2018年秋高中數(shù)學(xué) 第一章 解三角形 階段復(fù)習(xí)課 第1課 解三角形學(xué)案 新人教A版必修5.doc
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第一課 解三角形 [核心速填] 1.正弦定理 (1)公式表達(dá):===2R. (2)公式變形: ①a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C; ②sin A=,sin B=,sin C=; ③a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C; ④====2R. 2.余弦定理 (1)公式表達(dá): a2=b2+c2-2bccos_A,b2=a2+c2-2accos_B,c2=a2+b2-2abcos_C. (2)推論:cos A=,cos B=,cos C=. 3.三角形中常用的面積公式 (1)S=ah(h表示邊a上的高); (2)S=bcsin A=acsin B=absin C; (3)S=r(a+b+c)(r為三角形的內(nèi)切圓半徑). [體系構(gòu)建] [題型探究] 利用正、余弦定理解三角形 在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知b+c=2acos B. (1)證明:A=2B; (2)若△ABC的面積S=,求角A的大小. 【導(dǎo)學(xué)號:91432090】 [解] (1)證明:由正弦定理得sin B+sin C=2sin Acos B,故2sin Acos B=sin B+sin(A+B)=sin B+sin Acos B+cos Asin B,于是sin B=sin(A-B). 又A,B∈(0,π),故08,應(yīng)舍去,所以x=4-3≈3.9,即這條公路的長約為3.9 km. (2)在△ABD中,由正弦定理得=,所以sin∠ABD=sin∠CBD=sin∠ADB==0.8,所以cos∠CBD=0.6.在△CBD中,sin∠DCB=sin(∠CBD+∠BDC)=sin(∠CBD+75)=0.80.26+0.60.97=0.79,由正弦定理得CD=sin∠DBC≈3.9.故景點C與景點D之間的距離約為3.9 km. [規(guī)律方法] 正弦定理、余弦定理在實際生活中有著非常廣泛的應(yīng)用.常用的有測量距離問題,測量高度問題,測量角度問題等.解決的基本思路是畫出正確的示意圖,把已知量和未知量標(biāo)在示意圖中(目的是發(fā)現(xiàn)已知量與未知量之間的關(guān)系),最后確定用哪個定理轉(zhuǎn)化,用哪個定理求解,并進(jìn)行作答,解題時還要注意近似計算的要求. [跟蹤訓(xùn)練] 3.如圖13,a是海面上一條南北方向的海防警戒線,在a上點A處有一個水聲監(jiān)測點,另兩個監(jiān)測點B,C分別在A的正東方20 km和54 km處.某時刻,監(jiān)測點B收到發(fā)自靜止目標(biāo)P的一個聲波信號,8 s后監(jiān)測點A,20 s后監(jiān)測點C相繼收到這一信號,在當(dāng)時氣象條件下,聲波在水中的傳播速度是1.5 km/s. 圖13 (1)設(shè)A到P的距離為x km,用x表示B,C到P的距離,并求x的值; (2)求靜止目標(biāo)P到海防警戒線a的距離(精確到0.01 km). 【導(dǎo)學(xué)號:91432092】 [解] (1)由題意得PA-PB=1.58=12(km), PC-PB=1.520=30(km). ∴PB=x-12,PC=18+x. 在△PAB中,AB=20 km, cos∠PAB===. 同理cos∠PAC=. ∵cos∠PAB=cos∠PAC, ∴=,解得x=. (2)作PD⊥a于D,在Rt△PDA中,PD=PAcos∠APD=PAcos∠PAB=x=≈17.71(km). 所以靜止目標(biāo)P到海防警戒線a的距離為17.71 km. 與三角形有關(guān)的綜合問題 [探究問題] 1.如圖14所示,向量與的夾角是∠B嗎?在△ABC中,兩向量的數(shù)量積與余弦定理有怎樣的聯(lián)系? 圖14 提示:向量與的夾角是∠B的補角,大小為180-∠B, 由于=||||cos A=bccos A. 所以=bccos A=(b2+c2-a2),有時直接利用此結(jié)論解決與向量數(shù)量積有關(guān)的解三角形問題. 2.在解三角形的過程中,求某一個角有時既可以用余弦定理,也可以用正弦定理,兩種方法有什么利弊呢? 提示:用余弦定理可以根據(jù)角的余弦值的符號直接判斷是銳角還是鈍角,但計算比較復(fù)雜.用正弦定理計算相對比較簡單,但仍要結(jié)合已知條件中邊的大小來確定角的大小,所以一般選擇用正弦定理去計算比較小的邊所對的角,避免討論. 在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且a>c,已知=2,cos B=,b=3.求: (1)a和c的值; (2)cos(B-C)的值. 【導(dǎo)學(xué)號:91432093】 思路探究:(1)由平面向量的數(shù)量積定義及余弦定理,列出關(guān)于a,c的方程組即可求解. (2)由(1)結(jié)合正弦定理分別求出B,C的正、余弦值,利用差角余弦公式求解. [解] (1)由=2得cacos B=2. 又cos B=,所以ac=6. 由余弦定理,得a2+c2=b2+2accos B. 又b=3,所以a2+c2=9+26=13. 解得或 因為a>c,所以a=3,c=2. (2)在△ABC中, sin B===, 由正弦定理,得sin C=sin B==. 因為a=b>c,所以C為銳角, 因此cos C===. 于是cos(B-C)=cos Bcos C+sin Bsin C =+=. 母題探究:1.(變條件,變結(jié)論)將本例中的條件“a>c,=2,cos B=,b=3”變?yōu)椤耙阎猄△ABC=30且cos A=”求的值. [解] 在△ABC中,cos A=, ∴A為銳角且sin A=, ∴S△ABC=bcsin A=bc=30. ∴bc=156. ∴=||||cos A =bccos A=156=144. 2.(變條件,變結(jié)論)在“母題探究1”中再加上條件“c-b=1”能否求a的值? [解] 由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=(b-c)2+2bc(1-cos A)=1+2156=25,∴a==5. [規(guī)律方法] 正、余弦定理將三角形中的邊和角關(guān)系進(jìn)行了量化,為我們解三角形或求三角形的面積提供了依據(jù),而三角形中的問題常與向量、函數(shù)、方程及平面幾何相結(jié)合,通??梢岳谜?、余弦定理完成證明、求值等問題. (1)解三角形與向量的交匯問題,可以結(jié)合向量的平行、垂直、夾角、模等知識轉(zhuǎn)化求解. (2)解三角形與其他知識的交匯問題,可以運用三角形的基礎(chǔ)知識、正余弦定理、三角形面積公式與三角恒等變換,通過等價轉(zhuǎn)化或構(gòu)造方程及函數(shù)求解.- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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