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瓦房店市高級(jí)中學(xué)2018-2019學(xué)年度下學(xué)期高二期中考試 數(shù)學(xué)理科試題 一． 單選題（共12小題，每小題5分） 1.i是虛數(shù)單位，下列復(fù)數(shù)是純虛數(shù)的是（ ） A. B. C. D. 2.正弦函數(shù)是奇函數(shù)，是正弦函數(shù)，因此是奇函數(shù)，以上推理（ ） A.結(jié)論正確 B.大前提不正確 C.小前提不正確 D.全不正確 3.，則z為（ ） A. B. C. D. 4.已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為，則的值是（ ） A. B.1 C. D.2 5.用反證法證明某命題時(shí)，對(duì)結(jié)論：“自然數(shù)a,b,c中恰有一個(gè)是偶數(shù)”正確的反設(shè)為（ ） A. a,b,c中至少有兩個(gè)偶數(shù) B. a,b,c中至少有兩個(gè)偶數(shù)或都是奇數(shù) C. a,b,c都是奇數(shù) D. a,b,c都是偶數(shù) 6.將3張不同的電影票分給10名同學(xué)中的3人，每人1張，則不同的分法種數(shù)為（ ） A.2160 B.720 C.240 D.120 7. 若函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，則k的取值范圍是（ ） A. B. C. D. 8.用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，假設(shè)時(shí)命題成立，則當(dāng)時(shí)，左端增加的項(xiàng)數(shù)是（ ） A.1項(xiàng) B.k-1項(xiàng) C.k項(xiàng) D.項(xiàng) 9.已知函數(shù)在處取得極值為10，則（ ） A.4或-3 B.4或-11 C.4 D.-3 10.某教育有限公司計(jì)劃利用周五下午14:15-15:00,15:15-16:00,16:15-17:00三個(gè)時(shí)間段舉辦語(yǔ)文，數(shù)學(xué)，英語(yǔ)，物理4科的專題講座，每科一個(gè)時(shí)間段，每個(gè)時(shí)間段至少有一科，且語(yǔ)文，數(shù)學(xué)不安排在同一時(shí)間段，則不同的安排方法有（ ） A.6種 B.24種 C.30種 D.36種 11. 函數(shù)，則的值為（ ） A. B. C. D.8 12. 函數(shù)的定義域?yàn)镽，，若對(duì)任意，則不等式的解集為（ ） A. B. C. D. 二．填空題（共4小題，每小題5分） 13.在一次連環(huán)交通事故中，只有一個(gè)人需要負(fù)主要責(zé)任，但在警察詢問(wèn)時(shí)，甲說(shuō)：“主要責(zé)任在乙”；乙說(shuō)：“丙應(yīng)負(fù)主要責(zé)任”；丙說(shuō)：“甲說(shuō)的對(duì)”；丁說(shuō)：“反正我沒(méi)有責(zé)任”。四人中只有一個(gè)人說(shuō)的是真話，則該事故中需要負(fù)主要責(zé)任的人是_______ 14.函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______ 15.在平面幾何中，有如下結(jié)論：正的內(nèi)切圓面積為，外接圓面積為，則，推廣到空間可以得到類似結(jié)論：已知正四面體P-ABC的內(nèi)切球體積為，外接球體積為，則______ 16.函數(shù)，若方程恰有四個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_______ 三．解答題 17.（本題滿分10分） 已知表示的邊長(zhǎng)，，求證： 18.(本題滿分12分) 已知函數(shù) （1） 當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程； （2） 若對(duì)任意，有恒成立，求的取值范圍。 （在19,20兩題中任選一題作答，滿分12分） 19．(本題滿分12分)在直角坐標(biāo)系xoy中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為. （1）求曲線的普通方程與曲線直角坐標(biāo)方程； （2）設(shè)P為曲線上的動(dòng)點(diǎn),求點(diǎn)P到上點(diǎn)的距離的最小值,并求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo). 20．(本題滿分12分) 已知函數(shù) （1）求不等式的解集； （2）關(guān)于x的不等式的解集不是空集，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． 21.(本題滿分12分)已知函數(shù) （1） 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； （2） 若恒成立，確定實(shí)數(shù)的取值范圍。 22.(本題滿分12分)已知函數(shù)，其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)． (1)討論函數(shù)的極值； (2)若，證明：當(dāng)時(shí)，． （在23，24兩題中任選一題作答，滿分12分） 23．(本題滿分12分)在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線C的極坐標(biāo)方程為，直線l的參數(shù)方程為，點(diǎn)A的極坐標(biāo)為，設(shè)直線l與曲線C相交于P,Q兩點(diǎn)． （1）寫出曲線C的直角坐標(biāo)方程和直線l的普通方程； （2）求的值． 24．(本題滿分12分)設(shè)函數(shù)。 （1）求函數(shù)的最大值為m， （2）在（1）的條件下，若，證明：。 瓦房店市高級(jí)中學(xué)2018-2019學(xué)年度下學(xué)期高二期中考試 數(shù)學(xué)理科參考答案 一．BCCDB BDDCC AA 二．13.甲 14. 15. 16. 三．17.證明：， ……4分 只需證明 方法一，設(shè)，….6分 在上為增函數(shù) … 8分 ，所以命題成立 …. 10分 方法二，即證 …. 6分 化簡(jiǎn)得， 得到顯然成立，所以命題得證 … 10分 18.（1）當(dāng)時(shí)， 則切線方程為 …..4分 （2） 對(duì)任意 設(shè)，則在上單調(diào)遞增 ….6分 即在上恒成立，， ….8分 在上恒成立 當(dāng)，成立；當(dāng)，函數(shù)的對(duì)稱軸為且過(guò)（0,1）點(diǎn) 則，即 總上所述， ….. 12分 19. （1）由曲線:得, 即曲線的普通方程為 ….2分 由曲線得:, 即,所以x+y-8=0, 即曲線的直角坐標(biāo)方程為x+y-8=0. ….4分 （2）由（1）知橢圓與直線無(wú)公共點(diǎn), 依題意有橢圓上的點(diǎn)到直線x+y-8=0的距離為 , ….8分 所以當(dāng)時(shí),d取得最小值, ….10分 此時(shí),點(diǎn)的P坐標(biāo)為。 ….12分 20. （1）∵， ∴ 當(dāng)x<-1時(shí)，不等式可化為-x-1+2x+1+1<0，解得x<-1，所以x<-1； 當(dāng)，不等式可化為x+1+2x+1+1<0，解得x<-1，無(wú)解； 當(dāng)時(shí)，不等式可化為x+1-2x-1+1<0，解得x>1，所以x>1 綜上所述， …..6分 （2）因?yàn)?… 8分 且的解集不是空集， 所以a>1，即a的取值范圍是 …..12分 21.（1）的定義域?yàn)?，? ….2分 當(dāng)時(shí)，，在上是增函數(shù) ….4分 當(dāng)時(shí)， ….6分 (2) 由（1）可得， 當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)，而 ….8分 ….10分 ….12分 22.(1)解：． ….2分 當(dāng)時(shí)，1-m<1，令，解得x=1或1-m． 則函數(shù)在上單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減． 時(shí)，函數(shù)取得極小值；x=1時(shí)，函數(shù)取得極大值． …5分 當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在R上單調(diào)遞減，無(wú)極值． ….6分 (2)證明：當(dāng)時(shí)，，只要證明即可， ….8分 由(1)可知：在內(nèi)單調(diào)遞減，． 只需要證明 令， ….10分 ， 為的極大值點(diǎn)，僅有一個(gè)極值，則為最值， ， 即證明成立 …. 12分 因此原命題成立． 23.(1)曲線C的直角坐標(biāo)方程為：，即 ， ….2分 直線l的普通方程為 …..4分 (2)點(diǎn)A的直角坐標(biāo)為，設(shè)點(diǎn)P，Q對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為,點(diǎn)P，Q的極坐標(biāo)分別為，將與聯(lián)立得：， 由韋達(dá)定理得： ….8分 將直線的極坐標(biāo)方程與圓的極坐標(biāo)方程聯(lián)立得：, 所以， …..12分 24. （1）, 的最大值為3 ，m=3 ….4分 （2）由（1）知，于是 因?yàn)?當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)， ，當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)取等號(hào)， ,當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí)取等號(hào)， 相加可得，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取等號(hào) …..12分