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模塊綜合測評
(滿分：150分 時間：120分鐘)
一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中只有一項是正確的)
1．如果z＝m(m＋1)＋(m2－1)i為純虛數(shù)，則實數(shù)m的值為( )
A．1 B．0
C．－1 D．－1或1
B [由題意知，∴m＝0.]
2．演繹推理“ 因為對數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0且a≠ 1)是增函數(shù)，而函數(shù)y＝logx是對數(shù)函數(shù)，所以y＝logx是增函數(shù)” 所得結(jié)論錯誤的原因是( )
【導(dǎo)學(xué)號：31062245】
A．大前提錯誤
B．小前提錯誤
C．推理形式錯誤
D．大前提和小前提都錯誤
A [對數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0，且a≠1)，當(dāng)a>1時是增函數(shù)，當(dāng)0
0，故選項D正確．故選D.]
8．用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式＋＋…＋>(n>1，n∈ N*)的過程中，從n＝k到n＝k＋1時左邊需增加的代數(shù)式是( ) 【導(dǎo)學(xué)號：31062246】
A. B.－
C.＋ D.
B [從n＝k到n＝k＋1左邊增加了＋減少了，∴需增加的代數(shù)式為＋－＝－.]
9．已知結(jié)論：“ 在正三角形ABC中，若D是BC的中點，G是三角形ABC的重心，則＝2”. 若把該結(jié)論推廣到空間，則有結(jié)論：在棱長都相等的四面體ABCD中，若△BCD的中心為M，四面體內(nèi)部一點O到四面體各面的距離都相等，則等于( )
A．1 B．2
C．3 D．4
C [面的重心類比幾何體的重心，平面類比空間，＝2類比＝3，故選C.]
10．甲、乙、丙、丁四位同學(xué)一起去向老師詢問成語競賽的成績．老師說：你們四人中有2位優(yōu)秀，2位良好，我現(xiàn)在給甲看乙、丙的成績，給乙看丙的成績，給丁看甲的成績．看后甲對大家說：我還是不知道我的成績．根據(jù)以上信息，則( )
A．乙可以知道四人的成績
B．丁可以知道四人的成績
C．乙、丁可以知道對方的成績
D．乙、丁可以知道自己的成績
D [由甲說：“我還是不知道我的成績”可推知甲看到乙、丙的成績?yōu)椤?個優(yōu)秀，1個良好”．乙看丙的成績，結(jié)合甲的說法，丙為“優(yōu)秀”時，乙為“良好”；丙為“良好”時，乙為“優(yōu)秀”，可得乙可以知道自己的成績．丁看甲的成績，結(jié)合甲的說法，甲為“優(yōu)秀”時，丁為“良好”；甲為“良好”時，丁為“優(yōu)秀”，可得丁可以知道自己的成績．
故選D.]
11．如圖2，第n個圖形是由正n＋2邊形“擴(kuò)展”而來(n＝1,2,3，…)，則第n個圖形中頂點個數(shù)為 ( )
圖2
A．(n＋1)(n＋2) B．(n＋2)(n＋3)
C．n2 D．n
B [第一個圖形共有12＝34個頂點，第二個圖形共有20＝45個頂點，第三個圖形共有30＝56個頂點，第四個圖形共有42＝67個頂點，故第n個圖形共有(n＋2)(n＋3)個頂點．]
12．已知可導(dǎo)函數(shù)f(x)(x∈R)滿足f′(x)>f(x)，則當(dāng)a＞0時，f(a)和eaf(0)的大小的關(guān)系為( )
【導(dǎo)學(xué)號：31062247】
A．f(a)eaf(0)
C．f(a)＝eaf(0) D．f(a)≤eaf(0)
B [令g(x)＝e－xf(x)，則g′(x)＝e－x[f′(x)－f(x)]>0.
所以g(x)在(－∞，＋∞)上為增函數(shù)，g(a)>g(0)．e－af(a)>e0f(0)，即f(a)>eaf(0)，故選B.]
二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分，將答案填在題中的橫線上)
13．已知a，b∈R，i是虛數(shù)單位．若(a＋i)(1＋i)＝bi，則|a＋bi|＝________.
[解析] 由(a＋i)(1＋i)＝a－1＋(a＋1)i＝bi，得解方程組，得a＝1，b＝2，則a＋bi＝1＋2i.
∴|a＋bi|＝＝.
[答案]
14．由拋物線y＝x2，直線x＝1，x＝3和x軸所圍成的圖形的面積是
________．
[解析] 如圖所示，S＝
[答案]
15．觀察下列不等式
1＋<，
1＋＋<，
1＋＋＋<，
……
照此規(guī)律，第五個不等式為________．
[解析] 左邊的式子的通項是1＋＋＋…＋，右邊式子的分母依次增加1，分子依次增加2，還可以發(fā)現(xiàn)右邊分母與左邊最后一項分母的關(guān)系，所以第五個不等式為1＋＋＋＋＋＜.
[答案] 1＋＋＋＋＋＜
16．設(shè)x3＋ax＋b＝0，其中a，b均為實數(shù)．下列條件中，使得該三次方程僅有一個實根的是________．(寫出所有正確條件的編號)
【導(dǎo)學(xué)號：31062248】
①a＝－3，b＝－3；②a＝－3，b＝2；
③a＝－3，b＞2；④a＝0，b＝2；⑤a＝1，b＝2.
[解析] 令f(x)＝x3＋ax＋b，求導(dǎo)得f ′(x)＝3x2＋a，當(dāng)a≥0時，f ′(x)
≥0，所以f(x)單調(diào)遞增，且至少存在一個數(shù)使f(x)<0，至少存在一個數(shù)使f(x)>0，所以f(x)＝x3＋ax＋b必有一個零點，即方程x3＋ax＋b＝0僅有一根，故④⑤正確；當(dāng)a<0時，若a＝－3，則f ′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，易知，f(x)在(－∞，－1)，(1，＋∞)上單調(diào)遞增，在[－1,1]上單調(diào)遞減，所以f(x)極大＝f(－1)＝－1＋3＋b＝b＋2，f(x)極?。絝(1)＝1－3＋b＝b－2，要使方程僅有一根，則f(x)極大＝b＋2<0或者f(x)極?。絙－2>0，解得b<－2或b>2，故①③正確．所以使得三次方程僅有一個實根的是①③④⑤.
[答案] ①③④⑤
三、解答題(本大題共6個大題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)
17．(本小題滿分10分)已知a>0，b>0用分析法證明：≥.
[證明] 因為a>0，b>0，
要證≥，
只要證，(a＋b)2≥4ab，只要證(a＋b)2－4ab≥0，
即證a2－2ab＋b2≥0，
而a2－2ab＋b2＝(a－b)2≥0恒成立，
故≥成立．
18．(本小題滿分12分)已知z∈C，且|z|－i＝＋2＋3i(i為虛數(shù)單位)，求復(fù)數(shù)的虛部．
[解] 設(shè)z＝x＋yi(x，y∈R)，代入方程|z|－i＝＋2＋3i，
得出－i＝x－yi＋2＋3i＝(x＋2)＋(3－y)i，
故有，解得，
∴z＝3＋4i，復(fù)數(shù)＝＝2＋i，虛部為1.
19．(本小題滿分12分)設(shè)函數(shù)f(x)＝－x3＋x2＋(m2－1)x(x∈R)，其中m＞0.
【導(dǎo)學(xué)號：31062249】
(1)當(dāng)m＝1時，求曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線的斜率；
(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值．
[解] (1)當(dāng)m＝1時，f(x)＝－x3＋x2，
f′(x)＝－x2＋2x，故f′(1)＝1.
所以曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線的斜率為1.
(2)f′(x)＝－x2＋2x＋m2－1.
令f′(x)＝0，解得x＝1－m或x＝1＋m.
因為m＞0，所以1＋m＞1－m.
當(dāng)x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：
x
(－∞，1－m)
1－m
(1－m,1＋m)
1＋m
(1＋m，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
極小值
極大值
所以f(x)在(－∞，1－m)，(1＋m，＋∞)內(nèi)是減函數(shù)，在(1－m,1＋m)內(nèi)是增函數(shù)．
函數(shù)f(x)在x＝1－m處取得極小值f(1－m)，
且f(1－m)＝－m3＋m2－.
函數(shù)f(x)在x＝1＋m處取得極大值f(1＋m)，
且f(1＋m)＝m3＋m2－.
20．(本小題滿分12分) 某商場從生產(chǎn)廠家以每件20元購進(jìn)一批商品，若該商品零售價為p元，銷量Q(單位：件)與零售價p(單位：元)有如下關(guān)系：Q＝8 300－170p－p2，則當(dāng)該商品零售價定為多少元時利潤最大，并求出利潤的最大值．
[解] 設(shè)商場銷售該商品所獲利潤為y元，則
y＝(p－20)(8 300－170p－p2)
＝－p3－150p2＋11 700p－166 000(p≥20)，
則y′＝－3p2－300p＋11 700.
令y′＝0得p2＋100p－3 900＝0，解得p＝30或p＝－130(舍去)．
則p，y，y′變化關(guān)系如下表：
p
(20,30)
30
(30，＋∞)
y′
＋
0
－
y
極大值
故當(dāng)p＝30時，y取極大值為23 000元．
又y＝－p3－150p2＋11 700p－166 000在[20，＋∞)上只有一個極值，故也是最值．所以該商品零售價定為每件30元，所獲利潤最大為23 000元．
21．(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)＝ln x＋a(1－x)．
(1)討論f(x)的單調(diào)性；
(2)當(dāng)f(x)有最大值，且最大值大于2a－2時，求a的取值范圍.
【導(dǎo)學(xué)號：31062250】
[解] (1)f(x)的定義域為(0，＋∞)，f′(x)＝－a.
若a≤0，則f′(x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增．
若a>0，則當(dāng)x∈時，f′(x)>0；
當(dāng)x∈時，f′(x)<0.
所以f(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
(2)由(1)知，當(dāng)a≤0時，f(x)在(0，＋∞)上無最大值；
當(dāng)a>0時，f(x)在x＝處取得最大值，最大值為
f＝ln ＋a＝－ln a＋a－1.
因此f>2a－2等價于ln a＋a－1<0.
令g(a)＝ln a＋a－1，則g(a)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，g(1)＝0.
于是，當(dāng)01時，g(a)>0.
因此a的取值范圍是(0,1)．
22．(本小題滿分12分)在各項為正的數(shù)列{an}中，數(shù)列的前n項和Sn滿足Sn＝.
(1)求a1，a2，a3；
(2)由(1)猜想數(shù)列{an}的通項公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想.
【導(dǎo)學(xué)號：31062251】
[解] (1)由S1＝a1＝得a＝1，
∵an>0，∴a1＝1.
由S2＝a1＋a2＝得a＋2a2－1＝0.
∴a2＝－1.
由S3＝a1＋a2＋a3＝得a＋2a3－1＝0.∴a3＝－.
(2)猜想an＝－(n∈N*)．
證明如下：①n＝1時，a1＝－命題成立．
②假設(shè)n＝k時，ak＝－成立，
則n＝k＋1時，
ak＋1＝Sk＋1－Sk＝－，
即ak＋1＝－－＋＝－
∴a＋2ak＋1－1＝0.∴ak＋1＝－.
即n＝k＋1時，命題成立，
由①②知，n∈N*，an＝－.
2018年秋高中數(shù)學(xué) 模塊綜合測評 新人教A版選修2-2.doc
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