2018年秋高中數(shù)學(xué) 第一章 計(jì)數(shù)原理 階段復(fù)習(xí)課 第1課 計(jì)數(shù)原理學(xué)案 新人教A版選修2-3.doc
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第一課 計(jì)數(shù)原理 [核心速填] (建議用時(shí)5分鐘) 1.分類加法計(jì)數(shù)原理:完成一件事可以有n類辦法,在第一類辦法中有m1種不同的方法,在第二類辦法中有m2種不同的方法,…,在第n類辦法中有mn種不同的方法,那么完成這件事共有N=m1+m2+…+mn種不同的方法. 2.分步乘法計(jì)數(shù)原理:完成一件事需要分成n個(gè)步驟,做第一步有m1種不同的方法,做第二步有m2種不同的方法,…,做第n步有mn種不同的方法,那么完成這件事有N=m1m2…mn種不同的方法. 3.排列數(shù)與組合數(shù)公式及性質(zhì) 排列與排列數(shù) 組合與組合數(shù) 公式 排列數(shù)公式A=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)= 組合數(shù)公式C=== 性質(zhì) 當(dāng)m=n時(shí),A為全排列A=n?。??。? C=C=1; C=C; C+C=C 備注 n,m∈N*且m≤m 4.二項(xiàng)式定理 (1)二項(xiàng)式定理的內(nèi)容 (a+b)n=Can+Can-1b+…+Can-kbk+…+Cbn(n∈N*). (2)通項(xiàng)公式:Tk+1=Can-kbk,k∈{0,1,2,…,n}, (3)二項(xiàng)式系數(shù)C(k∈{0,1,2,…,n})的性質(zhì) ①與首末兩端等距離的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等; ②若n為偶數(shù),中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大;若n為奇數(shù),中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等且最大. ③C+C+C+…+C=2n;C+C+…=C+C+…=2n-1. [體系構(gòu)建] 通過(guò)前面的學(xué)習(xí)與核心知識(shí)的填寫(xiě),請(qǐng)把本課的知識(shí)點(diǎn)以網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建的形式展現(xiàn)出來(lái). [題型探究] 兩個(gè)計(jì)數(shù)原理 分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理是本部分內(nèi)容的基礎(chǔ),對(duì)應(yīng)用題的考查,經(jīng)常要對(duì)問(wèn)題進(jìn)行分類或者分步進(jìn)行分析求解. (1)“分類”表現(xiàn)為其中任何一類均可獨(dú)立完成所給事情.“分步”表現(xiàn)為必須把各步驟均完成,才能完成所給事情,所以準(zhǔn)確理解兩個(gè)原理的關(guān)鍵在于弄清分類加法計(jì)數(shù)原理強(qiáng)調(diào)完成一件事情的幾類辦法互不干擾,不論哪一類辦法中的哪一種方法都能夠獨(dú)立完成事件. (2)分步乘法計(jì)數(shù)原理強(qiáng)調(diào)各步驟缺一不可,需要依次完成所有步驟才能完成事件,步與步之間互不影響,即前一步用什么方法不影響后一步采取什么方法. (1)方程+=1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓,其中m∈{1,2,3,4,5},n∈{1,2,3,4,5,6,7},那么這樣的橢圓的個(gè)數(shù)是________. (2)某電視臺(tái)連續(xù)播放6個(gè)廣告,其中有3個(gè)不同的商業(yè)廣告、兩個(gè)不同的宣傳廣告、一個(gè)公益廣告,要求最后播放的不能是商業(yè)廣告,且宣傳廣告與公益廣告不能連續(xù)播放,兩個(gè)宣傳廣告也不能連續(xù)播放,則有多少種不同的播放方式? 【導(dǎo)學(xué)號(hào):95032096】 (1)20 [以m的值為標(biāo)準(zhǔn)分類,分五類: 第一類:m=1時(shí),使n>m,n有6種選擇; 第二類:m=2時(shí),使n>m,n有5種選擇; 第三類:n=3時(shí),使n>m,n有4種選擇; 第四類:n=4時(shí),使n>m,n有3種選擇; 第五類:n=5時(shí),使n>m,n有2種選擇; 所以共有6+5+4+3+2=20種方法.] (2)[解] 用1,2,3,4,5,6表示廣告的播放順序,則完成這件事有三類方法. 第一類:宣傳廣告與公益廣告的播放順序是2,4,6.分6步完成這件事,共有332211=36種不同的播放方式. 第二類:宣傳廣告與公益廣告的播放順序是1,4,6,分6步完成這件事,共有332211=36種不同的播放方式. 第三類:宣傳廣告與公益廣告的播放順序是1,3,6,同樣分6步完成這件事,共有332211=36種不同的播放方式.由分類加法計(jì)數(shù)原理得:6個(gè)廣告不同的播放方式有36+36+36=108種. [延伸探究] 若本例(1)中條件“y軸”改為“x軸”,試求滿足條件的橢圓的個(gè)數(shù). [解] 因?yàn)榉匠瘫硎窘裹c(diǎn)在x軸上的橢圓,則m>n>0. 以m的取值進(jìn)行分類. 當(dāng)m=1時(shí),n值不存在; 當(dāng)m=2時(shí),n可取1,只有1種選擇; 當(dāng)m=3時(shí),n可取1,2,有2種選擇; 當(dāng)m=4時(shí),n可取1,2,3,有3種選擇; 當(dāng)m=5時(shí),n可取1,2,3,4,有4種選擇; 由分類加法計(jì)數(shù)原理可知,符合條件的橢圓共有10個(gè). [規(guī)律方法] 1.使用兩個(gè)原理解決問(wèn)題的思路 (1)選擇使用兩個(gè)原理解決問(wèn)題時(shí),要根據(jù)我們完成某件事情采取的方式而定,確定是分類還是分步,要抓住兩個(gè)原理的本質(zhì). (2)分類加法計(jì)數(shù)原理的關(guān)鍵是“類”,分類時(shí),首先要根據(jù)問(wèn)題的特點(diǎn)確定一個(gè)合適的分類標(biāo)準(zhǔn),然后在這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)下進(jìn)行分類;其次分類時(shí)要注意,完成這件事的任何一種方法必須屬于某一類,并且分別屬于不同類的兩種方法是不同的方法. (3)分步乘法計(jì)數(shù)原理的關(guān)鍵是“步”,分步時(shí)首先要根據(jù)問(wèn)題的特點(diǎn)確定一個(gè)分步的標(biāo)準(zhǔn);其次,分步時(shí)還要注意滿足完成一件事必須并且只有連續(xù)完成這n個(gè)步驟后,這件事才算完成,只有滿足了上述條件,才能用分步乘法計(jì)數(shù)原理. 2.使用兩個(gè)原理解決問(wèn)題時(shí)應(yīng)注意的問(wèn)題 對(duì)于一些比較復(fù)雜的既要運(yùn)用分類加法計(jì)數(shù)原理又要運(yùn)用分步乘法計(jì)數(shù)原理的問(wèn)題,我們可以恰當(dāng)?shù)禺?huà)出示意圖或列出表格,使問(wèn)題更加直觀、清晰. [跟蹤訓(xùn)練] 1.有六名同學(xué)報(bào)名參加三個(gè)智力競(jìng)賽項(xiàng)目,在下列情況下各有多少種不同的報(bào)名方法?(不一定六名同學(xué)都能參加) (1)每人恰好參加一項(xiàng),每項(xiàng)人數(shù)不限; (2)每項(xiàng)限報(bào)一人,且每人至多參加一項(xiàng); (3)每項(xiàng)限報(bào)一人,但每人參加的項(xiàng)目不限. [解] (1)每人都可以從這三個(gè)比賽項(xiàng)目中選報(bào)一項(xiàng),各有3種不同選法,由分步乘法計(jì)數(shù)原理,知共有選法36=729(種). (2)每項(xiàng)限報(bào)一人,且每人至多參加一項(xiàng),因此可由項(xiàng)目選人,第一個(gè)項(xiàng)目有6種選法,第二個(gè)項(xiàng)目有5種選法,第三個(gè)項(xiàng)目只有4種選法,由分步乘法計(jì)數(shù)原理,得共有報(bào)名方法654=120(種). (3)由于每人參加的項(xiàng)目不限,因此每一個(gè)項(xiàng)目都可以從這六人中選出一人參賽,由分步乘法計(jì)數(shù)原理,得共有不同的報(bào)名方法63=216(種). 排列、組合的應(yīng)用 排列、組合應(yīng)用題是高考的重點(diǎn)內(nèi)容,常與實(shí)際問(wèn)題結(jié)合命題,要認(rèn)真審題,明確問(wèn)題本質(zhì),利用排列、組合的知識(shí)解決. (1)5名乒乓球隊(duì)員中,有2名老隊(duì)員和3名新隊(duì)員.現(xiàn)從中選出3名隊(duì)員排成1,2,3號(hào)參加團(tuán)體比賽,則入選的3名隊(duì)員中至少有1名老隊(duì)員且1、2號(hào)中至少有1名新隊(duì)員的排法有________種.(用數(shù)字作答) (2)在高三一班元旦晚會(huì)上,有6個(gè)演唱節(jié)目,4個(gè)舞蹈節(jié)目. ①當(dāng)4個(gè)舞蹈節(jié)目要排在一起時(shí),有多少種不同的節(jié)目安排順序? ②當(dāng)要求每2個(gè)舞蹈節(jié)目之間至少安排1個(gè)演唱節(jié)目時(shí),有多少種不同的節(jié)目安排順序? ③若已定好節(jié)目單,后來(lái)情況有變,需加上詩(shī)朗誦和快板2個(gè)欄目,但不能改變?cè)瓉?lái)節(jié)目的相對(duì)順序,有多少種不同的節(jié)目演出順序? 【導(dǎo)學(xué)號(hào):95032097】 [思路探究] 按照“特殊元素先排法”分步進(jìn)行,先特殊后一般. [解] (1)①只有1名老隊(duì)員的排法有CCA=36種.②有2名老隊(duì)員的排法有CCCA=12種.所以共有36+12=48種. (2)①第一步,先將4個(gè)舞蹈節(jié)目捆綁起來(lái),看成1個(gè)節(jié)目,與6個(gè)演唱節(jié)目一起排,有A=5 040種方法;第二步,再松綁,給4個(gè)節(jié)目排序,有A=24種方法. 根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理,一共有5 04024=120 960種. ②第一步,將6個(gè)演唱節(jié)目排成一列(如下圖中的“□”),一共有A=720種方法. □□□□□□ 第二步,再將4個(gè)舞蹈節(jié)目排在一頭一尾或兩個(gè)節(jié)目中間(即圖中“”的位置),這樣相當(dāng)于7個(gè)“”選4個(gè)來(lái)排,一共有A=7654=840種. 根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理,一共有720840=604 800種. ③若所有節(jié)目沒(méi)有順序要求,全部排列,則有A種排法,但原來(lái)的節(jié)目已定好順序,需要消除,所以節(jié)目演出的方式有=A=132種排法. [規(guī)律方法] 1.處理排列組合應(yīng)用題的一般步驟 (1)認(rèn)真審題,弄清楚是排列(有序)還是組合(無(wú)序),還是排列與組合混合問(wèn)題. (2)抓住問(wèn)題的本質(zhì)特征,準(zhǔn)確合理地利用兩個(gè)基本原理進(jìn)行“分類與分步”. 2.處理排列組合應(yīng)用題的規(guī)律 (1)兩種思路:直接法,間接法. (2)兩種途徑:元素分析法,位置分析法. 3.排列組合應(yīng)用題的常見(jiàn)類型和解決方法 (1)特殊元素、特殊位置優(yōu)先安排的策略. (2)合理分類與準(zhǔn)確分步的策略. (3)正難則反,等價(jià)轉(zhuǎn)化的策略. (4)相鄰問(wèn)題捆綁法,不相鄰問(wèn)題插空法的策略. (5)元素定序,先排后除的策略. (6)排列、組合混合題先選后排策略. (7)復(fù)雜問(wèn)題構(gòu)造模型策略. [跟蹤訓(xùn)練] 2.(1)我國(guó)第一艘航母“遼寧艦”在某次艦載機(jī)起降飛行訓(xùn)練中,有5架飛機(jī)準(zhǔn)備著艦.如果甲、乙兩機(jī)必須相鄰著艦,而丙、丁兩機(jī)不能相鄰著艦,那么不同的著艦方法有( ) A.12種 B.18種 C.24種 D.48種 (2)3名教師與4名學(xué)生排成一橫排照相,求①3名教師必須排在一起的不同排法有多少種?②3名教師必須在中間(在3,4,5位置上)的不同排法有多少種?③3名教師不能相鄰的不同排法有多少種? C [(1)法一:將甲、乙兩機(jī)“捆綁”看作一個(gè)元素,與除去丙、丁兩機(jī)外的另一架飛機(jī)進(jìn)行全排列,再將丙、丁兩機(jī)“插空”排入,共有AAA=24種不同著艦方法. 法二:先對(duì)甲、乙兩機(jī)“捆綁”在一起看作整體,該整體有兩種著艦方法,此時(shí)相當(dāng)于只有4架艦載機(jī),這4架艦載機(jī)有A種著艦方法,其中有AA種方法丙丁兩機(jī)相鄰著艦,利用分步乘法計(jì)數(shù)原理得2=24種.] (2)①3名教師的排法有A,把3名教師作為一個(gè)整體與4個(gè)學(xué)生共5個(gè)元素的全排列共有A種,則共有AA=720(種). ②3名教師的排法有A,4個(gè)學(xué)生在4個(gè)位子上的全排列共有A種,則共有AA=144(種). ③先4個(gè)學(xué)生全排列,再在五個(gè)空位中任選3個(gè)排3名教師,共AA=1 440(種). 二項(xiàng)式定理的應(yīng)用 通項(xiàng)公式Tr+1=Can-rbr(r=0,1,2,…,n)集中體現(xiàn)了二項(xiàng)展開(kāi)式中的指數(shù)、項(xiàng)數(shù)、系數(shù)的變化,是二項(xiàng)式定理的核心,它在求展開(kāi)式的某些特定項(xiàng)(如含指定冪的項(xiàng)、常數(shù)項(xiàng)、中間項(xiàng)、有理項(xiàng)、系數(shù)最大的項(xiàng)等)及其系數(shù)等方面有著廣泛的應(yīng)用. (1)已知(1+kx2)6(k是正整數(shù))的展開(kāi)式中x8的系數(shù)小于120,則k=________. (2)已知二項(xiàng)式展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)之和是各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)之和的16倍. 【導(dǎo)學(xué)號(hào):95032098】 ①求n; ②求展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng); ③求展開(kāi)式中所有x的有理項(xiàng). (1)1 [(1+kx2)6的展開(kāi)式的通項(xiàng)為Tr+1=C(kx2)r=Ckrx2r,令2r=8得r=4,∴x8的系數(shù)為Ck4=15k4 ∴15k4<120.也即k4<8,又k是正整數(shù).故k只能取1.] (2)[解] ①令x=1得二項(xiàng)式展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)之和為(5-1)n=4n,各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)之和為2n,由題意得,4n=162n,所以2n=16,n=4. ②通項(xiàng)Tr+1=C(5x)4-r=(-1)rC54-rx. 展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第3項(xiàng): T3=(-1)2C52x=150x. ③由②得:4-r∈Z.(r=0,1,2,3,4),即r=0,2,4, 所以展開(kāi)式中所有x的有理項(xiàng)為 T1=(-1)0C54x4=625x4, T3=(-1)2C52x=150x, T5=(-1)4C50x-2=x-2. [規(guī)律方法] 應(yīng)用二項(xiàng)式定理解題要注意的問(wèn)題 (1)通項(xiàng)公式表示的是第“r+1”項(xiàng),而不是第“r”項(xiàng). (2)展開(kāi)式中第r+1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)C與第r+1項(xiàng)的系數(shù),在一般情況下是不相同的,在具體求各項(xiàng)的系數(shù)時(shí),一般先處理符號(hào),對(duì)根式和指數(shù)的運(yùn)算要細(xì)心,以防出差錯(cuò). (3)它表示二項(xiàng)展開(kāi)式中的任意項(xiàng),只要n與r確定,該項(xiàng)也隨之確定.對(duì)于一個(gè)具體的二項(xiàng)式,它的展開(kāi)式中的項(xiàng)Tr+1依賴于r. [跟蹤訓(xùn)練] 3.(1)若二項(xiàng)式的展開(kāi)式中的系數(shù)是84,則實(shí)數(shù)a=( ) A.2 B. C.1 D. (2)已知(1+x+x2)(n∈N*)的展開(kāi)式中沒(méi)有常數(shù)項(xiàng),且2≤n≤8,則n=________. (1)C (2)5 [(1)二項(xiàng)式的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為Tr+1=C(2x)7-r=C27-rarx7-2r,令7-2r=-3,得r=5.故展開(kāi)式中的系數(shù)是C22a5=84,解得a=1. (2)展開(kāi)式的通項(xiàng)是Tr+1=Cxn-r=Cxn-4r,r=0,1,2,…,n, 由于(1+x+x2)的展開(kāi)式中沒(méi)有常數(shù)項(xiàng),所以Cxn-4r,xCxn-4r=Cxn-4r+1和x2Cxn-4r=Cxn-4r+2都不是常數(shù),則n-4r≠0,n-4r+1≠0,n-4r+2≠0,又因?yàn)?≤n≤8,所以n≠2,3,4,6,7,8,故取n=5.] 二項(xiàng)式定理中的“賦值”問(wèn)題 (1)若(x2+1)(x-3)9=a0+a1(x-2)+a2(x-2)2+a3(x-2)3+…+a11(x-2)11,則a1+a2+a3+…+a11的值為_(kāi)_______. (2)設(shè)(2-x)100=a0+a1x+a2x2+…+a100x100,求下列各式的值. ①a0. ②a1+a2+a3+a4+…+a100. ③a1+a3+a5+…+a99. ④(a0+a2+…+a100)2-(a1+a3+…+a99)2. ⑤|a0|+|a1|+…+|a100|. 【導(dǎo)學(xué)號(hào):95032099】 [思路探究] 轉(zhuǎn)化為利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式求相應(yīng)二項(xiàng)式的某些項(xiàng)的問(wèn)題. (1)5 [對(duì)已知條件式中令x=2, 得a0=(4+1)(-1)=-5; 令x=3得a0+a1+a2+…+a11=(9+1)0=0; ∴a1+a2+a3+…+a11=5.] (2)①令x=0,則展開(kāi)式為a0=2100. ②令x=1,可得a0+a1+a2+…+a100=(2-)100,(*) 所以a1+a2+…+a100=(2-)100-2100. ③令x=-1,可得a0-a1+a2-a3+…+a100=(2+)100.與②中(*)式聯(lián)立相減得 a1+a3+…+a99 =. ④原式=[(a0+a2+…+a100)+(a1+a3+…+a99)][(a0+a2+…+a100)-(a1+a3+…+a99)] =(a0+a1+a2+…+a100)(a0-a1+a2-a3+…+a98-a99+a100) =[(2-)(2+)]100=1100=1. ⑤因?yàn)門r+1=(-1)rC2100-r()rxr, 所以a2k-1<0(k∈N+). 所以|a0|+|a1|+|a2|+…+|a100| =a0-a1+a2-a3+…+a100 =(2+)100. [規(guī)律方法] 賦值法的應(yīng)用規(guī)律 與二項(xiàng)式系數(shù)有關(guān),包括求展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)、各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)或系數(shù)的和、奇數(shù)項(xiàng)或者偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)或系數(shù)的和以及各項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值的和,主要方法是賦值法,通過(guò)觀察展開(kāi)式右邊的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)和所求式子的關(guān)系,確定給字母所賦的值,有時(shí)賦值后得到的式子比所求式子多一項(xiàng)或少一項(xiàng),此時(shí)要專門求出這一項(xiàng),而在求奇數(shù)項(xiàng)或者偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)或系數(shù)的和時(shí),往往要兩次賦值,再由方程組求出結(jié)果. 提醒:求各項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值的和時(shí),要先根據(jù)絕對(duì)值里面數(shù)的符號(hào)賦值求解. [跟蹤訓(xùn)練] 4.(1)已知(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn.若a1+a2+…+an-1=29-n,那么自然數(shù)n的值為( ) A.6 B.5 C.4 D.3 (2)若(1+x+x2)6=a0+a1x+a2x2+…+a12x12,則a2+a4+…+a12=________. (1)C (2)364 [(1)令x=1得2+22+23+…+2n=a0+a1+a2+…+an即=a0+a1+a2+…+an, 即2n+1-2=a0+a1+a2+…+an令x=0得a0=1+1+1+…+1=n, ∵an=1,∴a1+a2+…+an-1=2n+1-n-3, ∴2n+1-n-3=29-n, 解得n=4,故選C. (2)令x=0得,a0=1. ∴當(dāng)x=1時(shí),a0+a1+a2+…+a11+a12=36; ① 當(dāng)x=-1時(shí),a0-a1+a2+…-a11+a12=1; ② ①+②得2(a0+a2+a4+…+a12)=730, ∴a2+a4+a6+…+a12=364.]- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問(wèn)題本站不予受理。
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- 2018年秋高中數(shù)學(xué) 第一章 計(jì)數(shù)原理 階段復(fù)習(xí)課 第1課 計(jì)數(shù)原理學(xué)案 新人教A版選修2-3 2018 高中數(shù)學(xué) 計(jì)數(shù) 原理 階段 復(fù)習(xí) 理學(xué) 新人 選修
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