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2019-2020年蘇教版高中數學（選修2-1）3.1《空間向量及其運算》word教案3篇 教學目標： ㈠知識目標：⒈空間向量；⒉相等的向量；⒊空間向量的加減與數乘運算及運算律； ㈡能力目標：⒈理解空間向量的概念，掌握其表示方法 ⒉會用圖形說明空間向量加法、減法、數乘向量及它們的運算律； ⒊能用空間向量的運算意義及運算律解決簡單的立體幾何中的問題 ㈢德育目標：學會用發(fā)展的眼光看問題，認識到事物都是在不斷的發(fā)展、進化的，會 　　　　　　用聯系的觀點看待事物． 教學重點：空間向量的加減與數乘運算及運算律． 教學難點：應用向量解決立體幾何問題． 教學方法：討論式． 教學過程： Ⅰ.復習引入 ［師］在必修四第二章《平面向量》中，我們學習了有關平面向量的一些知識，什么叫做向量？向量是怎樣表示的呢？ ［生］既有大小又有方向的量叫向量．向量的表示方法有： 　　　①用有向線段表示； 　　?、谟米帜竌、b等表示； 　　?、塾糜邢蚓€段的起點與終點字母：． ［師］數學上所說的向量是自由向量，也就是說在保持向量的方向、大小的前提下可以將向量進行平移，由此我們可以得出向量相等的概念，請同學們回憶一下． ［生］長度相等且方向相同的向量叫相等向量. ［師］學習了向量的有關概念以后，我們學習了向量的加減以及數乘向量運算： ⒈向量的加法： ⒉向量的減法： ⒊實數與向量的積： 　　　　實數λ與向量a的積是一個向量，記作λa，其長度和方向規(guī)定如下： 　　　　　(1)|λa|＝|λ||a|　　　　　(2)當λ＞0時，λa與a同向； 　　　　　　 當λ＜0時，λa與a反向； 　　　　　　 當λ＝0時，λa＝0. ［師］關于向量的以上幾種運算，請同學們回憶一下，有哪些運算律呢？ ［生］向量加法和數乘向量滿足以下運算律 　　　　　加法交換律：a＋b＝b＋a 　　　　　加法結合律：(a＋b)＋c＝a＋（b＋c） 　　　　　數乘分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb ［師］今天我們將在必修四第二章平面向量的基礎上，類比地引入空間向量的概念、表示方法、相同或向等關系、空間向量的加法、減法、數乘以及這三種運算的運算率，并進行一些簡單的應用．請同學們閱讀課本P26～P27． Ⅱ.新課講授 ［師］如同平面向量的概念，我們把空間中具有大小和方向的量叫做向量．例如空間的一個平移就是一個向量．那么我們怎樣表示空間向量呢？相等的向量又是怎樣表示的呢？ ［生］與平面向量一樣，空間向量也用有向線段表示，并且同向且等長的有向線段表示同一向量或相等的向量． ［師］由以上知識可知，向量在空間中是可以平移的．空間任意兩個向量都可以用同一平面內的兩條有向線段表示．因此我們說空間任意兩個向量是共面的． ［師］空間向量的加法、減法、數乘向量各是怎樣定義的呢？ ［生］空間向量的加法、減法、數乘向量的定義與平面向量的運算一樣： =a+b， （指向被減向量）， λa 　?。蹘煟菘臻g向量的加法與數乘向量有哪些運算律呢？請大家驗證這些運算律． ［生］空間向量加法與數乘向量有如下運算律： 　　　　⑴加法交換律：a + b = b + a； 　　　?、萍臃ńY合律：(a + b) + c =a + (b + c)；（課件驗證） 　　　?、菙党朔峙渎桑害?a + b) =λa +λb ［師］空間向量加法的運算律要注意以下幾點： ⑴首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起點指向末尾向量的終點的向量．即： 因此，求空間若干向量之和時，可通過平移使它們轉化為首尾相接的向量． ⑵首尾相接的若干向量若構成一個封閉圖形，則它們的和為零向量．即： ． ⑶兩個向量相加的平行四邊形法則在空間仍然成立． 因此，求始點相同的兩個向量之和時，可以考慮用平行四邊形法則． 例１已知平行六面體（如圖），化簡下列向量表達式，并標出化簡結果的向量： 　　　　 說明：平行四邊形ABCD平移向量 a 到A’B’C’D’的軌跡所形成的幾何體，叫做平行六面體．記作ABCD—A’B’C’D’． 平行六面體的六個面都是平行四邊形，每個面的邊叫做平行六面體的棱． 解：（見課本P27） 說明：由第2小題可知，始點相同且不在同一個平面內的三個向量之和，等于以這三個向量為棱的平行六面體的以公共始點為始點的對角線所表示的向量，這是平面向量加法的平行四邊形法則向空間的推廣． Ⅲ.課堂練習 課本P92　　練習 Ⅳ.課時小結 平面向量僅限于研究平面圖形在它所在的平面內的平移，而空間向量研究的是空間的平移，它們的共同點都是指“將圖形上所有點沿相同的方向移動相同的長度”，空間的平移包含平面的平移． 關于向量算式的化簡，要注意解題格式、步驟和方法． Ⅴ.課后作業(yè) ⒈課本P106 1、2、　 ⒉預習課本P92～P96，預習提綱： ⑴怎樣的向量叫做共線向量？ ⑵兩個向量共線的充要條件是什么？ ⑶空間中點在直線上的充要條件是什么？ ⑷什么叫做空間直線的向量參數表示式？ ⑸怎樣的向量叫做共面向量？ ⑹向量p與不共線向量a、b共面的充要條件是什么？ ⑺空間一點P在平面MAB內的充要條件是什么？ 板書設計： 3.1 空間向量及其運算（一） 一、 平面向量復習 二、空間向量 三、例1 ⒈定義及表示方法 ⒈定義及表示 ⒉加減與數乘運算 ⒉加減與數乘向量 小結 ⒊運算律 ⒊運算律 教學后記： 空間向量及其運算 一、課題：空間向量及其運算（2） 二、教學目標：1．理解共線向量定理和共面向量定理及它們的推論； 2．掌握空間直線、空間平面的向量參數方程和線段中點的向量公 三、教學重、難點：共線、共面定理及其應用． 四、教學過程： （一）復習： 1．空間向量的概念及表示； （二）新課講解： 1．共線（平行）向量： 如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量。讀作：平行于，記作：． 2．共線向量定理： 對空間任意兩個向量的充要條件是存在實數，使（唯一）． 推論：如果為經過已知點，且平行于已知向量的直線，那么對任一點，點在直線上的充要條件是存在實數，滿足等式①，其中向量叫做直線的方向向量。在上取，則①式可化為或② 當時，點是線段的中點，此時③ ①和②都叫空間直線的向量參數方程，③是線段的中點公式． 3．向量與平面平行： 已知平面和向量，作，如果直線平行于或在內，那么我們說向量平行于平面，記作：． 通常我們把平行于同一平面的向量，叫做共面向量． 說明：空間任意的兩向量都是共面的． 4．共面向量定理： 如果兩個向量不共線，與向量共面的充要條件是存在實數使． 推論：空間一點位于平面內的充分必要條件是存在有序實數對，使或對空間任一點，有① 上面①式叫做平面的向量表達式． （三）例題分析： 例1．已知三點不共線，對平面外任一點，滿足條件， 試判斷：點與是否一定共面？ 解：由題意：， ∴， ∴，即， 所以，點與共面． 說明：在用共面向量定理及其推論的充要條件進行向量共面判斷的時候，首先要選擇恰當的充要條件形式，然后對照形式將已知條件進行轉化運算． 【練習】：對空間任一點和不共線的三點，問滿足向量式 （其中）的四點是否共面？ 解：∵， ∴， ∴，∴點與點共面． 例2．已知，從平面外一點引向量 ， （1）求證：四點共面； （2）平面平面． 解：（1）∵四邊形是平行四邊形，∴， ∵， ∴共面； （2）∵，又∵， ∴ 所以，平面平面． 五、課堂練習：課本第96頁練習第1、2、3題． 六、課堂小結：1．共線向量定理和共面向量定理及其推論； 2．空間直線、平面的向量參數方程和線段中點向量公式． 七、作業(yè)： 1．已知兩個非零向量不共線，如果，，， 求證：共面． 2．已知，，若，求實數的值。 3．如圖，分別為正方體的棱的中點， 求證：（1）四點共面；（2）平面平面． 4．已知分別是空間四邊形邊的中點， （1）用向量法證明：四點共面； （2）用向量法證明：平面． 從三個方面談空間向量 　　立體幾何引入空間向量使得幾何問題代數化，很多復雜的幾何問題得以迎刃而解．但不少學生對空間向量的學習把握不準確，不知道要掌握到什么程度，拓寬到什么程度．本文從“轉、基、法”三方面談空間向量必須掌握之處，供參閱． 　　一、“轉” 　　“轉”即轉化，即向量之間的相互表示；難點在于怎樣有效地用已知向量來表示未知向量．正如三角函數求值中角的相互“轉化”，怎樣用已知角來代換未知角． 　　難點突破：尋找已知向量來表示所要求的向量往往立竿見影．或者利用分析法，根據所要求證的向量來表示要轉化的向量． 　　例1　如圖1，在空間四邊形ABCD中，如果， 求證：． 　　證明：由，得 　　， 　　即， 　　取CD的中點E，連結AE和BE，則上式化為 　　，得， 　　即．所以． 　　評注：要得到，需從條件中構造，解答中的移項使得構造得以實現． 　　二、“基” 　　“基”即基底，由空間向量基本定理，可知空間任一向量可由不共面的三個向量來表示．用基底的眼光看問題會使得空間向量的表示簡潔明朗化． 　　例2　已知正四面體，Ｅ、Ｆ分別為、的中點，求與所成角的余弦值． 　　解：設正四面體的棱長為1，如圖2． 　　設，，， 　　則， 　　 ， 　　∴． ∴OE與BF所成的角的余弦值為． 　　評注：基底的取法還有很多，以，，三向量為基底來表示其它向量，可使問題輕松獲解． 　　三、“法” 　　法向量求法：設，找平面內兩相交向量a、b，再作，，得兩方程，三個未知量兩個方程，一般通過取定z的值來定法向量，方向朝上，方向朝下． 　　法向量的應用： 　?。ㄒ唬├闷矫娣ㄏ蛄壳缶€面角 　　方法：如圖3，AB為平面的斜線，n為平面的法向量．如果與n之間所成的角為銳角，則斜線AB與平面之間所成的角為；若為鈍角（當n方向朝另一面時，即與圖3的n反向時），則．故欲求斜線AB與平面所成的角，只需求出向量與平面的法向量n之間的夾角即可．總之． 　　例3　在長方體中，，，，求直線和平面所成角的正弦值． 解：如圖4，以D為原點，以方向分別作為x軸、y軸、z軸的正方向，則， ， 　　 設平面的法向量，則 　　，即． 　　故是其中一組解，即為其中一個法向量， 所以． 　　故所求角的正弦值為． 　?。ǘ├闷矫娣ㄏ蛄壳蠖娼堑钠矫娼? 　　方法：如圖5，平面的法向量所成的角即為二面角的平面角（或其補角）． 　　例4　在正方體中，Ｐ、Ｑ分別是的中點，求平面和底面所成銳二面角的余弦值． 　　解：建立空間直角坐標系，如圖6所示． 　　由例3的方法，容易求得平面的法向量，底面的法向量， 　　所以，即為所求角的余弦值． 　?。ㄈ├闷矫娣ㄏ蛄壳簏c到平面的距離 　　方法：如圖7，求點P到平面的距離d，可以在平面上任意取一點Ａ， 則（n為平面的法向量，方向如圖）．若不知n與夾角為銳角或鈍角時，． 　　例5　如圖8，四面體中，Ｏ、Ｅ分別是BD、BC的中點，，． 　?。?）求證：平面； 　?。?）求點Ｅ到平面的距離． 　?。?）證明：連結OC，∵，，∴， 　　∵，，∴． 　　在中，由已知可得 　　，而， 　　∴，∴，即． 　　∵，∴平面； 　?。?）解：以Ｏ為原點，如圖8建立空間直角坐標系． 　　設平面的法向量為，則 　　 　　令，得是平面的一個法向量． 　　又， 　　∴點到平面的距離． 　　評注：求線面距、面面距時，可先轉化為點面距，再用此法求解． 　?。ㄋ模┣螽惷嬷本€的距離 　　方法：先求出同時與兩異面直線垂直的向量n，然后在兩異面直線上分別任取點Ａ、Ｂ，則。 　　例6　已知正方體的棱長為1，求直線與的距離． 　　解：建立坐標系，如圖9所示． 　　則點， 　　則， 　　設為與與同時垂直的向量 　　即．故為其中一個向量， 　　． 　　所以直線與的距離為．