2018-2019學年高中數學 課時分層作業(yè)14 求曲線的方程 蘇教版必修4.doc
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課時分層作業(yè)(十四) 求曲線的方程 (建議用時：40分鐘) [基礎達標練] 一、填空題 1．已知點A(－2,0)，B(3,0)，動點P(x，y)滿足＝x2－6，則點P的軌跡方程是________． [解析]?。?3－x，－y)，＝(－2－x，－y)， ∴＝(3－x)(－2－x)＋y2＝x2－x－6＋y2＝x2－6，∴y2＝x. [答案] y2＝x 2．“曲線C上的點的坐標都是方程f(x，y)＝0的解”是“方程f(x，y)＝0是曲線C的方程”的__________條件． [解析] “方程f(x，y)＝0是曲線C的方程 ”?“曲線C上的點的坐標都是方程f(x，y)＝0的解”，反之不成立． [答案] 必要不充分 3．平面內有兩定點A，B，且AB＝4，動點P滿足|＋|＝4，則點P的軌跡方程是________． [解析] 以AB的中點為原點，以AB所在的直線為x軸建立平面直角坐標系，設A(－2,0)，B(2,0)．∵|＋|＝|2|＝4， ∴||＝2. 設P(x，y)，∴＝2，即x2＋y2＝4， ∴點P的軌跡方程是x2＋y2＝4. [答案] x2＋y2＝4 4．點P(4，－2)與圓x2＋y2＝4上任一點連線的中點軌跡方程是________. 【導學號：71392132】 [解析] 設Q(x0，y0)是圓x2＋y2＝4上任一點，PQ中點M(x，y)， 則由中點坐標公式得∴ ∵Q(x0，y0)在圓x2＋y2＝4上，∴x＋y＝4，即(2x－4)2＋(2y＋2)2＝4. ∴(x－2)2＋(y＋1)2＝1即為中點軌跡方程． [答案] (x－2)2＋(y＋1)2＝1 5．已知A(－1,0)，B(2,4)，△ABC的面積為10，則動點C的軌跡方程是________． [解析] 由兩點式，得直線AB的方程是＝，即4x－3y＋4＝0，AB＝＝5.設C點的坐標為(x，y)，則5＝10， 即4x－3y－16＝0或4x－3y＋24＝0. [答案] 4x－3y－16＝0或4x－3y＋24＝0 6．已知AB＝3，A，B分別在x軸和y軸上滑動，O為坐標原點，＝＋，則動點P的軌跡方程是________． [解析] 設P(x，y)，A(x0,0)，B(0，y0)．∵AB＝3，∴x＋y＝9，＝(x，y)＝＋＝(x0,0)＋(0，y0)＝. 所以即又x＋y＝9，所以x2＋9y2＝9，即＋y2＝1. [答案]?。珁2＝1 7．△ABC的頂點A(－5,0)，B(5,0)，△ABC的內切圓圓心在直線x＝3上，則頂點C的軌跡方程是________． [解析] 如圖，AD＝AE＝8，BF＝BE＝2，CD＝CF， 所以CA－CB＝8－2＝6.根據雙曲線定義，所求軌跡是以A，B為焦點，實軸長為6的雙曲線的右支，方程為－＝1(x>3)． [答案]?。?(x>3) 8．在△ABC中，若B、C的坐標分別是(－2,0)，(2,0)，中線AD的長度是3，則點A的軌跡方程是________． [解析] 由B，C的坐標分別為(－2,0)，(2,0)得D(0,0)．設A(x，y)，則由AD＝3得x2＋y2＝9，又A為△ABC的頂點，故A、B、C三點不能共線，故點A的軌跡方程為x2＋y2＝9(y≠0)． [答案] x2＋y2＝9(y≠0) 二、解答題 9．已知動圓過定點A(4,0)，且在y軸上截得弦MN的長為8，求動圓圓心的軌跡C的方程. 【導學號：71392133】 [解] 如圖，設動圓圓心O1(x，y)，由題意知，O1A＝O1M， ①當O1不在y軸上時，過O1作O1H⊥MN垂足為H，則H是MN的中點，∵MN＝8，∴O1M＝＝. 又O1A＝， ∴＝，化簡整理得y2＝8x(x≠0)． ②當O1在y軸上時，O1與原點O重合為一點，O1的坐標(0,0)也滿足方程y2＝8x. 綜上，動圓圓心的軌跡C的方程為y2＝8x. 10．如圖265，過點P(2,4)作兩條互相垂直的直線l1，l2，若l1交x軸于A點，l2交y軸于B點，求線段AB的中點M的軌跡方程． 圖265 [解] 法一：設點M的坐標為(x，y)． ∵M為線段AB的中點， ∴A的坐標為(2x,0)，B的坐標為(0,2y)． ∵l1⊥l2，且l1，l2過點P(2,4)， ∴PA⊥PB，kPAkPB＝－1. 而kPA＝(x≠1)，kPB＝，∴＝－1(x≠1)． 整理，得x＋2y－5＝0(x≠1)． ∵當x＝1時，A，B的坐標分別為(2,0)，(0,4)， ∴線段AB的中點坐標是(1,2)，它滿足方程x＋2y－5＝0. 綜上所述，點M的軌跡方程是x＋2y－5＝0. 法二：設M的坐標為(x，y)，則A，B兩點的坐標分別是(2x,0)，(0,2y)，連接PM. ∵l1⊥l2，∴2PM＝AB. 而PM＝， AB＝， ∴2＝， 化簡，得x＋2y－5＝0，即為所求軌跡方程． 法三：∵l1⊥l2，OA⊥OB， ∴O，A，P，B四點共圓，且該圓的圓心為M， ∴MP＝MO，∴點M的軌跡為線段OP的垂直平分線． ∵kOP＝＝2，OP的中點坐標為(1,2)， ∴點M的軌跡方程是y－2＝－(x－1)， 即x＋2y－5＝0. [能力提升練] 1．已知M(－2,0)，N(2,0)，則以MN為斜邊的直角三角形的直角頂點P的軌跡方程是________． [解析] 設P(x，y)，∵△MPN為直角三角形， ∴MP2＋NP2＝MN2， ∴(x＋2)2＋y2＋(x－2)2＋y2＝16，整理得x2＋y2＝4.∵M，N，P不共線，∴x≠2， ∴軌跡方程為x2＋y2＝4(x≠2)． [答案] x2＋y2＝4(x≠2) 2．已知在△ABC中，A(－2,0)，B(0，－2)，第三個頂點C在曲線y＝3x2－1上移動，則△ABC的重心的軌跡方程是________． [解析] 設△ABC的重心為G(x，y)；頂點C的坐標為(x1，y1)，由重心坐標公式得 ∴∵點C(x1，y1)在曲線y＝3x2－1上， ∴3y＋2＝3(3x＋2)2－1. 即y＝9x2＋12x＋3為所求軌跡方程． [答案] y＝9x2＋12x＋3 3．在平面直角坐標系xOy中，已知點A(0，－1)，點B在直線y＝－3上，M點滿足∥，＝，則點M的軌跡方程是________． [解析] 設M(x，y)，由題意得B(x，－3)，A(0，－1)， ∴＝(－x，－1－y)，＝(0，－3－y)，＝(x，－2)． 由＝得(＋)＝0，即(－x，－4－2y)(x，－2)＝0， ∴(－x)x＋(－4－2y)(－2)＝0，化簡得y＝x2－2，即為點M的軌跡方程． [答案] y＝x2－2 4．過點A(2,1)的直線l與橢圓＋y2＝1相交，求l被截得的弦的中點的軌跡方程. 【導學號：71392134】 [解] 法一：設直線l的斜率為k，則l的方程為y－1＝k(x－2)，設弦兩端點為P(x1，y1)，Q(x2，y2)，中點為M(x，y)，則把l方程代入橢圓方程消去y，得 (1＋2k2)x2＋4k(1－2k)x＋2(1－2k)2－2＝0， Δ＝16k2(1－2k)2－8(1＋2k2)[(1－2k)2－1]>0，得－2k2＋4k>0， ∴0
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