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2017-2018高二下期中考數(shù)學(xué)測試卷
一、選擇題(12小題,每小題5分,共60分)
1.復(fù)數(shù)的實部是( )
A.-2 B.2 C.3 D.4
2.張、王兩家夫婦各帶1個小孩一起到動物園游玩,購票后排隊依次入園.為安全起見,首尾一定要排兩位爸爸,另外,兩個小孩一定要排在一起,則這6人的入園順序排法種數(shù)共有( )
A.12 B.24 C.36 D.48
3.下列說法正確的是 ( )
A.命題“若x2=1,則x=1”的否命題為“若x2=1,則x≠1”
B.命題“?x≥0,x2+x-1<0”的否定是“?x0<0,+x0-1<0”
C.命題“若x=y,則sinx=siny”的逆否命題為假命題
D.若“p∨q”為真命題,則p,q中至少有一個為真命題
4.的展開式中的常數(shù)項為 ( )
A.12 B.-12 C.6 D.-6
5.使不等式x2-3x<0成立的一個必要不充分條件是 ( )
A.0
3
6.已知,,是空間的一個基底,設(shè)=+,=-,則下列向量中可以與,一起構(gòu)成空間的另一個基底的是( )
A. B. C. D.以上都不對
7.如圖1,已知F是橢圓+=1(a>b>0)的左焦點,P是橢圓上的一點,PF⊥x軸,OP∥AB(O為原點),則該橢圓的離心率是( )
圖1
A. B. C. D.
8. 定積分的值為( )
A. 0 B. C. 2 D. 4
9. 若函數(shù)的圖象上存在兩點,使得函數(shù)的圖象在這兩點處的切線互相垂直,則稱具有T性質(zhì),下列函數(shù)中具有T性質(zhì)的是( )
A. B. C. D.
10.若直線y=kx-2與拋物線y2=8x交于A,B兩個不同的點,且AB的中點的橫坐標(biāo)為2,則k等于 ( )
A.2或-1 B.-1 C.2 D.1
11.設(shè)f(x),g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù),當(dāng)x<0時,f′(x)g(x)-f(x)g′(x)>0,且f(3)=0,則不等式f(x)g(x)<0的解集是( )
A.(-3,0)∪(3,+∞) B.(-3,0)∪(0,3)
C.(-∞,-3)∪(3,+∞) D.(-∞,-3)∪(0,3)
12. 已知是平面的斜線段,為斜足,若與平面成角,過定點的動直線與斜線 成角,且交于點,則動點的軌跡是( )
A. 圓 B. 橢圓 C.雙曲線 D.拋物線
二、填空題(4小題,每小題5分,共20分)
13、雙曲線-=1的漸近線的方程為________.
14.已知隨機變量服從正態(tài)分布, ,則=__________
15.若三角形內(nèi)切圓的半徑為,三邊長為,則三角形的面積等于,根據(jù)類比推理的方法,若一個四面體的內(nèi)切球的半徑為,四個面的面積分別是,則四面體的體積 ?。?
16. 定義域在R上的可導(dǎo)函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)為,滿足f(x)>,且,則不等式的解集為___________.
三、解答題(6小題,滿分70分)
17.(本小題滿分10分)某校在兩個班進行教學(xué)方式對比試驗,兩個月后進行了一次檢測,試驗班與對照班成績統(tǒng)計如下表所示(單位:人):
80及80分以上
80分以下
總計
試驗班
35
15
50
對照班
20
m
50
總計
55
45
n
(1)求m,n;
(2)能否在犯錯誤的概率不超過0.005的情況下認(rèn)為教學(xué)方式與成績有關(guān)系?
P(K2≥k)
0.05
0.010
0.005
0.001
k
3.841
6.635
7.879
10.828
18. (本小題滿分12分)
已知函數(shù),在點處的切線方程為.
(Ⅰ)求的解析式;
(Ⅱ)求的單調(diào)區(qū)間;
19. (本小題滿分12分)一盒中裝有9張各寫有一個數(shù)字的卡片,其中4張卡片上的數(shù)字是1,3張卡片上的數(shù)字是2,2張卡片上的數(shù)字是3.從盒中任取3張卡片.
(1)求所取3張卡片上的數(shù)字完全相同的概率;
(2)X表示所取3張卡片上的數(shù)字的中位數(shù),求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.
(注:若三個數(shù)a,b,c滿足a≤b≤c,則稱b為這三個數(shù)的中位數(shù))
20.(本小題滿分12分)
已知四棱錐的底面為直角梯形,,底面,且是的中點.
(1)證明:平面平面
(2)求二面角的余弦值.
21.( 本小題滿分12分)已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點,焦點在x軸上,它的一個頂點恰好是拋物線y=x2的焦點,離心率為.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.
(2)過橢圓C的右焦點F作直線l交橢圓C于A,B兩點,交y軸于點M,若=m,=n,試判斷m+n是否為定值,若是求出m+n的值,若不是請說明理由.
22.(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)=ln x-.
(1)若f(x)存在最小值且最小值為2,求a的值;
(2)設(shè)g(x)=ln x-a,若g(x)<x2在(0,e]上恒成立,求a的取值范圍.
2017-2018高二下期中考數(shù)學(xué)測試卷
班級: 座號: 姓名: 命題人:徐強 審題人:吳元良
一、選擇題(12小題,每小題5分,共60分)
1.復(fù)數(shù)的實部是( )
A.-2 B.2 C.3 D.4
解析:選B
2.張、王兩家夫婦各帶1個小孩一起到動物園游玩,購票后排隊依次入園.為安全起見,首尾一定要排兩位爸爸,另外,兩個小孩一定要排在一起,則這6人的入園順序排法種數(shù)共有( )
A.12 B.24 C.36 D.48
解析:選B 第一步,將兩位爸爸排在兩端有2種排法;第二步,將兩個小孩視作一人與兩位媽媽任意排在中間的三個位置上有2A種排法,故總的排法有22A=24種.
3.下列說法正確的是 ( )
A.命題“若x2=1,則x=1”的否命題為“若x2=1,則x≠1”
B.命題“?x≥0,x2+x-1<0”的否定是“?x0<0,+x0-1<0”
C.命題“若x=y,則sinx=siny”的逆否命題為假命題
D.若“p∨q”為真命題,則p,q中至少有一個為真命題
【解析】選D.
4.的展開式中的常數(shù)項為 ( )
A.12 B.-12 C.6 D.-6
【解析】選A.展開式中的通項公式為Tr+1=x6-2r
(-2)rx-r=(-2)rx6-3r,
令6-3r=0,求得r=2,
故展開式中的常數(shù)項為43=12.
5.使不等式x2-3x<0成立的一個必要不充分條件是 ( )
A.03
【解析】選B.
6.已知,,是空間的一個基底,設(shè)=+,=-,則下列向量中可以與,一起構(gòu)成空間的另一個基底的是( )
A. B. C. D.以上都不對
解析 ∵a,b,c不共面,
∴a+b,a-b,c不共面,∴p,q,c可構(gòu)成空間的一個基底.
答案 C
7.如圖1,已知F是橢圓+=1(a>b>0)的左焦點,P是橢圓上的一點,PF⊥x軸,OP∥AB(O為原點),則該橢圓的離心率是( )
圖1
A. B. C. D.
【解析】 因為PF⊥x軸,所以P.
又OP∥AB,所以=,即b=c.
于是b2=c2,
即a2=2c2,所以e==.
【答案】 A
8. 定積分的值為( )
A. 0 B. C. 2 D. 4
【答案】C
9. 若函數(shù)的圖象上存在兩點,使得函數(shù)的圖象在這兩點處的切線互相垂直,則稱具有T性質(zhì),下列函數(shù)中具有T性質(zhì)的是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義,若具有T性質(zhì),則存在使或且處切線與x軸垂直.
A項,,,有具有T性質(zhì),故A項正確;
B項,,,切線斜率存在,不滿足,不具有T性質(zhì),故B項錯誤;
C項,, 不具有T性質(zhì),故C項錯誤;
D項,,,不具有T性質(zhì),故D項錯誤.
10.若直線y=kx-2與拋物線y2=8x交于A,B兩個不同的點,且AB的中點的橫坐標(biāo)為2,則k等于 ( )
A.2或-1 B.-1 C.2 D.1
【解析】選C.由消去y得,
k2x2-4(k+2)x+4=0,
故Δ=[-4(k+2)]2-4k24=64(1+k)>0,
解得k>-1,由x1+x2==4,
解得k=-1或k=2,又因為k>-1,故k=2.
【易錯警示】本題易忽略Δ>0而錯選A.
11.設(shè)f(x),g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù),當(dāng)x<0時,f′(x)g(x)-f(x)g′(x)>0,且f(3)=0,則不等式f(x)g(x)<0的解集是( )
A.(-3,0)∪(3,+∞) B.(-3,0)∪(0,3)
C.(-∞,-3)∪(3,+∞) D.(-∞,-3)∪(0,3)
解析:選D 設(shè)F(x)=,
則F′(x)=,
由題意知:F(x)為奇函數(shù),F(xiàn)(x)在(-∞,0)上遞增,F(xiàn)(3)=0,數(shù)形結(jié)合易得F(x)<0的解集為(-∞,-3)∪(0,3),從而f(x)g(x)<0的解集也為(-∞,-3)∪(0,3).
12. 已知是平面的斜線段,為斜足,若與平面成角,過定點的動直線與斜線 成角,且交于點,則動點的軌跡是( )
A. 圓 B. 橢圓 C.雙曲線 D.拋物線
解析:選D
二、填空題(4小題,每小題5分,共20分)
13、雙曲線-=1的漸近線的方程為________.
答案: y=x
14.已知隨機變量服從正態(tài)分布, ,則=__________
答案:0.34
15.若三角形內(nèi)切圓的半徑為,三邊長為,則三角形的面積等于,根據(jù)類比推理的方法,若一個四面體的內(nèi)切球的半徑為,四個面的面積分別是,則四面體的體積 .
答案: R(S1+S2+S3+S4)
16. 定義域在R上的可導(dǎo)函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)為,滿足,且,則不等式的解集為___________.
【答案】
【解析】令,,
可得函數(shù)在R上為減函數(shù),
又,
故不等式即.
不等式的解集為 .
三、解答題(6小題,滿分70分)
17.(本小題滿分10分)某校在兩個班進行教學(xué)方式對比試驗,兩個月后進行了一次檢測,試驗班與對照班成績統(tǒng)計如下表所示(單位:人):
80及80分以上
80分以下
總計
試驗班
35
15
50
對照班
20
m
50
總計
55
45
n
(1)求m,n;
(2)能否在犯錯誤的概率不超過0.005的情況下認(rèn)為教學(xué)方式與成績有關(guān)系?
P(K2≥k)
0.05
0.010
0.005
0.001
k
3.841
6.635
7.879
10.828
解:(1)m=45-15=30,n=50+50=100.
(2)由表中的數(shù)據(jù),得K2的觀測值為
k=≈9.091.
因為9.091>7.879,所以能在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下認(rèn)為教學(xué)方式與成績有關(guān)系.
18. (本小題滿分12分)
已知函數(shù),在點處的切線方程為.
(Ⅰ)求的解析式;
(Ⅱ)求的單調(diào)區(qū)間;
解:(Ⅰ)
又切線斜率為-1,故,從而
將代入方程得:,從而
,將代入得
故
(Ⅱ)依題意知,
令,得:,再令,得:
故的單調(diào)增區(qū)間為,單調(diào)減區(qū)間為
19. (本小題滿分12分)一盒中裝有9張各寫有一個數(shù)字的卡片,其中4張卡片上的數(shù)字是1,3張卡片上的數(shù)字是2,2張卡片上的數(shù)字是3.從盒中任取3張卡片.
(1)求所取3張卡片上的數(shù)字完全相同的概率;
(2)X表示所取3張卡片上的數(shù)字的中位數(shù),求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.
(注:若三個數(shù)a,b,c滿足a≤b≤c,則稱b為這三個數(shù)的中位數(shù))
解:(1)由古典概型的概率計算公式知所求概率為P==.
(2)X的所有可能值為1,2,3,且P(X=1)==;
P(X=2)==;
P(X=3)==.
故X的分布列為:
X
1
2
3
P
從而E(X)=1+2+3=.
20.(本小題滿分12分)
已知四棱錐的底面為直角梯形,,底面,且是的中點.
(1)證明:平面平面
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1)詳見解析;(2).
(1)證明:面,,
∴由三垂線定理得:.
因而,與面內(nèi)兩條相交直線都垂直,
面,又面,
∴面面.
(2)作,垂足為,連接.
在中,,又,≌,
,故為所求二面角的平面角
,由三垂線定理,得,
在中,,所以.
在等腰三角形中,,
,
.
故二面角余弦值為.
注:向量法請酌情給分。
21.( 本小題滿分12分)已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點,焦點在x軸上,它的一個頂點恰好是拋物線y=x2的焦點,離心率為.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.
(2)過橢圓C的右焦點F作直線l交橢圓C于A,B兩點,交y軸于點M,若=m,=n,試判斷m+n是否為定值,若是求出m+n的值,若不是請說明理由.
【解析】(1)設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1(a>b>0).
拋物線方程可化為x2=4y,其焦點為(0,1),
則橢圓C的一個頂點為(0,1),即b=1.
由e===.
得a2=5,所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為+y2=1.
(2)m+n 為定值。
易求出橢圓C的右焦點F(2,0),
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),M(0,y0),顯然直線l的斜率存在,設(shè)直線l的方程為y=k(x-2),
代入方程+y2=1,
得(1+5k2)x2-20k2x+20k2-5=0.
所以x1+x2=,x1x2=.
又=(x1,y1-y0),=(x2,y2-y0),
=(x1-2,y1),=(x2-2,y2).
因為=m,=n,
所以m=,n=,
所以m+n=,
又2x1x2-2(x1+x2)=
=-,
4-2(x1+x2)+x1x2
=4-+=,
所以m+n=10.
22.(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)=ln x-.
(1)若f(x)存在最小值且最小值為2,求a的值;
(2)設(shè)g(x)=ln x-a,若g(x)<x2在(0,e]上恒成立,求a的取值范圍.
解:(1)f′(x)=+=(x>0),
當(dāng)a≥0時,f′(x)>0,f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù),f(x)不存在最小值.
當(dāng)a<0時,由f′(x)=0,得x=-a,
且0<x<-a時f′(x)<0,
x>-a時f′(x)>0.
∴x=-a時f(x)取最小值,
f(-a)=ln(-a)+1=2,解得a=-e.
(2)g(x)<x2,即ln x-a<x2,即a>ln x-x2,
故g(x)<x2在(0,e]上恒成立,也就是a>ln x-x2在(0,e]上恒成立.
設(shè)h(x)=ln x-x2,則h′(x)=-2x=,由h′(x)=0及0<x≤e,得x=.
當(dāng)0<x<時h′(x)>0,當(dāng)<x≤e時h′(x)<0,即h(x)在上為增函數(shù),在上為減函數(shù),所以當(dāng)x=時h(x)取得最大值為h=ln -.
所以g(x)<x2在(0,e]上恒成立時,
a的取值范圍為.
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