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課時跟蹤訓(xùn)練(四) 萬有引力定律及其應(yīng)用 一、選擇題(1～8題為單項選擇題，9～14題為多項選擇題) 1．(2018威海市高考模擬考試)2017年9月29日，世界首條量子保密通訊干線“京滬干線”與“墨子號”科學(xué)實驗衛(wèi)星進(jìn)行天地鏈路，我國科學(xué)家成功實現(xiàn)了洲際量子保密通訊．設(shè)“墨子號”衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運動，在時間t內(nèi)通過的弧長為L，該弧長對應(yīng)的圓心角為θ，已知引力常量為G.下列說法正確的是(　　) A．“墨子號”的運行周期為t B．“墨子號”的離地高度為 C．“墨子號”的運行速度大于7.9 km/s D．利用題中信息可計算出地球的質(zhì)量為 D　[“墨子號”的運行周期為T＝＝＝，選項A錯誤；“墨子號”的離地高度為h＝r－R＝－R，選項B錯誤；任何衛(wèi)星的速度均小于第一宇宙速度，選項C錯誤；根據(jù)G＝mω2r，其中ω＝，r＝，解得M＝，選項D正確；故選D.] 2．若太陽系內(nèi)每個行星貼近其表面運行的衛(wèi)星的周期用T表示，該行星的平均密度是ρ，到太陽的距離是R，已知引力常量G.則下列說法正確的是(　　) A．可以求出該行星的質(zhì)量 B．可以求出太陽的質(zhì)量 C．ρT2是定值 D.是定值 C　[因為不知道行星的半徑，所以無法求出行星的質(zhì)量，故A錯誤．T不是行星的公轉(zhuǎn)周期，所以不能求出太陽的質(zhì)量，故BD錯誤．對于衛(wèi)星，由萬有引力充當(dāng)向心力得G＝mr，其中M＝ρV＝πρr3，整理可得ρT2＝是一個定值，故C正確．] 3．(2018石家莊高三考前模擬)如圖所示，地球繞太陽做勻速圓周運動，地球處在運動軌道b位置時，地球和太陽連線所在的直線上的a與e位置、c與d位置均關(guān)于太陽對稱．當(dāng)一無動力的探測器處在a或c位置時，它僅在太陽和地球引力的共同作用下，與地球一起以相同的角速度繞太陽做圓周運動，下列說法正確的是(　　) A．該探測器在a位置受到的太陽、地球引力的合力等于在c位置受到的太陽、地球引力的合力 B．該探測器在a位置受到的太陽、地球引力的合力大于在c位置受到的太陽、地球引力的合力 C．若地球和該探測器分別在b、d位置，它們也能以相同的角速度繞太陽運動 D．若地球和該探測器分別在b、e位置，它們也能以相同的角速度繞太陽運動 B　[根據(jù)題述，探測器處在a位置和c位置時，它僅在太陽和地球引力的共同作用下，與地球一起以相同的角速度ω繞太陽做圓周運動，設(shè)該探測器的質(zhì)量為m，在a位置受到的太陽和地球引力的合力為Fa，在c位置受到的太陽和地球引力的合力為Fc，根據(jù)牛頓第二定律，可知Fa＝mω2ra，F(xiàn)c＝mω2rc，由于ra>rc，所以Fa>Fc，選項A錯誤，B正確；若地球和探測器分別在b、d位置，探測器在d位置所受到的太陽和地球引力的合力與在c位置時不同，所以不能以相同的角速度繞太陽做圓周運動，選項C錯誤；若地球和探測器分別在b、e位置，探測器在e位置所受到的太陽和地球引力的合力與在a位置時不同，所以不能以相同的角速度繞太陽做圓周運動，選項D錯誤．] 4．2017年6月15日，我國在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心用長征四號乙運載火箭成功發(fā)射首顆X射線調(diào)制望遠(yuǎn)鏡衛(wèi)星“慧眼”．“慧眼”的成功發(fā)射將顯著提升我國大型科學(xué)衛(wèi)星研制水平，填補(bǔ)我國X射線探測衛(wèi)星的空白，實現(xiàn)我國在空間高能天體物理領(lǐng)域由地面觀測向天地聯(lián)合觀測的超越．“慧眼”研究的對象主要是黑洞、中子星和射線暴等致密天體和爆發(fā)現(xiàn)象．在利用“慧眼”觀測美麗的銀河系時，若發(fā)現(xiàn)某雙黑洞間的距離為L，只在彼此之間的萬有引力作用下做勻速圓周運動，其運動周期為T，引力常量為G，則雙黑洞總質(zhì)量為(　　) A. B. C. D. A　[雙黑洞靠相互間的萬有引力提供向心力，有：G＝m1r1　G＝m2r2，解得：m2＝，m1＝，則雙黑洞總質(zhì)量為：m總＝m2＋m1＝，故選：A.] 5．(2018福建廈門市畢業(yè)班調(diào)研)位于貴州的“中國天眼”是目前世界上口徑最大的單天線射電望遠(yuǎn)鏡(FAST)．通過FAST測得水星與太陽的視角為θ(水星、太陽分別與觀察者的連線所夾的角)，如圖所示．若最大視角的正弦值為k，地球和水星繞太陽的運動視為勻速圓周運動，則水星的公轉(zhuǎn)周期為(　　) A.年 B.年 C.年 D.年 C　[由題意可知，當(dāng)觀察者和水星的連線與水星的軌道相切時，水星與太陽的視角最大，由三角函數(shù)可得sin θ＝＝k，又由萬有引力提供向心力有G＝m水r水，＝m地r地，聯(lián)立以上可解得T水＝年，C正確．] 6．(2018安徽省合肥一中高三二模)天文學(xué)家通過觀測雙星軌道參數(shù)的變化來間接驗證引力波的存在，證實了GW150914是兩個黑洞并合的事件．該事件中甲、乙兩個黑洞的質(zhì)量分別為太陽質(zhì)量的36倍和29倍，假設(shè)這兩個黑洞，繞它們連線上的某點做圓周運動，且這兩個黑洞的間距緩慢減?。粼摵诙聪到y(tǒng)在運動過程中各自質(zhì)量不變且不受其他星系的影響，則關(guān)于這兩個黑洞的運動，下列說法正確的是(　　) A．甲、乙兩個黑洞運行的線速度v大小之比為36∶29 B．甲、乙兩個黑洞運行的角速度ω大小之比為36∶29 C．隨著甲、乙兩個黑洞的間距緩慢減小，它們運行的周期T也在減小 D．甲、乙兩個黑洞做圓周運動的向心加速度大小始終相等 C　[對兩個黑洞，它們的角速度ω相等，由萬有引力G＝m甲ω2r甲＝m乙ω2r乙和v＝rω可以判斷出線速度＝，AB錯誤．又r1＋r2＝L，結(jié)合萬有引力公式可以得出G＝ω2，兩個黑洞的間距緩慢減小，則角速度ω在增加，由T＝知T減小，而它們的向心加速度a＝，質(zhì)量不等，相對應(yīng)的向心加速度大小不相等，C正確，D錯誤．] 7．(2018重慶市江津區(qū)高三下5月預(yù)測模擬)北斗導(dǎo)航已經(jīng)用于多種手機(jī)，如圖所示，導(dǎo)航系統(tǒng)的一顆衛(wèi)星原來在較低的橢圓軌道Ⅱ上飛行，到達(dá)A點時轉(zhuǎn)移到圓軌道Ⅰ上．若圓軌道Ⅰ離地球表面的高度 h1，橢圓軌道Ⅱ近地點離地球表面的高度為h2.地球表面的重力加速度為g，地球半徑為R，則下列說法不正確的是(　　) A．衛(wèi)星在軌道Ⅰ上的機(jī)械能大于在軌道Ⅱ上的機(jī)械能 B．衛(wèi)星在軌道Ⅰ上的運行速率v＝ C．若衛(wèi)星在圓軌道Ⅰ上運行的周期是T1，則衛(wèi)星在軌道Ⅱ的時間T2＝T1 D．若“天宮一號”沿軌道Ⅱ運行經(jīng)過A點的速度為vA，則“天宮一號”運行到B點的速度vB＝vA D　[衛(wèi)星從軌道Ⅱ進(jìn)入軌道Ⅰ要在A點加速，則衛(wèi)星在軌道Ⅰ上的機(jī)械能大于在軌道Ⅱ上的機(jī)械能選項A正確；衛(wèi)星在軌道Ⅰ上：G＝m，又GM＝gR2，解得v＝，選項B正確；根據(jù)開普勒第三定律可得：＝，解得T2＝T1，選項C正確；根據(jù)開普勒第三定律得：vA(h1＋R)＝vB(h2＋R)，解得vB＝vA，選項D錯誤；此題選項不正確的選項，故選D.] 8．(2018山東省湖北重點學(xué)校協(xié)作體沖刺模擬)“嫦娥之父”歐陽自遠(yuǎn)透露：我國計劃于2020年登陸火星．假如某志愿者登上火星后將一小球從高為h的地方由靜止釋放，不計空氣阻力，測得經(jīng)過時間t小球落在火星表面，已知火星的半徑為R，引力常量為G，不考慮火星自轉(zhuǎn)，則下列說法正確的是(　　) A．火星的第一宇宙速度為 B．火星的質(zhì)量為 C．火星的平均密度為 D．環(huán)繞火星表面運行的衛(wèi)星的周期為t C　[由自由落體運動規(guī)律，h＝gt2，解得火星表面的重力加速度大小為g＝，火星的第一宇宙速度v1＝＝，A錯誤；在火星表面有G＝mg，解得火星的質(zhì)量為M＝，B錯誤；火星的平均密度ρ＝＝＝，C正確；設(shè)環(huán)繞火星表面運行的衛(wèi)星的周期為T，則T＝＝πt，D錯誤．] 9．(2018河北衡水中學(xué)信息卷)近期天文學(xué)界有很多新發(fā)現(xiàn)，若某一新發(fā)現(xiàn)的星體質(zhì)量為m、半徑為R、自轉(zhuǎn)周期為T，引力常量為G.下列說法正確的是(　　) A．如果該星體的自轉(zhuǎn)周期T<2π，會解體 B．如果該星體的自轉(zhuǎn)周期T>2π，會解體 C．該星體表面的引力加速度為 D．如果有衛(wèi)星靠近該星體表面飛行，其速度大小為 AD　[如果在該星體表面有一物質(zhì)，質(zhì)量為m′，當(dāng)它受到的萬有引力大于跟隨星體自轉(zhuǎn)所需要的同心力時呈穩(wěn)定狀態(tài)，即G>m′R，化簡得T>2π，即T>2π時，星體不會解體，而該星體的自轉(zhuǎn)周期T<2π時，會解體，A正確；B錯誤；在該星體表面，有G＝m′g，所以g＝，C錯誤；如果有衛(wèi)星靠近該星體表面飛行，有G＝m″，解得v＝，D正確．] 10．(2018廣東南寧市高三調(diào)研)如圖為某著陸器經(jīng)過多次變軌后登陸火星的軌跡圖，著陸器先在軌道Ⅰ上運動，然后改在圓軌道Ⅱ上運動，最后在橢圓周軌道Ⅲ上運動，P點是軌道Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的交點，軌道上的P、S、Q三點與火星中心在同一直線上，P、Q兩點分別是橢圓軌道的遠(yuǎn)火星點和近火星點．且PQ＝2QS＝2L，著陸器在軌道Ⅰ上經(jīng)過P點的速度為v1，在軌道Ⅱ上經(jīng)過P點的速度為v2，在軌道Ⅲ上經(jīng)過P點的速度為v3，下列說法正確的是(　　) A．著陸器在P點由軌道Ⅰ進(jìn)入軌道Ⅱ需要點火加速 B．著陸器在軌道Ⅱ上由P點運動到S點的時間與著陸器在軌道Ⅲ上由P點運動到Q點的時間之比是 C．著陸器在軌道Ⅲ上經(jīng)過P點的加速度可表示為 D．著陸器在軌道Ⅱ上S點與在軌道Ⅲ上P點的加速度大小相等 CD　[著陸器在P點由軌道Ⅰ進(jìn)入軌道Ⅱ時，是向低軌道運動，所以應(yīng)該減速才可以，故A錯誤；由開普勒第三定律知道，著陸器在軌道Ⅱ上由P點運動到S點的時間和著陸器在軌道Ⅲ上由P點運動到Q點的時間都是各自周期的一半，根據(jù)開普勒第三定律＝k可得＝＝，著陸器在軌道Ⅱ上由P點運動到S點的時間是著陸器在軌道Ⅲ上由P點運動到Q點的時間之比是，故B錯誤；著陸器在軌道Ⅱ上經(jīng)過P點的加速度，就是向心加速度，所以a＝＝，著陸器在軌道Ⅲ上經(jīng)過P點的加速度與著陸器在軌道Ⅱ上經(jīng)過P點的加速度相同，故C正確；由于著陸器在軌道Ⅱ上S點與在軌道Ⅲ上P點到火星的球心之間的距離是相等的，所以加速度大小相等，故D正確．] 11．(2018山東省濟(jì)南市高三一模)2017年11月5日，又有兩顆北斗導(dǎo)航系統(tǒng)組網(wǎng)衛(wèi)星通過“一箭雙星”發(fā)射升空，并成功進(jìn)入預(yù)定軌道，兩顆衛(wèi)星繞地球運動均看作勻速圓周運動．如果兩顆衛(wèi)星的質(zhì)量均為M，其中的1號衛(wèi)星軌道距離地面高度為h,2號衛(wèi)星軌道距離地面高度為h′，且h′>h，把地球看做質(zhì)量分布均勻的球體，已知地球半徑為R，地球表面的重力加速度大小為g，引力常量為G，下列說法正確的是(　　) A．1號衛(wèi)星繞地球運動的線速度R B．1號衛(wèi)星繞地球運動的周期T＝2π(R＋h) C．1號衛(wèi)星和2號衛(wèi)星做勻速圓周運動的向心力大小之比為 D．穩(wěn)定在軌運行時1號衛(wèi)星的機(jī)械能小于2號衛(wèi)星的機(jī)械能 AD　[A項：根據(jù)公式G＝M和m0g＝G，解得v＝R，故A正確；B項：根據(jù)公式G＝M(R＋h)和m0g＝G，解得：T＝，故B錯誤；C項：F1＝G，F(xiàn)2＝G，所以＝，故C錯誤；D項：由于hβ，兩顆衛(wèi)星圍繞地球轉(zhuǎn)動的方向相同，不考慮兩衛(wèi)星間的影響．若某時刻另一顆衛(wèi)星位于地球和同步衛(wèi)星連線中間的某位置．下列說法正確的是(　　) A．另一顆衛(wèi)星的周期為24小時 B．同步衛(wèi)星和另一顆衛(wèi)星的線速度之比為 C．至少經(jīng)過小時，另一顆衛(wèi)星再次到達(dá)地球和同步衛(wèi)星連線中間某位置 D．經(jīng)過相同時間，同步衛(wèi)星與另一顆衛(wèi)星半徑掃過的面積之比為 AD　[設(shè)地球的半徑為R，則同步衛(wèi)星做圓周運動的半徑為r1＝，另一顆衛(wèi)星做圓周運動的半徑為r2＝.同步衛(wèi)星繞地球做圓周運動的周期T1＝24小時，根據(jù)＝可得T2＝24小時，選項A正確；根據(jù)G＝m可知＝，選項B錯誤；根據(jù)t＝2π可得t＝小時，選項C錯誤；天體半徑掃過的面積為s＝πr2，而θ＝t，聯(lián)立可得s＝，故經(jīng)過相同時間，同步衛(wèi)星與另一顆衛(wèi)星半徑掃過的面積之比為＝，選項D正確．]