__________時,命題成立;第二步歸納假設成立應寫成_____________________. 三、解答題 17.用數(shù)學歸納法證明4+3n+2能被13整除，其中n∈N*. 18.若n為大于1的自然數(shù)，求證：. 19.已知數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，b1=1,b1+b2+…+b10=145. (1)求數(shù)列{bn}的通項公式bn; (2)設數(shù)列{an}的通項an=loga(1+)(其中a＞0且a≠1)記Sn是數(shù)列{an}的前n項和，試比較Sn與logabn+1的大小，并證明你的結論. 20設實數(shù)q滿足|q|＜1,數(shù)列{an}滿足：a1=2,a2≠0,anan+1=－qn,求an表達式，又如果S2n＜3,求q的取值范圍. 21. 數(shù)學歸納法證明 1+3+9+…+3 22求證 n能被9整除. 答案與解析： 一、 選擇題 1.解：∵f(1)=36,f(2)=108=336,f(3)=360=1036 ∴f(1),f(2),f(3)能被36整除，猜想f(n)能被36整除. 證明：n=1,2時，由上得證，設n=k(k≥2)時， f(k)=(2k+7)3k+9能被36整除，則n=k+1時， f(k+1)－f(k)=(2k+9)3k+1－(2k+7)3k =(6k+27)3k－(2k+7)3k =(4k+20)3k=36(k+5)3k－2(k≥2) f(k+1)能被36整除 ∵f(1)不能被大于36的數(shù)整除，∴所求最大的m值等于36. 答案：C 2.解：由題意知n≥3，∴應驗證n=3. 答案：C 3解： 用排除法,將4,3依次代入,所以選C. 答案：C 4解：a1=1- 所以, 答案：D。 5.解： 因為n為正奇數(shù),據(jù)數(shù)學歸納法證題步驟,第二步應先假設第k個正奇數(shù)也成立,本題即假設n=2k-1正確,再推第k+1個正奇數(shù)即n=2k+1正確. 答案：B 6.解：因為是證明凸n邊形,首先可先構成n邊形,故選C. 答案：C 7.解：當n=1時，左邊為. 答案：C. 8.解：因為. 答案：C 9.解：當n=k時，左端的式子為（k+1）(k+2)……(k+k),當n=k+1時，左端的代數(shù)式為（k+2）(k+3)……（2k+2）故應乘的式子為=2（2k+1） 答案：B. 10.解：計算出，可猜出. 答案：B. 11.解：當n=k時，左端=1+2+3+……+，當n=k+1時，左端=1+2+……++，故當n=k+1時，需要增加的式子為. 答案：D. 12.解：假設n=k時，原式能被9整除，當n=k+1時，為了能用上面的假設，只需將展開，讓其出現(xiàn)即可. 答案：A. 二、 填空題 13.解： (n∈N*) (n∈N*) 14. 、、、 15.解： n=k左端為1+2+3+…k2 n=k+1時左端為1+2+3+…k2+(k+1)2. 答案: (k+1)2 16 解：因為n為正偶數(shù),故第一值n=2,第二步假設n取第k個正偶數(shù)成立,即n=2k,故應假設成x2k-y2k能被x+y整除. 答案：2. x2k-y2k能被x+y整除 三、解答題 17.證明：(1)當n=1時，421+1+31+2=91能被13整除 (2)假設當n=k時，42k+1+3k+2能被13整除，則當n=k+1時， 42(k+1)+1+3k+3=42k+142+3k+23－42k+13+42k+13 =42k+113+3(42k+1+3k+2) ∵42k+113能被13整除，42k+1+3k+2能被13整除 ∴當n=k+1時也成立. 由①②知，當n∈N*時，42n+1+3n+2能被13整除. 18.證明：(1)當n=2時， (2)假設當n=k時成立，即 19.(1)解：設數(shù)列{bn}的公差為d,由題意得,∴bn=3n－2 (2)證明：由bn=3n－2知 Sn=loga(1+1)+loga(1+)+…+loga(1+) =loga［(1+1)(1+)…(1+ )］ 而logabn+1=loga,于是，比較Sn與logabn+1的大小比較(1+1)(1+)…(1+)與的大小. 取n=1，有(1+1)= 取n=2，有(1+1)(1+ 推測：(1+1)(1+)…(1+)＞ (*) ①當n=1時，已驗證(*)式成立. ②假設n=k(k≥1)時(*)式成立，即(1+1)(1+)…(1+)＞ 則當n=k+1時， ,即當n=k+1時，(*)式成立 由①②知，(*)式對任意正整數(shù)n都成立. 于是，當a＞1時，Sn＞logabn+1,當 0＜a＜1時，Sn＜logabn+1 20.解：∵a1a2=－q,a1=2,a2≠0, ∴q≠0,a2=－, ∵anan+1=－qn,an+1an+2=－qn+1 兩式相除，得,即an+2=qan 于是，a1=2,a3=2q,a5=2qn…猜想：a2n+1=－qn(n=1,2,3,…) 綜合①②，猜想通項公式為an= 下證：(1)當n=1,2時猜想成立 (2)設n=2k－1時，a2k－1=2qk－1則n=2k+1時，由于a2k+1=qa2k－1 ∴a2k+1=2qk即n=2k－1成立. 可推知n=2k+1也成立. 設n=2k時，a2k=－qk,則n=2k+2時，由于a2k+2=qa2k, 所以a2k+2=－qk+1,這說明n=2k成立，可推知n=2k+2也成立. 綜上所述，對一切自然數(shù)n,猜想都成立. 這樣所求通項公式為an= S2n=(a1+a3…+a2n－1)+(a2+a4+…+a2n) =2(1+q+q2+…+qn-1)－ (q+q2+…+qn) 由于|q|＜1,∴= 依題意知＜3,并注意1－q＞0,|q|＜1解得－1＜q＜0或0＜q＜ 21證明(1)當n=1時,左=1,右=(31-1)=1,命題成立. (2)假設n=k時,命題成立,即:1+3+9+…3k-1=(3k-1),則當n=k+1時,1+3+9+…+3k-1+3k=(3k-1)+3k=(3k+1-1),即n=k+1命題成立. 22.證明(1)當n=1時,13+(1+1)3+(1+2)3=36能被9整除. (2)假設n=k時成立即:k3+(k+1)3+(k+2)3能被9整除,當k=n+1時 (k+1)3+(k+2)3+(k+3)3= k3+(k+1)3+(k+2)3+9k2+9k+27= k3+(k+1)3+(k+2)3+9(k2+k+3)能被9整除 由(1),(2)可知原命題成立.