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章末綜合測(cè)評(píng)(二)　推理與證明 (滿分：150分　時(shí)間：120分鐘) 一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的) 1．根據(jù)偶函數(shù)定義可推得“函數(shù)f(x)＝x2在R上是偶函數(shù)”的推理過(guò)程是 (　　) A．歸納推理 B．類比推理 C．演繹推理 D．非以上答案 C　[根據(jù)演繹推理的定義知，推理過(guò)程是演繹推理，故選C.] 2．在△ABC中，E、F分別為AB、AC的中點(diǎn)，則有EF∥BC，這個(gè)問(wèn)題的大前提為(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：31062183】 A．三角形的中位線平行于第三邊 B．三角形的中位線等于第三邊的一半 C．EF為中位線 D．EF∥BC A　[這個(gè)三段論推理的形式為：大前提：三角形的中位線平行于第三邊；小前提：EF為△ABC的中位線；結(jié)論：EF∥BC.] 3．用數(shù)學(xué)歸納法證明：“(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n13…(2n－1)”．從“k到k＋1”左端需增乘的代數(shù)式為(　　) A．2k＋1 B．2(2k＋1) C． D． B　[當(dāng)n＝k時(shí)左端的第一項(xiàng)為(k＋1)，最后一項(xiàng)為(k＋k)．當(dāng)n＝k＋1時(shí)，左端的第一項(xiàng)為(k＋2)，最后一項(xiàng)為(2k＋2)．∴左邊乘以(2k＋1)(2k＋2)，同時(shí)還要除以(k＋1)．] 4．下列推理正確的是(　　) A．把a(bǔ)(b＋c)與loga(x＋y)類比，則有l(wèi)oga(x＋y)＝logax＋logay B．把a(bǔ)(b＋c)與sin(x＋y)類比，則有sin(x＋y)＝sin x＋sin y C．把a(bǔ)(b＋c)與ax＋y類比，則有ax＋y＝ax＋ay D．把(a＋b)＋c與(xy)z類比，則有(xy)z＝x(yz) D　[(xy)z＝x(yz)是乘法的結(jié)合律，正確．] 5．已知a＋b＋c＝0，則ab＋bc＋ca的值(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：31062184】 A．大于0 B．小于0 C．不小于0 D．不大于0 D　[法一：因?yàn)閍＋b＋c＝0， 所以a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc＝0， 所以ab＋bc＋ca＝－≤0. 法二：令c＝0，若b＝0，則ab＋bc＋ca＝0，否則a、b異號(hào)，所以ab＋bc＋ca＝ab＜0，排除A、B、C，故選D.] 6．對(duì)“a，b，c是不全相等的正數(shù)”，給出下列判斷： ①(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0； ②a＝b與b＝c及a＝c中至少有一個(gè)成立； ③a≠c，b≠c，a≠b不能同時(shí)成立． 其中判斷正確的個(gè)數(shù)為(　　) A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè) B　[若(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2＝0，則a＝b＝c，與“a，b，c是不全相等的正數(shù)”矛盾，故①正確．a(chǎn)＝b與b＝c及a＝c中最多只能有一個(gè)成立，故②不正確．由于“a，b，c是不全相等的正數(shù)”，有兩種情形：至多有兩個(gè)數(shù)相等或三個(gè)數(shù)都互不相等，故③不正確．] 7．我們把平面幾何里相似形的概念推廣到空間：如果兩個(gè)幾何體大小不一定相等，但形狀完全相同，就把它們叫做相似體．下列幾何體中，一定屬于相似體的有(　　) ①兩個(gè)球體；②兩個(gè)長(zhǎng)方體；③兩個(gè)正四面體；④兩個(gè)正三棱柱；⑤兩個(gè)正四棱錐． A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè) C　[類比相似形中的對(duì)應(yīng)邊成比例知，①③屬于相似體．] 8．觀察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，則a10＋b10＝(　　) A．28 B．76 C．123 D．199 C　[利用歸納法，a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4＝3＋1，a4＋b4＝4＋3＝7，a5＋b5＝7＋4＝11，a6＋b6＝11＋7＝18，a7＋b7＝18＋11＝29，a8＋b8＝29＋18＝47，a9＋b9＝47＋29＝76，a10＋b10＝76＋47＝123，規(guī)律為從第三組開(kāi)始，其結(jié)果為前兩組結(jié)果的和．] 9．對(duì)任意的銳角α，β，下列不等式中正確的是(　　) A．sin(α＋β)＞sin α＋sin β B．sin(α＋β)＞cos α＋cos β C．cos(α＋β)＞sin α＋sin β D．cos(α＋β)＜cos α＋cos β D　[因?yàn)棣?，β為銳角，所以0＜α＜α＋β＜π，所以cos α＞cos(α＋β)．又cos β＞0，所以cos α＋cos β＞cos(α＋β)．] 10．在等差數(shù)列{an}中，若a10＝0，則有等式a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n(n<19且n∈N*)成立，類比上述性質(zhì)，在等比數(shù)列{bn}中，若b11＝1，則有(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：31062185】 A．b1b2…bn＝b1b2…b19－n B．b1b2…bn＝b1b2…b21－n C．b1＋b2＋…＋bn＝b1＋b2＋…＋b19－n D．b1＋b2＋…＋bn＝b1＋b2＋…＋b21－n B　[令n＝10時(shí)，驗(yàn)證即知選B.] 11．將石子擺成如圖1的梯形形狀，稱數(shù)列5,9,14,20，…為“梯形數(shù)”．根據(jù)圖形的構(gòu)成，此數(shù)列的第2 014項(xiàng)與5的差，即a2 014－5＝(　　) 圖1 A．20182014 B．20182013 C．10102012 D．10102013 D　[an－5表示第n個(gè)梯形有n－1層點(diǎn)，最上面一層為4個(gè)，最下面一層為n＋2個(gè)． ∴an－5＝，∴a2 014－5＝＝2 0131 010.] 12．如圖1(1)，在△ABC中，AB⊥AC于點(diǎn)A，AD⊥BC于點(diǎn)D，則有AB2＝BDBC，類似地有命題：如圖1(2)，在三棱錐A－BCD中，AD⊥平面ABC，若A在△BCD內(nèi)的射影為O，則S＝S△BCOS△BCD，那么上述命題(　　) (1)　　　　　　(2) 圖1 A．是真命題 B．增加條件“AB⊥AC”后才是真命題 C．是假命題 D．增加條件“三棱錐A－BCD是正三棱錐”后才是真命題 A　[由已知垂直關(guān)系，不妨進(jìn)行如下類比：將題圖(2)中的△ABC，△BCO，△BDC分別與題圖(1)中的AB，BD，BC進(jìn)行類比即可．嚴(yán)格推理如下：連結(jié)DO并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)E，連結(jié)AE(圖略)，則DE⊥BC，AE⊥BC.因?yàn)锳D⊥平面ABC，所以AD⊥AE.又因?yàn)锳O⊥DE，所以AE2＝EOED，所以S＝(BCEA)2＝(BCEO)(BCED)＝S△BCOS△BCD.故選A.] 二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分，將答案填在題中的橫線上) 13．已知x，y∈R，且x＋y>2，則x，y中至少有一個(gè)大于1，在用反證法證明時(shí)，假設(shè)應(yīng)為_(kāi)_______. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：31062186】 [解析]　“至少有一個(gè)”的反面為“一個(gè)也沒(méi)有”，即“x，y均不大于1”，亦即“x≤1且y≤1”． [答案]　x，y均不大于1(或者x≤1且y≤1) 14．當(dāng)n＝1時(shí)，有(a－b)(a＋b)＝a2－b2，當(dāng)n＝2時(shí)，有(a－b)(a2＋ab＋b2)＝a3－b3，當(dāng)n＝3時(shí)，有(a－b)(a3＋a2b＋ab2＋b3)＝a4－b4，當(dāng)n∈N*時(shí)，你能得到的結(jié)論是________． [解析]　根據(jù)題意，由于當(dāng)n＝1時(shí)，有(a－b)(a＋b)＝a2－b2，當(dāng)n＝2時(shí)，有(a－b)(a2＋ab＋b2)＝a3－b3，當(dāng)n＝3時(shí)，有(a－b)(a3＋a2b＋ab2＋b3)＝a4－b4，當(dāng)n∈N*時(shí)，左邊第二個(gè)因式可知為an＋an－1b＋…＋abn－1＋bn，那么對(duì)應(yīng)的表達(dá)式為(a－b)(an＋an－1b＋…＋abn－1＋bn)＝an＋1－bn＋1. [答案]　(a－b)(an＋an－1b＋…＋abn－1＋bn)＝an＋1－bn＋1 15．有三張卡片，分別寫有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一張卡片，甲看了乙的卡片后說(shuō)：“我與乙的卡片上相同的數(shù)字不是2”，乙看了丙的卡片后說(shuō)：“我與丙的卡片上相同的數(shù)字不是1”，丙說(shuō)：“我的卡片上的數(shù)字之和不是5”，則甲的卡片上的數(shù)字是________． [解析]　法一：由題意得丙的卡片上的數(shù)字不是2和3. 若丙的卡片上的數(shù)字是1和2，則由乙的說(shuō)法知乙的卡片上的數(shù)字是2和3，則甲的卡片上的數(shù)字是1和3，滿足題意； 若丙的卡片上的數(shù)字是1和3，則由乙的說(shuō)法知乙的卡片上的數(shù)字是2和3，則甲的卡片上的數(shù)字是1和2，不滿足甲的說(shuō)法． 故甲的卡片上的數(shù)字是1和3. 法二：因?yàn)榧着c乙的卡片上相同的數(shù)字不是2，所以丙的卡片上必有數(shù)字2.又丙的卡片上的數(shù)字之和不是5，所以丙的卡片上的數(shù)字是1和2.因?yàn)橐遗c丙的卡片上相同的數(shù)字不是1，所以乙的卡片上的數(shù)字是2和3，所以甲的卡片上的數(shù)字是1和3. [答案]　1和3 16．現(xiàn)有一個(gè)關(guān)于平面圖形的命題：同一平面內(nèi)有兩個(gè)邊長(zhǎng)都是a的正方形，其中一個(gè)的某頂點(diǎn)在另一個(gè)的中心，則這兩個(gè)正方形重疊部分的面積恒為.類比到空間，有兩個(gè)棱長(zhǎng)為a的正方體，其中一個(gè)的某頂點(diǎn)在另一個(gè)的中心，則這兩個(gè)正方體重疊部分的體積恒為_(kāi)_______. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：31062187】 [解析]　解法的類比(特殊化)，易得兩個(gè)正方體重疊部的體積為. [答案]　 三、解答題(本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟) 17．(本題滿分10分)用綜合法或分析法證明： (1)如果a，b>0，則lg ≥； (2)＋>2＋2. [證明]　(1)當(dāng)a，b>0時(shí)，有≥， ∴l(xiāng)g≥lg， ∴l(xiāng)g≥lg ab＝. (2)要證＋>2＋2， 只要證(＋)2>(2＋2)2， 即2>2，這是顯然成立的， 所以，原不等式成立． 18．(本題滿分12分)觀察： ①tan 10tan 20＋tan 20tan 60＋tan 60tan 10＝1， ②tan 5tan 10＋tan 10tan 75＋tan 75tan 5＝1. 由以上兩式成立能得到一個(gè)從特殊到一般的推廣，此推廣是什么？并證明你的推廣． [解]　從已知觀察到10＋20＋60＝90，10＋75＋5＝90，因此猜測(cè)推廣式為若α＋β＋γ＝，且α，β，γ都不為kπ＋(k∈Z)，則tan αtan β＋tan βtan γ＋tan γtan α＝1. 證明如下：由α＋β＋γ＝，得α＋β＝－γ. 因?yàn)閠an(α＋β)＝tan＝.又因?yàn)閠an(α＋β)＝，所以tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)＝(1－tan αtan β)，所以tan αtan β＋tan βtan γ＋tan γtan α＝tan γ(tan α＋tan β)＋tan αtan β＝tan γ(1－tan αtan β)＋tan αtan β＝1－tan αtan β＋tan αtan β＝1. 19．(本題滿分12分)設(shè)a>0，b>0，a＋b＝1，求證：＋＋≥8.試用綜合法和分析法分別證明. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：31062188】 [解]　法一(綜合法) ∵a>0，b>0，a＋b＝1， ∴1＝a＋b≥2，≤，ab≤，∴≥4. 又∵＋＝(a＋b)＝2＋＋≥4， ∴＋＋≥8(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝時(shí)等號(hào)成立)． 法二(分析法) ∵a>0，b>0，a＋b＝1，要證＋＋≥8， 只要證＋≥8， 只要證＋≥8， 即證＋≥4， 也就是證＋≥4， 即證＋≥2. 由基本不等式可知，當(dāng)a>0，b>0時(shí)， ＋≥2成立，所以原不等式成立． 20．(本題滿分12分)已知函數(shù)f(x)＝ax＋(a>1)． (1)證明：函數(shù)f(x)在(－1，＋∞)上為增函數(shù)； (2)用反證法證明方程f(x)＝0沒(méi)有負(fù)數(shù)根. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：31062189】 [解]　(1)法一：任取x1、x2∈(－1，＋∞)， 不妨設(shè)x10，ax2－x1>1且ax1>0， ∴ax2－ax1＝ax1(ax2－x1－1)>0， 又∵x1＋1>0，x2＋1>0， ∴－＝ ＝>0， 于是f(x2)－f(x1)＝ax2－ax1＋－>0， 故函數(shù)f(x)在(－1，＋∞)上為增函數(shù)． 法二：f ′(x)＝axlna＋ ＝axln a＋ ∵a>1，∴l(xiāng)n a>0，∴axln a＋>0， f ′(x)>0在(－1，＋∞)上恒成立， 即f(x)在(－1，＋∞)上為增函數(shù)． (2)法一：設(shè)存在x0<0(x0≠－1)滿足f(x0)＝0， 則ax0＝－，且00，ax0>0， ∴f(x0)>0. 綜上，x<0(x≠－1)時(shí)，f(x)<－1或f(x)>0，即方程f(x)＝0無(wú)負(fù)數(shù)根． 21．(本題滿分12分) (1)橢圓C：＋＝1(a>b>0)與x軸交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓C上異于A、B的任意一點(diǎn)，直線PA、PB分別與y軸交于點(diǎn)M、N，求證：為定值b2－a2. (2)類比(1)可得如下真命題：雙曲線－＝1(a>0，b>0)與x軸交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P是雙曲線C上異于A、B的任意一點(diǎn)，直線PA、PB分別與y軸交于點(diǎn)M、N，求證：為定值，請(qǐng)寫出這個(gè)定值(不要求寫出解題過(guò)程). 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：31062190】 [解]　(1)證明如下：設(shè)點(diǎn)P(x0，y0)(x0≠a)． 依題意，得A(－a,0)，B(a,0)， 所以直線PA的方程為y＝(x＋a)， 令x＝0，得yM＝.同理得yN＝－. 所以yMyN＝. 又點(diǎn)P(x0，y0)在橢圓上，所以＋ ＝1， 因此y＝(a2－x)． 所以yMyN＝＝b2. 因?yàn)椋?a，yN)，＝(－a，yM)， 所以＝－a2＋yMyN＝b2－a2. (2)－(a2＋b2)． 22．(本題滿分12分)各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列{an}滿足a1＝1，a－a＝2. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)求證：＋＋…＋≤對(duì)一切n∈N*恒成立． [解]　(1)∵a－a＝2， ∴數(shù)列{a}為首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列， ∴a＝1＋(n－1)2＝2n－1， 又an>0，則an＝.(n∈N*) (2)證明：由(1)知，即證1＋＋…＋≤. ①當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝1，右邊＝1，所以不等式成立． 當(dāng)n＝2時(shí)，左邊<右邊，所以不等式成立． ②假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥2，k∈N*)時(shí)不等式成立， 即1＋＋…＋≤， 當(dāng)n＝k＋1時(shí)， 左邊＝1＋＋…＋＋≤＋<＋ ＝＋ ＝＝ 所以當(dāng)n＝k＋1時(shí)不等式成立． 由①②知對(duì)一切n∈N*不等式恒成立．