2018-2019學年高中數學 第2章 推理與證明 2.1 合情推理與演繹推理 2.1.3 推理案例賞析講義（含解析）蘇教版選修2-2.doc
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2.1.3 推理案例賞析 歸納推理的應用 [例1] 觀察如圖所示的“三角數陣”： 記第n行的第2個數為an(n≥2，n∈N*)，請仔細觀察上述“三角數陣”的特征，完成下列各題： (1)第6行的6個數依次為__________、__________、______________、______________、______________、______________； (2)依次寫出a2、a3、a4、a5； (3)歸納出an＋1與an的關系式． [思路點撥] (1)觀察數陣，總結規(guī)律：除首末兩數外，每行的數等于它上一行肩膀上的兩數之和，得出(1)的結果． (2)由數陣可直接寫出答案． (3)寫出a3－a2，a4－a3，a5－a4，從而歸納出(3)的結論． [精解詳析] (1)由數陣可看出，除首末兩數外，每行中的數都等于它上一行肩膀上的兩數之和，且每一行的首末兩數都等于行數． [答案] 6,16,25,25,16,6 (2)a2＝2，a3＝4，a4＝7，a5＝11 (3)∵a3＝a2＋2，a4＝a3＋3，a5＝a4＋4， ∴由此歸納：an＋1＝an＋n. [一點通] 對于數陣問題的解決方法，既要清楚每行、每列數的特征，又要對上、下行，左、右列間的關系進行研究，找到規(guī)律，問題即可迎刃而解了． 1．設[x]表示不超過x的最大整數，如[]＝2，[π]＝3，[k]＝k (k∈N*)． 我的發(fā)現：[]＋[]＋[]＝3； []＋[]＋[]＋[]＋[]＝10； []＋[]＋[]＋[]＋[]＋[]＋[]＝21； … 通過歸納推理，寫出一般性結論_____________________________________________ __________________________________________________________(用含n的式子表示)． 解析：第n行右邊第一個數是[]，往后是[]，[]，…，最后一個是[]．等號右邊是n(2n＋1)． 答案：[]＋[]＋[]＋ … ＋[]＝n(2n＋1) 2．(1)如圖(a)、(b)、(c)、(d)所示為四個平面圖形，數一數，每個平面圖形各有多少個頂點？多少條邊？它們將平面圍成了多少個區(qū)域？ 頂點數 邊數 區(qū)域數 (a) (b) (c) (d) (2)觀察上表，推斷一個平面圖形的頂點數、邊數、區(qū)域數之間有什么關系？ (3)現已知某個平面圖形有999個頂點，且圍成了999個區(qū)域，試根據以上關系確定這個平面圖形有多少條邊？ 解：(1)各平面圖形的頂點數、邊數、區(qū)域數分別為 頂點數 邊數 區(qū)域數 (a) 3 3 2 (b) 8 12 6 (c) 6 9 5 (d) 10 15 7 (2)觀察：3＋2－3＝2；8＋6－12＝2；6＋5－9＝2；10＋7－15＝2， 通過觀察發(fā)現，它們的頂點數V，邊數E，區(qū)域數F之間的關系為V＋F－E＝2. (3)由已知V＝999，F＝999，代入上述關系式得E＝1 996，故這個平面圖形有1 996條邊． 類比推理的應用 [例2] 通過計算可得下列等式： 23－13＝312＋31＋1； 33－23＝322＋32＋1； 43－33＝332＋33＋1； … (n＋1)3－n3＝3n2＋3n＋1. 將以上各等式兩邊分別相加，得 (n＋1)3－13＝3(12＋22＋…＋n2)＋3(1＋2＋3＋…＋n)＋n， 即12＋22＋32＋…＋n2＝n(n＋1)(2n＋1)． 類比上述求法，請你求出13＋23＋33＋…＋n3的值． [思路點撥] 類比上面的求法；可分別求出24－14，34－24,44－34，…(n＋1)4－n4，然后將各式相加求解． [精解詳析] ∵24－14＝413＋612＋41＋1， 34－24＝423＋622＋42＋1， 44－34＝433＋632＋43＋1， … (n＋1)4－n4＝4n3＋6n2＋4n＋1. 將以上各式兩邊分別相加， 得(n＋1)4－14＝4(13＋23＋…＋n3)＋6(12＋22＋…＋n2)＋4(1＋2＋…＋n)＋n ∴13＋23＋…＋n3＝＝n2(n＋1)2. [一點通] (1)解題方法的類比通過對不同題目條件、結論的類比，從而產生解題方法的遷移，這是數學學習中很高的境界，需要學習者熟練地掌握各種題型及相應的解題方法． (2)類比推理的步驟與方法 第一步：弄清兩類對象之間的類比關系及類比關系之間的(細微)差別． 第二步：把兩個系統(tǒng)之間的某一種一致性(相似性)確切地表述出來，也就是要把相關對象在某些方面一致性的含糊認識說清楚． 3．二維空間中圓的一維側度(周長)l＝2πr，二維測度(面積)S＝πr2，觀察發(fā)現S′＝l；三維空間中球的二維測度(表面積)S＝4πr2，三維測度(體積)V＝πr3，觀察發(fā)現V′＝S.則四維空間中“超球”的三維測度V＝8πr3，猜想其四維測度W＝________. 解析：(2πr4)′＝8πr3. 答案：2πr4 4．在平面上，我們如果用一條直線去截正方形的一個角，那么截下一個直角三角形，按圖所標邊長，由勾股定理有：c2＝a2＋b2.設想正方形換成正方體，把截線換成如圖的截面，這時從正方體上截下三條側棱兩兩垂直的三棱錐OLMN，如果用S1，S2，S3表示三個側面的面積，S4表示截面的面積，那么你類比得到的結論是________． 解析：由于平面圖形中的邊長應與空間幾何體中的面積類比，因此所得到的結論為：S＝S＋S＋S. 答案：S＝S＋S＋S 演繹推理的應用 [例3] 已知{an}為等差數列，首項a1>1，公差d>0，n>1且n∈N*. 求證：lg an＋1lg an－1<(lg an)2. [思路點撥] 對數之積不能直接運算，可由基本不等式轉化為對數之和進行運算． [精解詳析] ∵{an}為等差數列， ∴an＋1＋an－1＝2an. ∵d>0， ∴an－1an＋1＝(an－d)(an＋d)＝a－d2
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