2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 常用邏輯用語 2 充分條件與必要條件學(xué)案 北師大版選修1 -1.doc
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2 充分條件與必要條件 充分條件與必要條件 古時候有個賣油郎叫洛孝,一天他在賣油回家的路上撿到30兩銀子,回家后其母親叫洛孝把銀子還給失主.當(dāng)洛孝把銀子還給失主時,失主卻說自己丟了50兩銀子,叫洛孝拿出自己私留的20兩銀子.兩人為此爭執(zhí)不休,告到縣衙,縣官聽了兩人的供述后,把銀子判給洛孝,失主含羞離去. 設(shè): A:洛孝主動歸還所拾銀兩. B:洛孝無賴銀之情. C:洛孝拾到30兩銀子,失主丟失50兩銀子. D:洛孝所拾銀子不是失主所丟. 問題1:縣官得到結(jié)論B的依據(jù)是什么?它是B的什么條件? 提示:A,充分條件. 問題2:縣官由C得出什么結(jié)論?它是C的什么條件? 提示:D,必要條件. 充分條件和必要條件 如果“若p,則q”形式的命題為真命題,即p?q,稱p是q的充分條件,同時稱q是p的必要條件. 充要條件 已知:p:前年在倫敦舉行第30屆夏季奧運(yùn)會. q:前年是2012年. 問題1:“若p,則q”為真命題嗎?p是q的什么條件? 提示:是真命題,充分條件. 問題2:“若q,則p”是真命題嗎?p是q的什么條件? 提示:是真命題,必要條件. 問題3:p是q的什么條件?q是p的什么條件? 提示:充要條件,充要條件. 充要條件 (1)如果既有p?q,又有q?p,通常記作p?q,則稱p是q的充分必要條件,簡稱充要條件. (2)p是q的充要條件也可以說成:p成立當(dāng)且僅當(dāng)q成立. (3)如果p,q分別表示兩個命題,且它們互為充要條件,我們稱命題p和命題q是兩個相互等價的命題. (4)若p?q,但q?/ p,則p是q的充分不必要條件,q是p的必要不充分條件. (5)若p?/ q,且q?/ p,則p是q的既不充分也不必要條件. 充分條件與必要條件的判斷,即對命題“若p,則q”與“若q,則p”進(jìn)行真假判斷,若是一真一假則p是q的充分不必要條件或必要不充分條件;若是兩真則p是q的充要條件;若是兩假則p是q的即不充分又不必要條件. 充分條件、必要條件的判斷 [例1] 下列各題中,p是q的什么條件? (1)p:a,b,c三數(shù)成等比數(shù)列,q:b=; (2)p:y+x>4,q:x>1,y>3; (3)p:a>b,q:2a>2b; (4)p:△ABC是直角三角形,q:△ABC為等腰三角形. [思路點撥] 可先看p成立時,q是否成立,再反過來若q成立時,p是否成立,從而判定p,q間的關(guān)系. [精解詳析] (1)若a,b,c成等比數(shù)列,則b2=ac,b=,則p?/ q;若b=,當(dāng)a=0,b=0時,a,b,c不成等比數(shù)列,即q?/ p,故p是q的既不充分也不必要條件. (2)y+x>4不能得出x>1,y>3,即p?/ q,而x>1,y>3可得x+y>4,即q?p,故p是q的必要不充分條件. (3)當(dāng)a>b時,有2a>2b,即p?q,當(dāng)2a>2b時,可得a>b,即q?p,故p是q的充要條件. (4)法一:若△ABC是直角三角形不能得出△ABC為等腰三角形,即p?/ q;若△ABC為等腰三角形也不能得出△ABC為直角三角形,即q?/ p,故p是q的既不充分也不必要條件. 法二:如圖所示:p,q對應(yīng)集合間無包含關(guān)系,故p是q的既不充分也不必要條件. [一點通] 充分必要條件判斷的常用方法: (1)定義法:分清條件和結(jié)論,利用定義判斷. (2)等價法:將不易判斷的命題轉(zhuǎn)化為它的逆否命題判斷. (3)集合法: 設(shè)A={x|p(x)},B={x|q(x)},若x具有性質(zhì)p,則x∈A;若x具有性質(zhì)q,則x∈B. ①若AB,則p是q的充分不必要條件; ②若BA,則p是q的必要不充分條件; ③若A=B,則p是q的充要條件; ④若A?B且B?A,則p是q的既不充分又不必要條件. 1.設(shè)集合A={x|≤0},集合B={x||x-2|≤1},那么“m∈A”是“m∈B”的( ) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分又不必要條件 解析:集合A={x|0≤x<3},集合B={x|1≤x≤3},則由“m∈A”得不到“m∈B”,反之由“m∈B”也得不到“m∈A”,故選D. 答案:D 2.對任意實數(shù)a,b,c給出下列命題: ①“a=b”是“ac=bc”的充要條件; ②“a+5是無理數(shù)”是“a是無理數(shù)”的充要條件; ③“a>b”是“a2>b2”的充分條件; ④“a<5”是“a<3”的必要條件. 其中,真命題的序號是________. 解析:①由a=b可得ac=bc.但ac=bc時不一定有a=b,故①為假命題;②由“a+5為無理數(shù)”可得“a為無理數(shù)”,由“a為無理數(shù)”可得“a+5為無理數(shù)”,②為真命題;③由“a>b”不能得出a2>b2,如a=1,b=-2,③為假命題;④“由a<5”不能得“a<3”,而由“a<3”可得“a<5”,④為真命題. 答案:②④ 3.指出下列各組命題中p是q的什么條件,q是p的什么條件,并說明理由. (1)p:|x|=|y|,q:x=y(tǒng); (2)在△ABC中,p:sin A>,q:A>. 解:(1)因為|x|=|y|?x=y(tǒng)或x=-y,但x=y(tǒng)?|x|=|y|,所以p是q的必要不充分條件,q是p的充分不必要條件. (2)因為0<A<π時,sin A∈(0,1],且A∈(0,]時,sin A單調(diào)遞增,A∈[,π)時,sin A單調(diào)遞減,所以sin A>?A>,但A>?/ sin A>. 所以p是q的充分不必要條件,q是p的必要不充分條件. 充要條件的證明和求解 [例2] 已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=pn+q(p≠0且p≠1), 求證:數(shù)列{an}為等比數(shù)列的充要條件為q=-1. [思路點撥] 本題可分充分性和必要性兩種情況證明,即由q=-1推證數(shù)列{an}為等比數(shù)列和由數(shù)列{an}滿足Sn=pn+q(p≠0且p≠1)為等比數(shù)列推證q=-1. [精解詳析] (充分性)當(dāng)q=-1時,a1=S1=p-1;當(dāng)n≥2時,an=Sn-Sn-1=pn-1(p-1),且n=1時也成立.于是==p(p≠0且p≠1),即{an}為等比數(shù)列. (必要性)當(dāng)n=1時,a1=S1=p+q; 當(dāng)n≥2時,an=Sn-Sn-1=pn-1(p-1). 因為p≠0且p≠1,所以當(dāng)n≥2時,==p,可知等比數(shù)列{an}的公比為p. 故==p,即p-1=p+q,求得q=-1. 綜上可知,q=-1是數(shù)列{an}為等比數(shù)列的充要條件. [一點通] 充要條件的證明問題,要證明兩個方面,一是充分性,二是必要性.為此必須要搞清條件,在“A是B的充要條件”中,A?B是充分性,B?A是必要性;在“A的充要條件是B”中,A?B是必要性,B?A是充分性. 4.不等式x2-ax+1>0的解集為R的充要條件是____________. 解析:若x2-ax+1>0的解集為R,則Δ=a2-4<0,即-20的解集為R,故不等式x2-ax+1>0的解集為R的充要條件是-2- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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